精品解析：福建省福州第一中学2025-2026学年八年级下学期数学期末试卷

福州一中2025-2026学年度第二学期期末考试 初二数学试卷 （完卷120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上!） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】∵二次根式有意义， ∴． 解得：． 故选：D． 2. 下列性质中菱形一定具有的是（ ） A. 对角线相等 B. 有一个角是直角 C. 对角线互相垂直 D. 四个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直，四个角不一定相等，不一定有一个角是直角即可得到答案． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直且平分，只有该菱形是正方形时，其对角线相等，有一个角是直角，四个相等， ∴菱形一定具有的性质是对角线互相垂直， 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”规律进行解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为， 故选：A 4. 小华五次“50米跑”成绩的平均数与方差分别为（单位：s）和（单位：），为了提高成绩，小华进行了训练，两个月后小华再次进行了五次“50米跑”测试，发现比原来更快更稳定了，则训练后成绩的平均数（单位：s）与方差（单位：）可能是（ ） A. ， B. ， C. ，1.4 D. ，1.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据“更快”“更稳定”的含义，分别判断平均数和方差的范围，得到符合条件的选项，50米跑用时越短说明速度越快，方差越小说明成绩越稳定。 【详解】解：训练后成绩比原来更快，米跑平均用时越短代表速度越快，原平均用时为 训练后平均数 ，排除B，D选项， 训练后成绩比原来更稳定，方差越小代表数据越稳定，原方差为， 训练后方差 ，排除C选项， 符合条件的是A选项． 5. 硫酸钠（）是一种主要的日用化工原料，主要用于制造洗涤剂和牛皮纸制浆工艺．硫酸钠的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为时，硫酸钠的溶解度为 B. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为时，硫酸钠的溶解度最大 D. 要使硫酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象对应的横坐标和纵坐标以及图象的增减性解答即可． 【详解】解：由图象可知： 当温度为时，碳酸钠的溶解度小于，故选项A说法错误，不符合题意； 至时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，至时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而减小，故选项B说法错误，不符合题意； 当温度为时，碳酸钠的溶解度最大，说法正确，故选项C符合题意； 要使碳酸钠的溶解度大于，温度可控制在接近至，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 6. 有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及流感传染问题. 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人，经过两轮传染后总患者数为，据此建立方程． 【详解】解：∵ 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染x人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为：． 故选：C． 7. 某校八年级男生米长跑其中名学生的成绩如下：，，，，，中考将近，需要加强训练，体育老师将对这名学生分成两组进行训练，尽可能地使同组内的水平接近，不同组的水平差异大．分别计算各种情况的组内离差平方和，得到如下表格，则这名学生最优分组的序号是（ ） 序号 第一组 第二组 组内离差平方和 1 3.97 4.03、4.17、4.33、4.42 0.089 2 3.97、4.03 4.17、4.33、4.42 0.034 3 3.97、4.03、4.17 4.33、4.42 0.025 4 3.97、4.03、4.17、4.33 4.42 0.077 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，同组水平越接近，组内离差平方和越小，因此只需比较四个分组的组内离差平方和，找出最小值对应的分组序号即可得到答案． 【详解】解：根据题意，最优分组满足组内水平接近，对应组内离差平方和最小． 比较四个分组的组内离差平方和得： ∵ ， ∴ 序号3的组内离差平方和最小，是最优分组，对应选项为B． 8. 一次函数的自变量和函数值的部分对应值如下表所示： 则关于x的不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先根据待定系数法求出一次函数的解析式，再解不等式求解． 【详解】解：将代入 解得： ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 9. 如图， 点O为矩形的对角线的交点，， 点E从点B出发（不含点B）沿向点C运动，移动到点C停止，延长交于点F，则四边形形状的变化依次为（ ） A. 平行四边形菱形平行四边形矩形 B. 平行四边形正方形菱形矩形 C. 平行四边形菱形正方形矩形 D. 平行四边形正方形平行四边形矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，可得四边形形状的变化情况． 【详解】解：连接． ∵点O为矩形的对角线的交点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 观察图形可知，四边形形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：C． 10. 已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将点代入二次函数解析式，得到与的关系，再结合二次函数的开口方向和对称性，逐一判断选项即可． 【详解】点在二次函数上 ， 将代入解析式得： ， 化简得， 即， 对选项A： 将代入解析式得， 把代入得： ， 移项得，故A错误； 对选项B： ， ， ，即，故B错误； 对选项C： 二次函数对称轴为， ，开口向上， 时取最小值，即是函数最小值， ，即，故C错误； 对选项D： ， ，二次函数在时，随增大而减小， ，当时，， 时的大于时的， 即， 得，故D正确． 二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上!） 11. 已知正比例函数的图象经过第二、第四象限，则k的值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的知识，根据正比例函数解析式和图象的关系，一次项系数的正负决定了直线的走向，图象经过第二、四象限，，从而完成求解． 【详解】∵正比例函数（k为常数，且）的图象经过第二、四象限， ∴， ∴k可以等于． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的情况，根据方程有两个相等的实数根时判别式为0即可求解． 直接根据一元二次方程根的判别式列出式子，求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：5． 13. 为加快提升广大青少年科技素养，长沙市某区开展了信息科技素养测评活动，测评分为知识性、实践性、创新性三类题目，其对应分值比例为，满分100分．若小明三类题目的得分率分别为，，，则他的最终成绩是________． 【答案】分 【解析】 【分析】先根据分值比例求出三类题各自的满分分值，再结合得分率计算每类题的实际得分，求和得到最终成绩． 【详解】解：由题意得，三类题目分值总份数为， 知识性题目的满分：， 实践性题目的满分：， 创新性题目的满分：， 则最终成绩为：（分）． 14. 已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据的周长是平行四边形周长的一半，可得，结合可得是线段的中垂线，推出，最后利用勾股定理即可求解． 本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的判定，勾股定理等，解题的关键是证明是线段的中垂线． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴、互相平分， ∴O是的中点． ∴， ∵的周长是平行四边形周长的一半， ∴的周长， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 15. 已知点，为函数图象上两点，下列结论： ①函数的最小值为0； ②当时，； ③若，则； ④若方程有两个解，且都满足，则k的取值范围是； 其中正确的结论是_______．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、绝对值等知识点，熟练掌握绝对值的性质以及一次函数的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质可判断①选项，根据取绝对值，可得一次函数，然后根据一次函数的性质即可判定②；先说明该函数图像为，然后根据对称性即可判定③；将方程转化为，将所求问题转化为函数与函数在有两个解，易得函数的图象必过；然后求得三个临界点k的值，然后结合函数图象即可解答． 【详解】解：①∵， ∴该函数的最小值为0，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴，即②错误； ③由题可知：函数图象对称轴为直线， ∵， ∴A、B关于对称，即，故③正确； ④将方程转化为， ∵方程有两个解，且都满足， ∴函数与函数在有两个解， ∵， ∴函数的图象必过， ∵， 当时，直线与的交点为A，即， ∴， ∴直线的解析式为，即； 当时，直线与的交点为B，即， ∴， ∴，解得：； 当时，直线与的交点为C，即， ∴， ∴，解得：； 由函数图象可得：方程有两个解，且都满足，则k的取值范围是，即③正确． 故答案为∶①③④． 16. 已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将用含和的代数式表示，代入得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程有实根时判别式非负，结合求出的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：由得 ， 将代入得 ， 整理得 ， 两边同除以得 ， 因为为实数，所以关于的一元二次方程有实数根，判别式， 即 ， 因式分解得 ， 因为已知， 所以， 即 故的最小值为． 三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上!） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程； （2）利用公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴． 19. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】 证明：四边形是正方形， ． ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误． 先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为，，，．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （1）在边上作一点P，使，此时点P的坐标为 ； （2）在边上作一点Q，使和的面积相等． 【答案】（1）如图所示，点P的坐标为 （2）如图2所示． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得在直线上，进而待定系数法求得直线的解析式，令，即可求解； （2）根据题意得出为的角平分线与的交点，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴在直线上， 设直线的解析式为，代入， ∴，解得； ∴直线的解析式为 当时， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴ ∴ ∴ 设到的距离为，到的距离为 ∵和的面积相等 ∴ ∴ ∴在的角平分线上，作的角平分线交于点，即为所求． 21. 智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． （1）求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 （2）为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】（1） （2）道路宽度为 【解析】 【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为，然后根据题意列方程求解即可； （2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为， 则 解得（不合题意，舍去） 答：从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设道路宽度为． 依题意得， 解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 22. 刘老师设计一些阳光课间活动，其中一项是定点投沙包，规则如下： 如图，四名同学站在同一起投线a上，每人前方一定距离处对应一个位于直线b上的圆圈，且．四名同学分别投掷沙包，共进行5局，每局的计分规则如下： ①若第一次投入圈中，则该局结束，得10分； ②若第一次未投入圈中，则继续投掷，直至投入圈中，每多投一次扣2分（比如前两次未投中，第三次投中，本局得6分）； ③每局每名同学最多可投5次，若第5次仍未投中，则该局得0分． 5 局结束后，累计得分最高者获胜． 四名同学5 局结束后的投圈次数条形统计图和统计表如下： 甲、乙每局投圈次数条形统计图 丙、丁每局投圈次数统计表 局次 一 二 三 四 五 丙每局投圈次数 5 m 3 1 2 丁每局投圈次数 4 x n 3 1 根据以上信息，解答下列问题． （1）当时，若乙、丁每局投圈次数的中位数相同，求n的值； （2）已知四名同学第二局投圈次数的平均数为3，求的值； （3）若丁5局投圈的总次数为 14次，甲同学说：“丁同学 5局累计得分最多是32 分．”请判断甲同学的说法是否正确，并结合计分规则说明理由． 【答案】（1）或 （2） （3）甲同学的说法正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数的含义求解即可； （2）根据平均数的含义求解即可； （3）先求解，根据计分规则得到每局的得分，进一步讨论即可． 【小问1详解】 解：由条形图可得乙每局的投圈次数从小到大分别为，，，，，， ∴中位数为， 当时， 丁每局的投圈次数为：，，，，，其中为到的整数， ∵乙、丁每局投圈次数的中位数相同， ∴丁每局的投圈次数的中位数为， ∴或． 【小问2详解】 解：∵四名同学第二局投圈次数的平均数为3， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：∵丁5局投圈的总次数为 14次， ∴， ∴， ∵为到的整数， ∴或或或或， ∵第一次投入圈中得分，第二次投入圈中得分，第三次投入圈中得分，第四次投入圈中得分，第五次投入圈中得分，第五次没有投中得分； ∴结合统计图可得： 局次 一 二 三 四 五 丁每局投圈次数 4 x n 3 1 丁每局得分 4 6 10 ∴当时，丁的得分为：（分）或（分）； 当时，丁的得分为：（分）； 当时，丁的得分为：（分）； 当时，丁的得分为：（分）； 当时，丁的得分为：（分）或（分）； ∴甲同学说：“丁同学 5局累计得分最多是32 分．”说法正确． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． （1）当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； （2）当时，求点A的纵坐标的最小值． 【答案】（1），，的面积为 （2）3 【解析】 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标；进而可求出的面积； （2）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴，， ∴的面积为． 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：， 当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为：． 24. 已知关于x的一元二次方程M：． （1）判断是否是方程M的根，并说明理由； （2）现有一个关于x的一元二次方程N：，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：； （3）若，方程M有两个整数根，求所有满足条件的实数对，并写出对应的整数根． 【答案】（1） 解：不是方程的根，理由如下： 将代入方程的左边，得， 方程的右边为， ∵，等式不成立， 因此不是方程的根； （2） 证明：设方程和相同的根为， 由题意得， 两式相减得，整理得， ∵方程，仅有一个相同的根， ∴， 若，两个方程完全相同，所有根都相同，不符合题意， 因此，得， 由（1）知不是方程的根，故公共根为， 将代入方程，得， 整理得，即，得证； （3） 满足条件的实数对为，对应整数根为和；，对应整数根为和． 【解析】 【分析】（1）将代入方程，比较左右两边的值即可判断； （2）联立两个方程，作差整理后，根据仅有一个相同根的条件推出是公共根，代入方程即可证明结论； （3）由得，代入方程后结合根与系数关系整理得到，列举所有整数因数对，排除不符合条件的情况，即可得到所有解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 将代入方程，整理得， 设方程的两个整数根为，， 由根与系数的关系得，， 设，则， 消去得， 整理得， 配方得， ∵，是整数， ∴，都是整数， 列举所有可能的整数对： 当，解得， 代入得，，，，不符合，舍去； 当，解得， 代入得，，无解，舍去； 当，与上述情况结果相同，舍去； 当，解得， 代入得，，，，符合条件； 当，解得， 代入得，，，，符合条件； 当，与，结果相同，舍去； 综上，满足条件的实数对和对应整数根为：  ，对应整数根为和；  ，对应整数根为和． 25. 在矩形中，． （1）如图1，对角线交于点E，，F在上使，求的长； （2）如图2，M是中点，N是中点，G在上使．若垂直平分，求的长； （3）如图3，，，P是中点，，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质和，得出是等边三角形，再证明，利用含直角三角形性质和勾股定理即可求出； （2）由N是中点、垂直平分、M是中点，可得，，设，则，，建立方程求解即可； （3）过点作，交于点，过点作垂足为点，过点作垂足为点，连接，证明，可得，，，，进而求出，由，利用三角形的面积可得，求出，即可求出． 【小问1详解】 解：如图所示： ∵四边形是矩形，对角线交于点E， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， 在与中 ∴， ∴， ∴在中，， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵N是中点， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵M是中点， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：（负值舍去）， ∴． 【小问3详解】 解：如图所示，过点作，交于点，过点作垂足为点，过点作垂足为点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵P是中点， ∴， ∵， ∴是中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴（三角形同底等高）， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2025-2026学年度第二学期期末考试 初二数学试卷 （完卷120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上!） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列性质中菱形一定具有的是（ ） A. 对角线相等 B. 有一个角是直角 C. 对角线互相垂直 D. 四个角相等 3. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 4. 小华五次“50米跑”成绩的平均数与方差分别为（单位：s）和（单位：），为了提高成绩，小华进行了训练，两个月后小华再次进行了五次“50米跑”测试，发现比原来更快更稳定了，则训练后成绩的平均数（单位：s）与方差（单位：）可能是（ ） A. ， B. ， C. ，1.4 D. ，1.4 5. 硫酸钠（）是一种主要的日用化工原料，主要用于制造洗涤剂和牛皮纸制浆工艺．硫酸钠的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为时，硫酸钠的溶解度为 B. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为时，硫酸钠的溶解度最大 D. 要使硫酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 6. 有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某校八年级男生米长跑其中名学生的成绩如下：，，，，，中考将近，需要加强训练，体育老师将对这名学生分成两组进行训练，尽可能地使同组内的水平接近，不同组的水平差异大．分别计算各种情况的组内离差平方和，得到如下表格，则这名学生最优分组的序号是（ ） 序号 第一组 第二组 组内离差平方和 1 3.97 4.03、4.17、4.33、4.42 0.089 2 3.97、4.03 4.17、4.33、4.42 0.034 3 3.97、4.03、4.17 4.33、4.42 0.025 4 3.97、4.03、4.17、4.33 4.42 0.077 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 一次函数的自变量和函数值的部分对应值如下表所示： 则关于x的不等式的解集是( ) A. B. C. D. 9. 如图， 点O为矩形的对角线的交点，， 点E从点B出发（不含点B）沿向点C运动，移动到点C停止，延长交于点F，则四边形形状的变化依次为（ ） A. 平行四边形菱形平行四边形矩形 B. 平行四边形正方形菱形矩形 C. 平行四边形菱形正方形矩形 D. 平行四边形正方形平行四边形矩形 10. 已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上!） 11. 已知正比例函数的图象经过第二、第四象限，则k的值可以是______． 12. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 13. 为加快提升广大青少年科技素养，长沙市某区开展了信息科技素养测评活动，测评分为知识性、实践性、创新性三类题目，其对应分值比例为，满分100分．若小明三类题目的得分率分别为，，，则他的最终成绩是________． 14. 已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为__________． 15. 已知点，为函数图象上两点，下列结论： ①函数的最小值为0； ②当时，； ③若，则； ④若方程有两个解，且都满足，则k的取值范围是； 其中正确的结论是_______．（填写序号） 16. 已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上!） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 19. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为，，，．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （1）在边上作一点P，使，此时点P的坐标为 ； （2）在边上作一点Q，使和的面积相等． 21. 智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． （1）求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 （2）为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 22. 刘老师设计一些阳光课间活动，其中一项是定点投沙包，规则如下： 如图，四名同学站在同一起投线a上，每人前方一定距离处对应一个位于直线b上的圆圈，且．四名同学分别投掷沙包，共进行5局，每局的计分规则如下： ①若第一次投入圈中，则该局结束，得10分； ②若第一次未投入圈中，则继续投掷，直至投入圈中，每多投一次扣2分（比如前两次未投中，第三次投中，本局得6分）； ③每局每名同学最多可投5次，若第5次仍未投中，则该局得0分． 5 局结束后，累计得分最高者获胜． 四名同学5 局结束后的投圈次数条形统计图和统计表如下： 甲、乙每局投圈次数条形统计图 丙、丁每局投圈次数统计表 局次 一 二 三 四 五 丙每局投圈次数 5 m 3 1 2 丁每局投圈次数 4 x n 3 1 根据以上信息，解答下列问题． （1）当时，若乙、丁每局投圈次数的中位数相同，求n的值； （2）已知四名同学第二局投圈次数的平均数为3，求的值； （3）若丁5局投圈的总次数为 14次，甲同学说：“丁同学 5局累计得分最多是32 分．”请判断甲同学的说法是否正确，并结合计分规则说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． （1）当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； （2）当时，求点A的纵坐标的最小值． 24. 已知关于x的一元二次方程M：． （1）判断是否是方程M的根，并说明理由； （2）现有一个关于x的一元二次方程N：，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：； （3）若，方程M有两个整数根，求所有满足条件的实数对，并写出对应的整数根． 25. 在矩形中，． （1）如图1，对角线交于点E，，F在上使，求的长； （2）如图2，M是中点，N是中点，G在上使．若垂直平分，求的长； （3）如图3，，，P是中点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $