精品解析：　福建省福州屏东中学2024-2025学年下学期八年级数学期末考试

福州屏东中学2024-2025学年第二学期八年级数学期末考试 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件得出，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴ ， 故选：D． 2. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 1，1， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理；如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形,解题关键是熟练运用勾股定理逆定理进行判断． 根据勾股定理的逆定理对四个选项中所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，，满足，，能构成直角三角形，故符合题意； C、，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：B． 3. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：A． 4. 一次函数的图象与y轴的交点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题．令，求出y值，即可得解． 【详解】解：令， ， 一次函数的图象与y轴的交点是， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 6. 抛物线中，与的部分对应值如表： … 1 3 4 5 7 … … 4 5 … 下列结论中，不正确的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 的最大值为 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据当时和当时的函数值相同，可得对称轴是直线，进而根据表格数据可得顶点坐标为，再由对称轴处的函数值大于其他位置的函数值可知抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∵， ∴该抛物线有最大值 ，即抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∴四个选项中，只有A选项说法错误，符合题意； 故选：A． 7. 如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点在上，连接．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得点F是线段的中点，从而是中位线，则有，从而得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵点是的中点， ∴ ， ∴， 即点F是线段的中点， ∴是 的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定，利用三角形中位线定理是解题的关键． 8. 二次函数图象上的三个点，比较之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数值的大小比较，需先确定顶点位置，再计算各点纵坐标，然后相比即可得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点横坐标为， 代入得顶点纵坐标，即顶点为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，则取最小为， ∴为最小值． 当时，， 当时，， 则， 故选：C． 9. 甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（ ） A. 甲车速度是 B. A、两地的距离是 C. 乙车出发时甲车到达地 D. 甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． 分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是 ，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为 ，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从图中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 10. 如图，矩形边 ，，E为与点D不重合的动点，以DE一边作矩形，且，设，点F、G与点C的距离分别为、，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，最短路线问题．连接、、、，证，得，则，故当点、、、在同一直线上时，最小，最小值为线段长，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 在矩形和矩形中，，，， ，， ， ， ， ， 当点、、、在同一直线上时（此时点与点重合），最小，最小值为线段长， 在 中，， 的最小值为． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 函数是正比例函数，那么a的值是______． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】本题主要考查的是正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可知，从而可求得的值． 【解答】解：是正比例函数， ． 解得：． 故答案为：． 12. 某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨，平均每月增长率是，列方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每月增长率是，根据增长后的量增长前的量（增长率），即可列出方程． 【详解】解：设平均每月增长率是， 一月份的总产量为500吨， 二月份的总产量为， 三月份的总产量为， 三月份的总产量为720吨， 可列方程为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 13. 若一元二次方程的两根为，则 的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴， 故答案为：. 14. 如图，已知四边形是菱形，从①，② ，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是_____（仅填序号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可．本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：依题意，由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件 不能证明四边形成为正方形； 当四边形是菱形加上条件，则证明过程如下： ∵四边形是菱形， ∴ ，， ∴ ∵， ∴ ∴ ， ∴四边形是正方形； 故答案为：③． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若 ，菱形的面积为54，则的长为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，根据菱形的性质求得是解题的关键．由菱形的性质可得 ，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵是菱形， ， ∴， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，利用分类讨论的方法，根据二次函数的对称性和增减性可以求得m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该二次函数图象的对称轴是直线 ， ∵点、是该二次函数图象上的两点，且，， ∴点在对称轴的右侧，点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 当 时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵对于该二次函数图象上的两点、，设，当时，恒成立， ∴ 解得； 当 时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而减小，无法保证，当时，恒成立， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解一元二次方程： ． 【答案】（1）2（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和加减运算，求一个数的绝对值，解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和利用配方法解一元二次方程． （1）先对二次根式进行化简，求一个数的绝对值，然后进行计算即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 如图，在中，点分别在 上，且 ．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵ ， ∴， ∴， ， ∴ ， 即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，，即可证，即得， ，进而得，即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 19. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（ 尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（ 尺），求秋千绳索 的长度． 【答案】14.5尺 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：设尺， 尺， 尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索 的长度为14.5尺． 20. 已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是一元二次方程 的解，求该方程的另一个解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据根的判别式得出，解不等式即可； （2）根据是方程 的解，得出，求出，得出一元二次方程 ，解方程即可． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 解：是方程 的解， ， ． 方程为 ． 解得． 方程的另一个解为 ． 21. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽 米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】（1） （2）石块能飞越防御墙 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为10米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为，化为顶点式为； （2）根据墙宽 米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米，得到，当 时，，得到石块能飞越防御墙． 【小问1详解】 ∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为，， 即； 【小问2详解】 ∵墙宽 米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米， ∴点C与点的水平距离为30米、垂直距离为6米， ∴， 当 时， ， ∴石块能飞越防御墙． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D． （1）在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作AE⊥BC于点E，根据两个角对应相等可判定两个三角形相似； （2）由AC＝AB＝6，AE⊥BC ，得E是BC的中点，再证, ，再根据△ACE∽△BCD即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作AE⊥BC于点E， ∵BD⊥AC，AE⊥BC ∴ 又∵ ∴△ACE∽△BCD ∴E点即为所作． 【小问2详解】 如图所示，连接DE， ∵AC＝AB＝6，AE⊥BC ， ∴E是BC的中点 又∵BD⊥AC，DE＝2， ∴, ∵△ACE∽△BCD ∴，即， 解得： 即DC的长为． 【点睛】本题考查作图与相似变换．解题的关键是掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质． 23. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】（1） （2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶设y与x的函数表达式为， 把 ，；， 代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 【小问3详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得 ， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 24. 二次函数（为常数， ）的图象记为． （1）若， ，求图象的顶点坐标； （2）若，点，在图象上，当时，恒成立，求的取值范围． （3）在（1）的条件下，点，点分别为抛物线与轴和轴的交点，点在抛物线上，且在线段下方，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把a，b代入函数即可求解； （2）把代入函数得，对称轴，分 ，和 ，根据函数的性质列出不等式即可求解； （3）如图所示，过点P作轴交于点E，交x轴于点F，求出所在直线表达式为 ，设，则，然后表示出的面积，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 若， ，则 ∴ ∴图象L的顶点坐标为； 【小问2详解】 若，则，图象的对称轴为直线 ∵当时，恒成立， ∴当 时，，解得； 当 时，，解得． 故的取值范围为或． 【小问3详解】 如图所示，过点P作轴交于点E，交x轴于点F ∵ ∴当时， ∴ 令，则 解得 或 ∴ ∴设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∵点在抛物线上， 设，则 ∴ ∴面积 ∵ ∴当时，面积有最大值． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，三角形面积最值问题，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质． 25. 【尝试发现】 （1）如图1，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把进行______等分． 【类比探究】 （2）类似的，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线 再次折叠，折痕交于点，此时有，补充下列证明过程： 证明：如图2，在矩形中，， 由折叠可知，， （　　）， ， （___________）， ，即 （3）如图3，先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕，请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． 【拓展应用】 （4）如图4，将矩形对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将 沿翻折得到 ，过点折叠矩形，使折痕 ，若点为边的三等分点，直接写出的值． 【答案】（）三；（2）， ，；（3）点是边的“三等分点”，证明见解析；（4） 【解析】 【分析】（）利用折叠的性质和锐角三角函数可得，即得 ，进而可得，即可求解； （）根据题意补全证明过程即可； （）由 可得，进而由得，即得，即可求证； （）设 ，则有 ，，，通过证明四边形是矩形得到，利用勾股定理求出，设，则，再证明，得到，得到，即可求出的值． 【详解】（）解：由折叠可得，， ，，， ∴， 在中，， ∴ ， ∴, ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴这个折纸的过程实际上就是把进行三等分 ， 故答案为：三； （）证明：如图，在矩形中，， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：， ，，； （）解：点是否为边的“三等分点”． 证明：在矩形中，，， 由折叠可得，，，四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点是否为边的“三等分点”； （）由折叠得， ， 点为边的三等分点， ， 设 ，则 ， ，， ， 由折叠性质得，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ∴， 设，则， ， ， 又， ， 又， ， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解三角形，勾股定理等，根据题意，掌握折叠的性质并运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州屏东中学2024-2025学年第二学期八年级数学期末考试 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 1，1， 3. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数的图象与y轴的交点是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线中，与的部分对应值如表： … 1 3 4 5 7 … … 4 5 … 下列结论中，不正确的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 的最大值为 7. 如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点在上，连接．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 二次函数图象上的三个点，比较之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（ ） A. 甲车速度是 B. A、两地的距离是 C. 乙车出发时甲车到达地 D. 甲车出发最终与乙车相遇 10. 如图，矩形边，，E为与点D不重合的动点，以DE一边作矩形，且，设，点F、G与点C的距离分别为、，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 函数是正比例函数，那么a的值是______． 12. 某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨，平均每月增长率是，列方程___________． 13. 若一元二次方程的两根为，则 的值为_______． 14. 如图，已知四边形是菱形，从①，② ，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是_____（仅填序号）． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若 ，菱形的面积为54，则的长为 ________． 16. 已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解一元二次方程： ． 18. 如图，在中，点分别在 上，且 ．求证：四边形是平行四边形． 19. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（ 尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（ 尺），求秋千绳索的长度． 20. 已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是一元二次方程 的解，求该方程的另一个解． 21. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽 米， 与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D． （1）在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长． 23. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 24. 二次函数（为常数， ）的图象记为． （1）若， ，求图象的顶点坐标； （2）若，点，在图象上，当时，恒成立，求的取值范围． （3）在（1）的条件下，点，点分别为抛物线与轴和轴的交点，点在抛物线上，且在线段下方，当面积最大时，求点的坐标． 25. 【尝试发现】 （1）如图1，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把进行______等分． 【类比探究】 （2）类似的，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有，补充下列证明过程： 证明：如图2，在矩形中，， 由折叠可知，， （　　）， ， （___________）， ，即 （3）如图3，先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕，请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． 【拓展应用】 （4）如图4，将矩形对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将 沿翻折得到 ，过点折叠矩形，使折痕 ，若点为边的三等分点，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $