2026-2027学年沪科版数学九年级上册期中考试专题复习二次函数与几何相关存在性问题培优练习

**基本信息** 聚焦二次函数与几何存在性问题，以图形判定为逻辑主线，提炼“两圆一线”“一线三垂直”等可迁移技法，构建“题型-方法-典例”三维训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形类|4子题型（等腰/等边/直角/等腰直角）|等腰：两圆一线分类讨论；直角：一线三垂直/勾股逆定理；等腰直角：构造全等|从特殊三角形判定出发，结合函数动点坐标表示，通过距离公式/相似列方程| |特殊四边形|4类（平行四边形/菱形/矩形/正方形）|菱形：四边相等/对角线垂直平分；矩形：对角线相等/直角判定；正方形：等腰直角+矩形性质|以平行四边形为基础，叠加特殊性质（菱形邻边相等、矩形直角等），迁移三角形存在性方法|

沪科版数学九年级上册期中考试专题复习 二次函数与几何相关存在性问题培优练习 【题型一 三角形类】 1 1-1等腰三角形 2 1-2等边三角形 4 1-3直角三角形 5 1-3等腰直角三角形 3 【题型二 平行四边形】 4 【题型三 菱形】 4 【题型四 矩形】 5 【题型五 正方形】 6 【题型1-特殊三角形类存在性问题】 等腰三角形存在性问题满分技法： ①设动点坐标（含参表示） ②两圆一线（中垂线）分类讨论列方程 ③常结合勾股定理（两点间距离公式） Ⅰ：抛物线分别与x轴交于A、B两点，且点A在B点左侧，与y轴交于点C ❶单动点且动点在直线上：若点P在该抛物线对称轴上一点，以P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形；试求满足条件的P坐标 （1）AC=AP 作法：以A点为圆心，AC长为半径画圆，交抛物线对称轴：直线x=于点,两点 求解步骤：设 已知A,;若AC=AP 根据两点之间距离公式可知： = 两边各自平方得： =32解得∴、 （2）CA=CP 做法：以C点为圆心，AC长为半径画圆，交抛物线对称轴：直线x=于点,两点 设且A,同理，根据两点之间距离公式可知： = 两边各自平方得： =32解得∴、 （3）PA=PC 做法：作线段AC的垂直平分线，交抛物线对称轴：直线x=于点 设且A,同理，根据两点之间距离公式可知： = 两边各自平方得： =解得∴ ❷单动点且动点在抛物线上：若点P在该抛物线上一点，且PB=PC；试求满足条件的P点横坐标 （4）PA=PC 做法：作线段AC的垂直平分线，交抛物线于点,两点 设且A,同理，根据两点之间距离公式可知： = 两边各自平方得： = 解得 Ⅱ：双动点且动点在抛物线和直线上 抛物线分别与x轴交于A、B两点，且点A在B点左侧，与y轴交于点C，若点D是抛物线上一点，且不在第一象限内.过D点作DF∥y轴，分别交直线BC于点E，X轴于点F,若△DEB是等腰三角形，试问点D的坐标？ 【分析】首先函数图像上的双动点D,E、含参表示其坐标；则DE的长也可以用两点纵坐标作减法得到代数式；再利用∠CBA=45°，得到等腰直角三角形△BFE;结合BE=BF=EF;再根据两边相等的等量关系列方程 【解答】①DE=BE 设F点横坐标为m（0＜m＜4） ∵点DF⊥X轴，且点D和E分别在抛物线和直线BC:上 ∴、则BF=，DE=;∵Rt△BFE是等腰直角三角形∴BE=BF=BE= ∵DE=BE∴= 解得（不合题意，舍去） 把代入中，得y=-2-3 ∴ 【解答】②DB=EB 设F点横坐标为m（m＜0） ∵点DF⊥X轴，且点D和E分别在抛物线和直线BC:上 ∴、 ∵DB=EB，点B在x轴上，且DE垂直于x轴，由等腰三角形三线合一可知 ∴点D、E关于x轴对称，故 得解得（不合题意，舍去） -2-4=-6 ∴ 【解答】③BE=DE 设F点横坐标为m（m＜0） ∵点DF⊥X轴，且点D和E分别在抛物线和直线BC:上 ∴、则BF=，DE=;∵Rt△BFE是等腰直角三角形∴BE=BF=BE= ∵BE=DE∴= 解得（不合题意，舍去） 把代入中，得y=-2+3 ∴ 【解答】④DE=DB 设F点横坐标为m（m＜0） ∵点DF⊥X轴，且点D和E分别在抛物线和直线BC:上 ∴、 若DE=DB且∠DBE=45°，∴△DEB是等腰直角三角形 则点D在抛物线与x轴交点上， 解得(不合题意，舍去） ∴ 综上所述，满足条件的点D坐标有、、、 【例1-等腰三角形】如图，已知二次函数的图象经过点A(3，3)、B(4，0)和原点O.P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D(m，0)，并与直线OA交于点C. (1)求出二次函数的解析式； (2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； (3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）将A(3,3)、B(4,0）、O（0,0）代入中，得 解得∴二次函数解析式为 （2）由题意知 设，则 PC== ∴线段PC的最大值为 （3）当△PCO是等腰三角形时 ∵∠OCP=∠PDO+∠COD=90°+45°=135° ∴∠OCP只能是等腰三角形△ODC的顶角；故OC=CP 又∵△ODC是等腰直角三角形 ∴OC= ∴= 解得（舍） ∴ 【1-2等边三角形】已知二次函数(b,c均为常数). (1)若函数图像经过原点，且对称轴是直线x=2,，求二次函数表达式： (2)若函数图像上有两点(且求b的取值范围： (3)将二次函数的图像平移，使其顶点P始终落在直线.y=x+1上，与该直线的另一个交点为Q，在x轴上是否存在点A(t，0)使得为等边三角形?若存在，求出t：若不存在，说明理由. 【答案】 （1）由题意知解得 ∴二次函数的表达式为 （2）∵把x=b-2和x=b分别代入中，得、 ∵即＞解得 的取值范围是 （3）二次函数经过平移后，抛物线的开口方向和大小不变,所以新抛物线y关于x的二次项系数仍然是-1. 已知顶点在直线上，设顶点坐标. 则平移后的二次函数表达式为 联立直线和抛物线的方程： 解得两个根： 当时，即顶点的坐标. 当时，代入直线方程，得到 交点坐标为。 已知，. 利用两点间距离公式： 若使得为等边三角形：则必须满足. 已知点的坐标为则有： 因为，所以； 即 解得：. 将代入的方程中,又 经整理后 使用求根公式解得 因为，所以： 答：在轴上存在点使得为等边三角形，的值为或. Ⅲ：抛物线分别与x轴交于A、B两点，且点A在B点左侧，与y轴交于点C. 直角三角形类满分技法： 一、一线三垂直（相似）→对应边对应成比例，列比例方程 二、勾股定理逆定理→两直角边的平方和等于斜边的平方 三、构造一线三垂直（全等）→列二元一次方程组（适用于等腰直角三角形） a.若抛物线上存在一点D,满足以D,B,C为顶点的三角形是直角三角形，求点D的坐标？ 已知B、C，设D（） ①如图一：当∠CBD=90°时，构造Rt△DGB∽Rt△BFC 即解得,（不合题意，舍去） ②如图二：当∠BCD=90°时，构造Rt△DHC∽Rt△COB 即解得,（不合题意，舍去） ③如图三：当∠D=90°时，如图所示点I,J两点所示位置；构造Rt△CKI∽Rt△ILB（初中现阶段不做要求，根据该比例方程，会得出三次高阶方程,故考题点会忽略此处） b.若抛物线对称轴上存在一点D,满足以D,B,C为顶点的三角形是直角三角形，求点D的坐标？ 已知B、C，设D（） ④构造一线三等角或勾股定理的逆定理均能解决问题 示例：当时；根据两点之间距离公式 即+ 解得, ∴D点坐标为（）或（） 【1-3直角三角形】已知：直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B,且交x轴于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一点，且点P在AB的下方，设点P的横坐标为m. ①试求当m为何值时，的面积最大； ②当的面积最大时，过点P作x轴的垂线PD，垂足为点D，问在直线PD上否存在点Q，使为直角三角形?若存在，直接写出符合条件的Q的坐标若不存在，请说明理由. （1）∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B ∴、 把A、B两点坐标代入中，得 解得 因此，抛物线的解析式为 （2）①设点的坐标为 过点作轴的平行线，交直线于点，点在直线AB:上，且横坐标为，所以点的坐标为 因为点在直线的下方，所以线段的长度为： 。 的面积可以看作和面积之和 x≤9 所以当时，的面积取得最大值，最大值为 ②由①可知，点的横坐标为则直线的方程为 设直线上的点的坐标为 点是抛物线与轴的交点 令，得解得， ∴点的坐标为。 已知点，点，点。 判断为直角三角形的情况，计算三角形三边长度的平方： 分三种情况讨论直角顶点： 情况一： 此时 解得 此时点的坐标为。 情况二： 此时 解得 此时点的坐标为 情况三： 此时 经整理后 判别式，方程无实数解。 综上所述，存在符合条件的点，其坐标为或 【1-4-1等腰直角三角形】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C(0，3)，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0).点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方. (1)求这个二次函数及直线BC的表达式. (2)过点P作PE垂直于BC交直线BC于点E，求PE的最大值. (3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点N的坐标，并选取一种情况证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)将B(3,0)、C(0,3)代入中，得 解得 ∴抛物线解析式为 设直线BC表达式为y=kx+n将B(3,0)、C(0,3)代入，得 解得 (2)设P点横坐标为m则P、 ∵ ∵底边为定值 当面积取得最大值时，底边BC上的高线PE就是最大值 连接AP,∵ ∵，∴ 当m=时，面积取得最大值 ∵解得PE= (3)为等腰直角三角形；{} 已知O(0,0)、M点横坐标为1、设 ①当点M在x轴下方时 ∵FM=NE,OF=ME ∴， 即 则经整理得 解得（不合题意，舍去）， ∴ ②当点M在x轴上方时 ∵FM=NE,OF=ME ∴， 即 则经整理得 解得（不合题意，舍去）， ∴ 【1-4-2等腰直角三角形】综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点A(0，2)，对称轴为直线x=-2,平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6. (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为 ， (3)若点P在直线AB上,直线CP将的面积分成2：3两部分，求点P坐标. (4)点Q在直线BC上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由. 【答案】由题意得 解得∴抛物线的解析式是 （2）由（1）可知，抛物线上有两点B、C，且满足BC=6，BC∥x轴 ∵抛物线的对称轴为直线x=-2; -2+3=1，-2-3=-5 分别将x=1和x=-5代入中，得y=7 ∴B（-5,7）、C（1,7）且A（0,2） 当△ABD的周长最小时，点A关于x轴对称点 连接D,则D=D ∵AB+BD+AD=AB+BD+D≥AB+B,当且仅当B、D、共线时取得最小值 即直线B与x轴交点坐标是点D ∴D （3）过点A作AD∥BC交CP延长线于点D,如图所示 若直线CP将的面积分成2：3两部分,则BP:AP=2：3或BP:AP=3：2 ∵△CBP∽△DAP∴ 即或解得AD=9或AD=4 ∴D点坐标为（-9,2）或（-4,2） 已知C（1,7）、B（-5,7） 将直线CD和直线AB的解析式联立，可得 或解得或 ∴P点坐标（-3,5）或（-2,4） （4）①当点Q在y轴左侧时 设Q（n,7）（n＜0）且A（0，2） 构造Rt△MEQRt△QFA（一线三垂直全等） 则EM=QF=5，EQ=AF=-n ∴M（n+5,7-n）把M点坐标代入中，得 解得 ∴、 ②当点Q在y轴上时，Q（0，7）、M（-5,7）满足题意 ∴ ③当点Q在y轴右侧时， 设Q（n,7）（n＞0）且A（0，2） 构造Rt△MEQRt△QFA（一线三垂直全等） 则EM=QF=5，EQ=AF=n ∴M（n-5,7+n）把M点坐标代入中，得 解得、（舍去，和原有的点重复） ∴ 【题型2平行四边形存在性问题】 【例2】如图，抛物线经过点A(2,0),B(-2,4),C(-4,0),直线AB与抛物线的对称轴交于点E. (1)求抛物线的表达式； (2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)若点F为平面内的一点，且以点B，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，请写 出符合条件的点F的坐标. 【答案】（1）将A(2,0),B(-2,4),C(-4,0)代入抛物线中，得 解得 ∴为 （2）过M点作PH⊥x轴，交直线AB于点D 设直线AB解析式为，把A(2,0),B(-2,4)代入，得 解得 ∴直线AB的解析式为 设，则D ∵点M在直线AB的上方，MD== 依次连接MB、MA、OB，如图所示 === ∵∴当且仅当m=0时，有最大值，则点M坐标为（0,4） （3）①当BC为平行四边形的一边时，已知E(-1,3),B(-2,4),C(-4,0)设F（） ∵BC平行且相等EF 由题意得 或 即 或解得或 ∴F（）或（） ②当BC为平行四边形的对角线时，∵对角线CF和BC互相平分，则四边形CEBF是平行四边形即解得∴F（） 综上所述，符合条件的点F的坐标有（）、（）、（） 【变式2-1】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1，0)，直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为(3，4)，B点在y轴上. (1)求m的值及这个二次函数的关系式； (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过点P作y轴的平行线，与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形?若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）将A(3，4)代入y=x+m中，得3+m=4 解得m=1 ∵二次函数图象的顶点坐标为C(1，0) 设二次函数的解析式为顶点式，将A(3，4)代入，得 解得a=1 ∴二次函数的解析式为 化为一般式 （2）由（1）可知，设P点横坐标为n，则, PE= 即，且 （3）由题意可得，D点坐标（1，2） 根据平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 已知PE∥DC,当PE=DC时满足四边形DCEP是平行四边形 则有=2解得（不合题意，舍去）、 ∴P点坐标（2，3） 【变式2-2】如图，已知二次函数的图象交x轴于点A(-1,0),B(5,0),交y轴于点C. (1)求这个二次函数的解析式； (2)如图①,点M从点B出发,以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发.设运动时间为t秒((0<t<5).当t为何值时，的面积最大?最大面积是多少? (3)已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）将A(-1,0),B(5,0)代入中，得 解得 ∴二次函数的解析式为 （2）由（1）可知，C点坐标（0，5）∵OB=OC=5，∠COB=90° ∴Rt△COB是等腰直角三角形∴∠OBC=45°，过M点作MH⊥x轴 ∵∠MHB=90°，∴Rt△MHB是等腰直角三角形 在Rt△MHB中，MH= 由题意知：ON=t，BM=，BN=5-t == ∵≥0，∴≤当且仅当时，的面积取得最大值，最大值为 （3）①当AC为平行四边形的一边时 己知A(-1,0)、C(0,5) 设 ∵AC∥PQ且AC=PQ ∴(如图1所示)或(如图二所示) 即或 解得或 ∴P(a+1,-a+10)或(a-1,-a)分别代入中，得 解得(舍), 点Q坐标为(1,4)、(2,3)、(7,-2) ②当AC为平行四边形对角线时，对角线互相平分的四边形是平行四边形，由题意得 即解得 将P(-1-a,a)代入中，得 -a(a+7)=0 (舍) 点Q坐标(-7,12) 综上所述：点Q坐标有(1,4)、(2,3)、(7,-2)、(-7,12) 【题型3菱形存在性问题】 菱形存在性满分技法 （1）明确菱形的判定定理： 四边形→菱形：①四条边都相等的四边形②对角线互相垂直且平分的四边形 平行四边形→菱形：③一组邻边相等的平行四边形④对角线互相垂直的平行四边形 （2）结合特殊角度：如30°，60°，45°，90°；各线段之间有特定的比值关系 再结合两点之间距离公式或勾股定理列方程求解 （3）分类讨论：确定两点之间连接的线段可作为菱形的一边或对角线 （4）函数图像上的点含参表示 【例3】如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为(1，0)，对称轴是直线：x=-1,点P是x轴上一动点，轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N. (1)求这个二次函数的解析式. (2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标. (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）∵点B的坐标为(1，0)，对称轴是直线：x=-1 由题意得解得∴二次函数的解析式为 （2）由（1）可知A（-3,0）、C（0，-3） ∴直线AC的解析式为y=-x-3 设P点横坐标为n,则N,M,P ∵∴ ∴MN取得最大值为，当且仅当时 ∵=≤ 四边形ABCN面积的最大值为，此时点P的坐标为 （3）由题意知： ①∵点Q是y轴上的动点，可使得MN平行且相等CQ，所以以M、N、C、Q为顶点的四边形是平行四边形；当MQ=CQ时，以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形； ∵∠MCQ=45°，所以四边形MNCQ是正方形；点N和点C（0，-3）是对称点，关于直线x=-1对称 ∴N（-2，-3）∴CQ=CN=2如图一所示：则点Q坐标为 ②同理，若MN=CM 设P点横坐标为n,则N,M,P CM== ∴= 解得（不合题意，舍去）、 ∴CQ=CM=则点Q坐标为 综上所述，点Q的坐标为或 【变式3-1】如图，已知抛物线与χ轴交于A，D两点，与，y轴交于点C，点B为抛物线的顶点.(1)求抛物线的对称轴及点B的坐标； (2)若抛物线上存在一点E，使得求点E的坐标； (3)(任意一点+抛物线上的动点)若平面直角坐标系内存在动点P，抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）将抛物线化为顶点式： ∴抛物线的对称轴为直线x=1,点B的坐标（1，-4） （2）若，以AD为公共底边，满足同底等高即可 令y=3代入中，得 解得∴， 再令y=-3代入代入中，得 解得（舍）、 ∴ 综上所述，点E的坐标为，, （3）使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形 根据菱形的判定：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故有对角线PQ垂直且平分AC 法1：求出线段AC的垂直平分线的解析式，联立抛物线，求出点Q的横坐标；两条直线位置关系若互相垂直，则该直线对应的一次函数解析式：一次项系数乘积为-1 已知A（3,0），C（0，-3）∴直线AC解析式为y=x+3 根据两点之间中间坐标公式：∴E（，） 设直线PQ的解析式为y=kx+b 由题意得解得∴直线PQ的解析式为y=-x，将其联立抛物线得 解得, ∴Q点坐标为、 法2：抛物线上的点Q依旧含参表示，再根据两点之间距离公式，利用QA=QC，左右两边各自平方后列方程求解； 设Q（）、已知、 ∵QA=QC两边各自平方后得： 即 经整理后得解得、 再将n的值分别代入中，分别得和 ∴Q点坐标为、 【题型4矩形存在性问题】 满分技法： （1）函数图像上的动点：含参表示 （2）矩形的判定定理 四边形→矩形： ①三个角都是直角的四边形是矩形 ②对角线互相平分且相等的四边形是矩形 平行四边形→矩形： ③对角线相等的平行四边形 ④有一个角是直角的平行四边形 （3）如何证直角：一线三垂直（相似）、勾股定理逆定理、圆周角定理推论（直径所对的圆周角等于90度） 【例4】如图，抛物线与x轴交于点A(-3,0),B(2,0),与y轴交于点C,∠CAO=直线交抛物线于点E，且AE=EC. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为直线上一点，点N为直线EC上一点，求的最小值； (3)(抛物线上的动点+任意一点)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）已知A(-3,0)、∠CAO=∵∠AOC=90°∴△AOC是等腰直角三角形，则OA=OC∴C点坐标(0,3) 将A(-3,0),B(2,0),C(0,3)代入中，得 解得 ∴二次函数的解析式为 （2）由题意知，点E是线段AC垂直平分线与抛物线的交点且位于第二象限内 联立解得，（不合题意，舍去） ∴E点坐标（-2,2）设直线EC的解析式为 过C点(0,3)作关于直线y=1的对称点 ∴ 则,当且仅当，M,N，三点共线时，又因为点N是直线CE上的动点，当时，能取到最小值（点到直线的距离，垂线段最短,再连接E，等面积法求解） ∵ 即解得故的最小值为 （3）①当EC为矩形的一边时，若PQ平行且相等EC,则四边形ECPQ是平行四边形，再令∠ECP=90°，则平行四边形ECPQ是矩形 分别过E、P两点作EM⊥y轴，PN⊥y轴，垂足分别为点M,N 当Rt△EMC∽Rt△CNP时，∠ECM=∠CPN ∵∠CPN+∠NCP=90°∴∠ECM+∠NCP=90°即∠ECP=90° 设,已知E点坐标（-2,2），C点坐标(0,3) ∵Rt△EMC∽Rt△CNP ∴即得 解得（不合题意，舍去） = ∴点P坐标为 ∵EC∥PQ且EC=PQ ∴即 解得∴点Q的坐标为 ②当EC为矩形的对角线时，则有∠EPC=90°，因为直径所对的圆周角等于90度 以EC为直径画圆，根据图象可知，除E、C两点外无公共交点；则此类情况无满足条件的解. 【变式4-1】如图，抛物线的对称轴是直线x=1,与x轴交于点A，B(3,0),与y轴交于点C,连接AC. (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以B、C、E、F为顶点的四边形为矩形.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】（1）由题意知：解得 ∴抛物线的解析式为 （2）①当CB为矩形的一边时；若CF∥BE,CF=BE且∠CBE=90° 能得到四边形CBED是矩形 已知C（0,3）、B（3,0）设E（1，n） 根据勾股定理的逆定理可知： 即 解得n=-2 ∴E（1，-2） ∵CD∥BE,CD=BE ∴即 解得∴点F的坐标为 ②当CB为矩形的一边时； 若CE∥BF,CE=BF且∠ECB=90° 能得到四边形CBED是矩形 同理，根据勾股定理的逆定理可知： 即 解得n=4 ∴E（1，4） ∵CE∥BF,CE=BF ∴即 解得∴点F的坐标为 若CE∥BF,CE=BF且∠ECB=90° 能得到四边形CBED是矩形 同理，根据勾股定理的逆定理可知： 即 解得n=4 ∴E（1，4） ∵CE∥BF,CE=BF ∴即 解得∴点F的坐标为 ③当CB为矩形的对角线时；以BC为直径画圆，交直线x=1于两点 根据勾股定理逆定理可知，,则有∠CEB=90° 已知C（0,3）、B（3,0）设E（1，n） ∵ 经整理化简后 解得, ∴E点坐标为或 ∵矩形的对角线互相平分且相等 则即或解得 或 ∴E（2，）或（2，） 综上所述，满足条件F点的坐标有（1，4）、、，（2，） 【题型5正方形存在性问题】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与y轴交于点C,直线:y=kx+b经过点A,C. (1)求直线的解析式； (2)在第一象限内存在一点D，使得是以AC为直角边的等腰直角三角形，求点D的坐标； (3)(抛物线旋转后对应的两点)在直线AC左侧有一点M，将抛物线绕点M旋转得到新抛物线，其中点A，C的对应点分别是A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是正方形，求点M的坐标. 【答案】（1）∵抛物线与轴交于A，B两点 ∴A，B，C 设直线的解析式为y=kx+b 把A，C代入，得 解得∴直线的解析式为y=-3x-3 （2）如图所示，过A点作直线EF⊥x轴，且DF⊥EF,CE⊥EF 当Rt△DFA≌Rt△AEC时，DA=AC，∠DAF=∠ACE ∵∠ACE+∠EAC=90° ∴∠DAF+∠EAC=90° ∴∠DAC=180°-=90° ∴Rt△DAC是等腰直角三角形 ∵A，C ∴ ∴ ∴D点坐标为 （3）由题意知AC为正方形的一边，过轴，∵ ∴ ∴ 点M为正方形的对角线交点，则有 ∴ 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A(1，0),B(5,0)两点，与y轴相交于点C，点D为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)(抛物线上的动点+任意一点)点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点，AI为对角线作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】（1）将A(1，0),B(5,0)代入中，得 解得 ∴ 取时， ∴顶点D坐标为 （2）连接OD,∵ = 故的面积为6 （3）当点I在第一象限时，只需要讨论△AMI是等腰直角三角形即可;构造一线三垂直的全等模型；使得Rt△AGM≌Rt△MHI；所以HI=MG 已知A,设M，点I的横坐标为3 ∵即 ①当m＜3时，经整理，得 解得， ∴点M坐标为或 ②当m＞3时，=经整理，得 解得， ∴点M坐标为或 综上所述，满足条件的点M坐标有 或或或 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版数学九年级上册期中考试专题复习 二次函数与几何相关存在性问题培优练习 【题型一 三角形类】 1 1-1等腰三角形 2 1-2等边三角形 4 1-3直角三角形 5 1-3等腰直角三角形 3 【题型二 平行四边形】 4 【题型三 菱形】 4 【题型四 矩形】 5 【题型五 正方形】 6 【题型1-特殊三角形类存在性问题】 等腰三角形存在性问题满分技法： ①设动点坐标（含参表示） ②两圆一线（中垂线）分类讨论列方程 ③常结合勾股定理（两点间距离公式） Ⅰ：抛物线分别与x轴交于A、B两点，且点A在B点左侧，与y轴交于点C ❶单动点且动点在直线上：若点P在该抛物线对称轴上一点，以P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形；试求满足条件的P坐标 （1）AC=AP 作法：以A点为圆心，AC长为半径画圆，交抛物线对称轴：直线x=于点,两点 求解步骤：设 已知A,;若AC=AP 根据两点之间距离公式可知： = 两边各自平方得： =32解得∴、 （2）CA=CP 做法：以C点为圆心，AC长为半径画圆，交抛物线对称轴：直线x=于点,两点 设且A,同理，根据两点之间距离公式可知： = 两边各自平方得： =32解得∴、 （3）PA=PC 做法：作线段AC的垂直平分线，交抛物线对称轴：直线x=于点 设且A,同理，根据两点之间距离公式可知： = 两边各自平方得： =解得∴ ❷单动点且动点在抛物线上：若点P在该抛物线上一点，且PB=PC；试求满足条件的P点横坐标 （4）PA=PC 做法：作线段AC的垂直平分线，交抛物线于点,两点 设且A,同理，根据两点之间距离公式可知： = 两边各自平方得： = 解得 Ⅱ：双动点且动点在抛物线和直线上 抛物线分别与x轴交于A、B两点，且点A在B点左侧，与y轴交于点C，若点D是抛物线上一点，且不在第一象限内.过D点作DF∥y轴，分别交直线BC于点E，X轴于点F,若△DEB是等腰三角形，试问点D的坐标？ 【分析】首先函数图像上的双动点D,E、含参表示其坐标；则DE的长也可以用两点纵坐标作减法得到代数式；再利用∠CBA=45°，得到等腰直角三角形△BFE;结合BE=BF=EF;再根据两边相等的等量关系列方程 【解答】①DE=BE 设F点横坐标为m（0＜m＜4） ∵点DF⊥X轴，且点D和E分别在抛物线和直线BC:上 ∴、则BF=，DE=;∵Rt△BFE是等腰直角三角形∴BE=BF=BE= ∵DE=BE∴= 解得（不合题意，舍去） 把代入中，得y=-2-3 ∴ 【解答】②DB=EB 设F点横坐标为m（m＜0） ∵点DF⊥X轴，且点D和E分别在抛物线和直线BC:上 ∴、 ∵DB=EB，点B在x轴上，且DE垂直于x轴，由等腰三角形三线合一可知 ∴点D、E关于x轴对称，故 得解得（不合题意，舍去） -2-4=-6 ∴ 【解答】③BE=DE 设F点横坐标为m（m＜0） ∵点DF⊥X轴，且点D和E分别在抛物线和直线BC:上 ∴、则BF=，DE=;∵Rt△BFE是等腰直角三角形∴BE=BF=BE= ∵BE=DE∴= 解得（不合题意，舍去） 把代入中，得y=-2+3 ∴ 【解答】④DE=DB 设F点横坐标为m（m＜0） ∵点DF⊥X轴，且点D和E分别在抛物线和直线BC:上 ∴、 若DE=DB且∠DBE=45°，∴△DEB是等腰直角三角形 则点D在抛物线与x轴交点上， 解得(不合题意，舍去） ∴ 综上所述，满足条件的点D坐标有、、、 【例1-等腰三角形】如图，已知二次函数的图象经过点A(3，3)、B(4，0)和原点O.P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D(m，0)，并与直线OA交于点C. (1)求出二次函数的解析式； (2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； (3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由. 【1-2等边三角形】已知二次函数(b,c均为常数). (1)若函数图像经过原点，且对称轴是直线x=2,，求二次函数表达式： (2)若函数图像上有两点(且求b的取值范围： (3)将二次函数的图像平移，使其顶点P始终落在直线.y=x+1上，与该直线的另一个交点为Q，在x轴上是否存在点A(t，0)使得为等边三角形?若存在，求出t：若不存在，说明理由. Ⅲ：抛物线分别与x轴交于A、B两点，且点A在B点左侧，与y轴交于点C. 直角三角形类满分技法： 一、一线三垂直（相似）→对应边对应成比例，列比例方程 二、勾股定理逆定理→两直角边的平方和等于斜边的平方 三、构造一线三垂直（全等）→列二元一次方程组（适用于等腰直角三角形） a.若抛物线上存在一点D,满足以D,B,C为顶点的三角形是直角三角形，求点D的坐标？ 已知B、C，设D（） ①如图一：当∠CBD=90°时，构造Rt△DGB∽Rt△BFC 即解得,（不合题意，舍去） ②如图二：当∠BCD=90°时，构造Rt△DHC∽Rt△COB 即解得,（不合题意，舍去） ③如图三：当∠D=90°时，如图所示点I,J两点所示位置；构造Rt△CKI∽Rt△ILB（初中现阶段不做要求，根据该比例方程，会得出三次高阶方程,故考题点会忽略此处） b.若抛物线对称轴上存在一点D,满足以D,B,C为顶点的三角形是直角三角形，求点D的坐标？ 已知B、C，设D（） ④构造一线三等角或勾股定理的逆定理均能解决问题 示例：当时；根据两点之间距离公式 即+ 解得, ∴D点坐标为（）或（） 【1-3直角三角形】已知：直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B,且交x轴于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一点，且点P在AB的下方，设点P的横坐标为m. ①试求当m为何值时，的面积最大； ②当的面积最大时，过点P作x轴的垂线PD，垂足为点D，问在直线PD上否存在点Q，使为直角三角形?若存在，直接写出符合条件的Q的坐标若不存在，请说明理由. 【1-4-1等腰直角三角形】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C(0，3)，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0).点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方. (1)求这个二次函数及直线BC的表达式. (2)过点P作PE垂直于BC交直线BC于点E，求PE的最大值. (3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点N的坐标，并选取一种情况证明；若不存在，请说明理由. 【1-4-2等腰直角三角形】综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点A(0，2)，对称轴为直线x=-2,平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6. (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为 ， (3)若点P在直线AB上,直线CP将的面积分成2：3两部分，求点P坐标. (4)点Q在直线BC上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由. 【题型2平行四边形存在性问题】 【例2】如图，抛物线经过点A(2,0),B(-2,4),C(-4,0),直线AB与抛物线的对称轴交于点E. (1)求抛物线的表达式； (2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)若点F为平面内的一点，且以点B，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，请写 出符合条件的点F的坐标. 【变式2-1】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1，0)，直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为(3，4)，B点在y轴上. (1)求m的值及这个二次函数的关系式； (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过点P作y轴的平行线，与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形?若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由. 【变式2-2】如图，已知二次函数的图象交x轴于点A(-1,0),B(5,0),交y轴于点C. (1)求这个二次函数的解析式； (2)如图①,点M从点B出发,以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发.设运动时间为t秒((0<t<5).当t为何值时，的面积最大?最大面积是多少? (3)已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由. 【题型3菱形存在性问题】 菱形存在性满分技法 （1）明确菱形的判定定理： 四边形→菱形：①四条边都相等的四边形②对角线互相垂直且平分的四边形 平行四边形→菱形：③一组邻边相等的平行四边形④对角线互相垂直的平行四边形 （2）结合特殊角度：如30°，60°，45°，90°；各线段之间有特定的比值关系 再结合两点之间距离公式或勾股定理列方程求解 （3）分类讨论：确定两点之间连接的线段可作为菱形的一边或对角线 （4）函数图像上的点含参表示 【例3】如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为(1，0)，对称轴是直线：x=-1,点P是x轴上一动点，轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N. (1)求这个二次函数的解析式. (2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标. (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式3-1】如图，已知抛物线与χ轴交于A，D两点，与，y轴交于点C，点B为抛物线的顶点.(1)求抛物线的对称轴及点B的坐标； (2)若抛物线上存在一点E，使得求点E的坐标； (3)(任意一点+抛物线上的动点)若平面直角坐标系内存在动点P，抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 （3）使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形 法1：求出线段AC的垂直平分线的解析式，联立抛物线，求出点Q的横坐标；两条直线位置关系若互相垂直，则该直线对应的一次函数解析式：一次项系数乘积为-1 【题型4矩形存在性问题】 满分技法： （1）函数图像上的动点：含参表示 （2）矩形的判定定理 四边形→矩形： ①三个角都是直角的四边形是矩形 ②对角线互相平分且相等的四边形是矩形 平行四边形→矩形： ③对角线相等的平行四边形 ④有一个角是直角的平行四边形 （3）如何证直角：一线三垂直（相似）、勾股定理逆定理、圆周角定理推论（直径所对的圆周角等于90度） 【例4】如图，抛物线与x轴交于点A(-3,0),B(2,0),与y轴交于点C,∠CAO=直线交抛物线于点E，且AE=EC. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为直线上一点，点N为直线EC上一点，求的最小值； (3)(抛物线上的动点+任意一点)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式4-1】如图，抛物线的对称轴是直线x=1,与x轴交于点A，B(3,0),与y轴交于点C,连接AC. (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以B、C、E、F为顶点的四边形为矩形.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由。 【题型5正方形存在性问题】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与y轴交于点C,直线:y=kx+b经过点A,C. (1)求直线的解析式； (2)在第一象限内存在一点D，使得是以AC为直角边的等腰直角三角形，求点D的坐标； (3)(抛物线旋转后对应的两点)在直线AC左侧有一点M，将抛物线绕点M旋转得到新抛物线，其中点A，C的对应点分别是A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是正方形，求点M的坐标. 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A(1，0),B(5,0)两点，与y轴相交于点C，点D为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)(抛物线上的动点+任意一点)点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点，AI为对角线作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $