第三章 培优课　圆锥曲线的综合问题 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦圆锥曲线综合问题，涵盖最值（范围）、定点定值、探索性三大题型，通过典型例题（如抛物线与圆的最值、双曲线面积比）导入，结合通性通法（几何法、代数法）搭建学习支架，衔接圆锥曲线定义与方程等基础，帮助学生逐步掌握综合应用。 其亮点在于例题贴近高考（2024年月考题），解析突出通性通法（如最值问题几何转化、定点问题参数分离），跟踪训练分层设计。通过几何直观（例1距离转化）、推理能力（例2韦达定理应用）培养数学眼光与思维，助力学生掌握解题策略，教师可直接用于培优教学，提升效率。

培优课　 圆锥曲线的综合问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 最值（范围）问题 【例1】　（1）（2024·南京月考）抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的准线方 程为 x ＝－4， F 为抛物线的焦点， P 为抛物线上的一个动点， Q 为曲 线 C ： x2－10 x ＋ y2－2 y ＋22＝0上的一个动点，则｜ PF ｜＋｜ PQ ｜ 的最小值为（　A　） A. 7 C. 8 A 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 由题意可知，抛物线方程为 y2＝16 x ，曲线 C ：（ x －5）2＋（ y －1） 2＝4，如图，过点 P 作 PA ⊥准线 x ＝－4于 点 A ，则｜ PA ｜＝｜ PF ｜，∴｜ PF ｜ ＋｜ PQ ｜＝｜ PA ｜＋｜ PQ ｜，要使｜ PA ｜＋｜ PQ ｜最小，只需 A ， P ， Q 三点共线且｜ QA ｜最小即可，则需点 Q 到直线 x ＝－4的距离最短，∵点 Q 到直线 x ＝－4的最短距离为9－2＝7，∴｜ PF ｜＋｜ PQ ｜的最小值为7. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）已知双曲线 － ＝1与双曲线 － ＝1（其中 a ＞0， b ＞ 0），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为 S1，连接它们的 焦点构成的四边形的面积为 S2，则 的最大值为 　 　. 解析： 易知两个双曲线的焦距相等.由题设得 ＝ ＝ ≤ ＝ ，当且仅当 a ＝ b 时，不等式取“＝”，故 . 　 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 圆锥曲线中最值（范围）问题的求法 （1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意 义，则考虑利用图形性质来解决； （2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则 可首先建立目标函数，再求这个函数的最值（范围），求函数 最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的 性质法等. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 如图所示，点 A ， B 分别是椭圆 ＋ ＝1长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，设 M 是椭圆长轴 AB 上的 一点，点 M 到直线 AP 的距离等于｜ MB ｜，求椭圆上的点到点 M 的 距离 d 的最小值. 目录 数学·选择性必修第一册 解：由已知可得点 A （－6，0），点 B （6，0），点 P . 直线 AP 的方程是 x － y ＋6＝0， 设点 M 的坐标是（ m ，0），则点 M 到直线 AP 的距离是 ， 于是 ＝｜ m －6｜， 又－6≤ m ≤6，解得 m ＝2. 由椭圆上的点（ x ， y ）到点 M 的距离为 d ， 得 d2＝（ x －2）2＋ y2＝ x2－4 x ＋4＋20－ x2 目录 数学·选择性必修第一册 ＝ ＋15， 由于－6≤ x ≤6， 由 f （ x ）＝ ＋15的图象可知， 当 x ＝ 时， d 取最小值，且最小值为 . 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 定点、定值问题 【例2】　（2024·无锡月考）设抛物线 C ： y2＝4 x ， F 为 C 的焦点， 过 F 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点. （1）若 l 的斜率为2，求｜ AB ｜的值； 解： 依题意得 F （1，0）， 所以直线 l 的方程为 y ＝2（ x －1）. 设直线 l 与抛物线 C 的交点为 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， 由得 x2－3 x ＋1＝0， 所以 x1＋ x2＝3，所以｜ AB ｜＝｜ AF ｜＋｜ BF ｜＝ x1＋ x2＋ p ＝3＋2＝5. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求证： · 为定值. 解： 证明：设直线 l 的方程为 x ＝ ky ＋1，直线 l 与抛物线 的交点为 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， 由得 y2－4 ky －4＝0， 所以 y1＋ y2＝4 k ， y1 y2＝－4. 所以 · ＝（ x1， y1）·（ x2， y2） ＝ x1 x2＋ y1 y2＝（ ky1＋1）（ ky2＋1）＋ y1 y2 ＝ k2 y1 y2＋ k （ y1＋ y2）＋1＋ y1 y2 ＝－4 k2＋4 k2＋1－4＝－3， 所以 · 为定值. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 定点、定值问题的解题策略 （1）定点：首先将要研究的直线、曲线的方程表示出来，一是方程 变形为特定形式后观察，如把直线的方程变为点斜式来观察定 点；二是把参数提出来，把参数看作变量，令参数的系数为零 后解出定点； （2）定值：实质是求值，即把要研究的量求出来，求出来的量为常 数，即为定值. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 已知点 P 是椭圆 C ： ＋ ＝1上一点，设直线 l 不经过点 P 且与椭圆 C 相交于 A ， B 两点.若直线 PA 与直线 PB 的斜率之和为1， 问：直线 l 是否过定点？证明你的结论. 目录 数学·选择性必修第一册 解：当直线 l 的斜率不存在时，设 A （ x1， y1）， B （ x1，－ y1），直线 PA ， PB 的斜率分别为 k1， k2， 则 k1＋ k2＝ ＝1，解得 x1＝－4，不符合题意；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， 由整理得（3＋4 k2） x2＋8 kmx ＋4 m2－12 ＝0， x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ，Δ＝48（4 k2－ m2＋3）＞0. 由 k1＋ k2＝1，整理得（2 k －1） x1 x2＋ （ x1＋ x2）＋ 2 m －4＝0，即（ m －4 k ）（2 m －2 k －3）＝0. 当 m ＝ k ＋ 时，此时，直线 l 过点 P ，不符合题意； 当 m ＝4 k 时，Δ＝48（4 k2－ m2＋3）＞0有解，此时直线 l ： y ＝ k （ x ＋4）过定点（－4，0）. 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 探索性问题 【例3】　试问是否能找到一条斜率为 k （ k ≠0）的直线 l 与椭圆 ＋ y2＝1交于两个不同的点 M ， N ，且使 M ， N 到点 A （0，1）的距离相 等？若存在，试求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：设直线 l ： y ＝ kx ＋ m 为满足条件的直线，再设 P 为 MN 的中点， 欲满足条件，只需 AP ⊥ MN 即可. 由消 y 得（1＋3 k2） x2＋6 mkx ＋3 m2－3＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 设 M （ x1， y1）， N （ x2， y2）， P （ xP ， yP ）， 则 xP ＝ ＝－ ， yP ＝ kxP ＋ m ＝ ， ∴ kAP ＝ . ∵ AP ⊥ MN ，∴ ＝－ ， 故 m ＝－ . 由Δ＝36 m2 k2－4（1＋3 k2）（3 m2－3） ＝9（1＋3 k2）（1－ k2）＞0，得－1＜ k ＜1且 k ≠0. 故当 k ∈（－1，0）∪（0，1）时，存在满足条件的直线 l . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 有关探索性问题的解题技巧 （1）通过特殊值、特殊位置先求出点的坐标、直线的方程等，再加 以证明求出来的量符合题目条件； （2）假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结 论不正确，则不存在. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 （2024·杭州质检）已知抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F ，过 点 A （2，0）的直线 l 交 C 于 M ， N 两点，当 MN 与 x 轴垂直时，△ MNF 的周长为9. （1）求 C 的方程； 解： 当 MN 与 x 轴垂直时，｜ MF ｜＝｜ NF ｜＝2＋ ， ｜ MN ｜＝4 ， 从而有4＋ p ＋4 ＝9，解得 p ＝1， 所以抛物线 C 的方程为 y2＝2 x . 目录 数学·选择性必修第一册 （2）在 x 轴上是否存在点 P ，使得∠ OPM ＝∠ OPN 恒成立（ O 为坐 标原点）.若存在求出坐标，若不存在说明理由. 解： 设 P （ x0，0）， M （ x1， y1）， N （ x2， y2）， 由题可知直线 l 斜率不为零，设 l ： x ＝ my ＋2， 代入抛物线方程 y2＝2 x 消去 x ， 得 y2－2 my －4＝0，从而 y1＋ y2＝2 m ， y1 y2＝－4， ① 由∠ OPM ＝∠ OPN 可得 kMP ＋ kNP ＝0， 而 kMP ＋ kNP ＝ ＋ ＝ ＋ 目录 数学·选择性必修第一册 ＝ ， 将①代入，从而得 ＝0恒成立，所以 x0 ＝－2， 因此存在点 P 满足题意， P 点坐标为（－2，0）. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 已知 M （ x0， y0）是双曲线 C ： － y2＝1上的一点， F1， F2分别 是 C 的左、右焦点，若 · ＜0，则 y0的取值范围是（　　） 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为 F1（－ ，0）， F2（ ，0）， － ＝1，所 以 · ＝（－ － x0，－ y0）·（ － x0，－ y0）＝ ＋ －3＜0，即3 －1＜0，解得－ ＜ y0＜ . 目录 数学·选择性必修第一册 2. 一动圆的圆心在抛物线 x2＝16 y 上，且该动圆恒与直线 y ＋4＝0相 切，则动圆必经过的定点为（　　） A. （0，4） B. （4，0） C. （2，0） D. （0，2） 解析： 　由抛物线 x2＝16 y ，得到准线方程为 y ＝－4，焦点坐标为（0，4），∵动圆的圆心在 抛物线 x2＝16 y 上，且动圆恒与直线 y ＝－4相 切，由抛物线的定义知｜ MF ｜＝｜ MK ｜，如图 所示，即动圆必经过定点 F （0，4）. 目录 数学·选择性必修第一册 解：直线 BC 与 AD 的交点在椭圆 F 上. 由已知得 A （－ a ，0）， B （0，－1）， C （ a ，2）， D （ a ， 1）， ∴直线 BC 的方程为 y ＝ x －1， 直线 AD 的方程为 y ＝ x ＋ ， 3. 在椭圆 F ： ＋ y2＝1（ a ＞1）中， A ， B 分别为椭圆的左顶点和 下顶点， C ， D 两点均在直线 x ＝ a 上，且 C ， D 两点的纵坐标分别 为2和1，判断：直线 BC 与 AD 的交点是否在椭圆 F 上，并说明理由. 目录 数学·选择性必修第一册 联立 ∴直线 BC 与 AD 的交点为（ ），且 ＋（ ）2＝1，即 交点坐标满足椭圆方程，因此该交点在椭圆 F 上. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. AB 为过椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）中心的弦， F （ c ，0）为椭圆 的右焦点，则△ AFB 面积的最大值为（　　） A. b2 B. ab C. ac D. bc 解析： 　由椭圆的对称性知， A ， B 两点关于原点 O 对称，因此 S△ AFB ＝2 S△ OFB ＝ c ·｜ yB ｜，故当｜ yB ｜＝ b 时，△ AFB 面积最 大，最大面积为 bc . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 2. 直线 l 与抛物线 C ： y2＝2 x 交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，若直线 OA ， OB 的斜率 k1， k2满足 k1 k2＝ ，则 l 的横截距（　　） A. 为定值－3 B. 为定值3 C. 为定值－1 D. 不是定值 解析： 　设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 · ＝ .∴ ＝ ，∴ y1 y2＝6，设直线 l ： x ＝ my ＋ b ，代入抛物线方程可化为 y2－ 2 my －2 b ＝0，∴ y1 y2＝－2 b ，∴－2 b ＝6，∴ b ＝－3，∴ l 的横截 距为－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 3. 设 O 为坐标原点，点 A （1，0），动点 P 在抛物线 y2＝2 x 上，且位 于第一象限， M 是线段 PA 的中点，则直线 OM 的斜率的取值范围为 （　　） A. （0，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　设 P 点的坐标为（ ， y0）， y0＞0，则点 M 的坐标为 （ ＋ ），直线 OM 的斜率 kOM ＝ ＝ ≤ ＝ ， 当且仅当 y0＝ ，即 y0＝ 时取等号.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·江门质检）在抛物线 y2＝4 x 上有不同的两点 A ， B （异于原 点 O ），若直线 OA ， OB 斜率之和为1，则直线 AB 必经过定点 （　　） A. （0，2） B. （0，4） C. （－4，0） D. （－2，0） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　设直线 AB 的方程为 x ＝ ty ＋ b （ b ≠0），并代入抛物线 方程，消去 x 得 y2－4 ty －4 b ＝0，设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， 则 y1＋ y2＝4 t ， y1 y2＝－4 b ，∴ kOA ＋ kOB ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝－ ＝ 1，∴ b ＝－4 t ，∴直线 AB 的方程为 x ＝ ty －4 t ＝ t （ y －4），过定 点（0，4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）已知抛物线 C ： y2＝4 x 的焦点为 F ，点 P 在抛物线上，点 Q （ m ， n ），点 P 到点 Q 和到 y 轴的距离分别为 d1， d2，则 （　　） A. 抛物线 C 的准线方程为 y ＝－1 B. 若 m ＝ n ＝1，则△ PQF 周长的最小值等于3 C. 若（ m －3）2＋ n2＝1，则 d1的最小值等于2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由抛物线方程可知抛物线准线是 l ： x ＝－1，A错误.当 m ＝ n ＝1时，△ PQF 的周长 L ＝｜ PQ ｜＋｜ PF ｜＋1＝ d1＋ dP－ l ＋1≥ dQ－ l ＋1＝3，B正确.因为（ m －3）2＋ n2＝1，所以 Q （ m ， n ）在圆心为 M （3，0），半径为1的圆上，所以 d1≥｜ PM ｜－ 1，设 P （ ， t ），则｜ PM ｜2＝ ＋ t2＝ （ t2－4）2 ＋8≥8，所以｜ PM ｜≥2 ，所以 d1的最小值等于2 －1，C错 误.若 m － n ＝－4，则 Q （ m ， n ）在直线 l1： x － y ＋4＝0上， d1＋ d2＝ d1＋｜ PF ｜－1≥ －1＝ －1，D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 6. 抛物线 y2＝4 x 的顶点为 O ，点 A 的坐标为（2，0），倾斜角为 的 直线 l 与线段 OA 相交（不经过点 O 和点 A ）且交抛物线于 P ， Q 两 点，则｜ PQ ｜的取值范围为 ⁠. 解析：设直线 l 的方程为 y ＝ x － m ，有0＜ m ＜2，由方程组 消去 y ，得 x2－（2 m ＋4） x ＋ m2＝0，设 P （ x1， y1）， Q （ x2， y2），则 x1＋ x2＝2 m ＋4， x1· x2＝ m2，所以｜ PQ ｜ ＝4 × ，所以4 ＜｜ PQ ｜＜4 . （4 ，4 ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 7. （2024·南平月考）设 O 为坐标原点，直线 x ＝ a 与双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的两条渐近线分别交于 D ， E 两点，若△ ODE 的面积为8，则双曲线 C 的焦距的最小值为 ⁠. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 解析：∵双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0），∴双曲线的渐近 线方程是 y ＝± x ，∵直线 x ＝ a 与双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的两条渐近线分别交于 D ， E 两点，不妨设 D 在第一象限， E 在第四象限，联立故 D （ a ， b ），联立 故 E （ a ，－ b ），∴｜ ED ｜＝2 b ， ∴ ＝ a ×2 b ＝ ab ＝8.∵双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞ 0），∴其焦距为2 c ＝2 ≥2 ＝2 ＝8，当且仅当 a ＝ b ＝2 时取等号，∴双曲线 C 的焦距的最小值为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 8. 已知△ AOB 的顶点 O 为抛物线 y2＝2 x 的顶点， A ， B 两点都在抛物 线上，且∠ AOB ＝90°. （1）求证：直线 AB 必过一定点； 解： 证明：设 OA 所在直线的方程为 y ＝ kx （ k ≠0）， 则直线 OB 的方程为 y ＝－ x . 由得 A （ ）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 由得 B （2 k2，－2 k ）. ∴ AB 所在直线方程为（ y ＋2 k ）（ －2 k2）＝（ ＋2 k ） （ x －2 k2）， 化简得 x －（ － k ） y －2＝0， ∴直线过定点 P （2，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求△ AOB 面积的最小值. 解： 由于直线 AB 过定点 P （2，0）， ∴可设直线 AB 的方程为 x ＝ my ＋2， A （ x1， y1）， B （ x2， y2）.由得 y2－2 my －4＝0. 则Δ＝（－2 m ）2－4×（－4）＝4 m2＋16＞0， ∴ y1＋ y2＝2 m ， y1 y2＝－4， ∴｜ y1－ y2｜＝ ＝ ＝ . ∴ S△ AOB ＝ ｜ y1｜·｜ OP ｜＋ ｜ y2｜·｜ OP ｜＝ ｜ OP ｜·｜ y1－ y2｜＝｜ y1－ y2｜＝ ≥4（当且仅当 m ＝0时取“＝”）.∴当 m ＝0时，△ AOB 面积的最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 9. 已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的离心率为 ，右焦 点为 F （2，0）. （1）求双曲线 C 的标准方程； 解： 由题意可得∴ a ＝ ， c ＝2， b2＝ c2 － a2＝2， ∴双曲线 C 的标准方程为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 解：（2）依题意，直线 l 的斜率不为0， 设其方程为 x ＝ my ＋2，－1＜ m ＜1，且 m ≠0， 代入 － ＝1得（ m2－1）· y2＋4 my ＋ 2＝0， 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， P （ t ，0）， （2）过点 F 的直线 l 与双曲线 C 的右支交于 A ， B 两点，在 x 轴上是 否存在点 P ，使得 · 为定值？若存在，求出该定值；若 不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 则 y1＋ y2＝－ ， y1 y2＝ ， ∴ · ＝（ x1－ t ）（ x2－ t ）＋ y1 y2 ＝（ my1＋2－ t ）（ my2＋2－ t ）＋ y1 y2 ＝（ m2＋1） y1 y2＋ m （2－ t ）（ y1＋ y2）＋（2－ t ）2 ＝（ m2＋1） － m （2－ t ） ＋（2－ t ）2 ＝ ＋（2－ t ）2，若要上式为定值，则必须有4 t －6＝－2，即 t ＝1，∴ ＋（2－ t ）2＝－2＋1＝－1，故存在点 P （1，0）满足 · 为定值－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 10. （2024·临沂月考）已知椭圆 E ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的短轴 长是2，且离心率为 . （1）求椭圆 E 的方程； 解： 因椭圆 E ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的短轴长是 2，则 b ＝1，而离心率 e ＝ ＝ ，解得 a ＝ ＋ y2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 （2）已知 C （0，1），若直线 l ： y ＝ kx － 与椭圆 E 相交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 M ，是否存在常数λ，使∠ AMC ＝ λ·∠ ABC 恒成立，并说明理由. 解： 存在常数λ＝2，使∠ AMC ＝λ·∠ ABC 恒成立， 由消去 y 并整理得：（9＋18 k2） x2－12 kx －16＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ － ， 又 ＝（ x1， y1－1）， ＝（ x2， y2－1）， · ＝ x1 x2＋（ y1－1）（ y2－1）＝ x1 x2＋（ kx1－ ） （ kx2－ ） ＝（1＋ k2） x1 x2－ k （ x1＋ x2）＋ ＝（1＋ k2）· － · ＋ ＝0， 则有 ⊥ ，而线段 AB 的中点为 M ，于是得｜ MC ｜ ＝｜ MB ｜，并且有∠ AMC ＝2∠ ABC ， 所以存在常数λ＝2，使∠ AMC ＝λ·∠ ABC 恒成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $