期中复习检测卷（21-23章）2025-2026学年人教版 九年级数学上册

2025-2026学年九年级数学上册期中复习检测卷（21-23章） 题型1 由一元二次方程的解求参数 1．等腰三角形的一边长为2，它的另外两边的长度是关于x的方程的两个实数根，则k的值是（    ） A．9 B．8 C．8或9 D．1 2．已知、、是的三条边长，若是关于的一元二次方程的根． (1)是等腰三角形吗？是等边三角形吗？请写出你的结论并证明； (2)若代数式有意义，且为方程的根，求的周长． 题型2 一元二次方程的解的估算 3．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（   ） 输出 A． B． C． D． 4．根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 题型3 由一元二次方程的定义求参数 5．如果方程是一元二次方程，那么m的值为 ． 6．如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（    ）． A．2 B． C． D．3 题型4 配方法解一元二次方程 7．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ∵， ∴， ∴的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)小红的爸爸要在一边靠墙（墙长）的空地上建一个如图所示的长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．设，当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 8．关于x的方程（m为常数）是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见： 甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程； 乙认为：原方程中二次项系数肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程． 你认为甲、乙两同学的意见，谁正确?证明你的结论． 题型5 公式法解一元二次方程 9．按要求解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 10．关于x的方程为，k为实数． (1)若方程有一个根是1，求此时k的值； (2)求证：不管k取任何实数，方程总有实数根； (3)求整数k，使原方程至少有一个整数根． 题型6 因式分解法解一元二次方程 11.用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 12．如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰方程”． (1)一元二次方程______凤凰方程（填“是”或“不是”）； (2)已知是关于x的凤凰方程，求m的值． 题型7 —元二次方程的根与系数的关系 13．已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的一个实数根为，求另一个实数根； (3)若方程的两个实数根，满足，求的值． 14．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 题型8 传播问题（一元二次方程的应用） 15．感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有100人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同． (1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？ (2)若传播得不到有效的控制，3轮传播后，被感染的人数会不会超过800人？ 16．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 题型9 增长率问题（一元二次方程的应用） 17．某厂某年1月的总产量为620吨，第一季度的总产量为3100吨，设二、三月份的产量月平均增长率为x,根据题意可得方程为（　　） A． B． C． D． 18．为了推进农产品的销售，某村村委会在网上直播销售A，B两种农产品礼包． (1)已知今年7月份销售A种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值； (2)若B种农产品礼包每包成本价为7元，当售价为每包25元时，每月销量为300包，经调查发现，若B种农产品礼包每包降价1元，月销售量可增加30包．设B种农产品礼包每包降价m元．请解答以下问题： ①填空：每包降价m元，B种农产品礼包每包利润为__________；B种农产品礼包月销售量为__________包（用含m的代数式表示）： ②为了尽快减少库存，该村在10月进行降价促销．若该村在10月份销售B种农产品礼包获利5760元，求m的值． 题型10 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 19．如图，某市近郊有一块长为，宽为的矩形土地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的四个矩形（四个矩形的一边长均为）区域将铺设塑胶地面作为运动场地． (1)设通道的宽度为，则塑胶运动场地总面积_______．（用含x的代数式表示）； (2)若塑胶运动场地总面积为，请问通道的宽度为多少？ 20．如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒． (1)这个无盖纸盒的长为______，宽为______ 用含x的式子表示； (2)若要制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，求x的值； (3)当x为______时，该长方体纸盒的容积是（写出一个答案即可 题型11 数字问题（元二次方程的应用） 21．某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ． 22．有一个两位数，个位数字比十位数字大，且个位数字与十位数字的平方和等于，这个两位数是 ． 题型12 营销问题（一元二次方程的应用） 23．2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨“和“妮妮“以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件．若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？ 24．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． (1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率． 题型13 动态几何问题（一元二次方程的应用） 25．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 26．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：________，______（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长为？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 题型14 工程问题（一元二次方程的应用） 27．年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼·罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生 产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线．原计划生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个． （1）若生产线一共工作小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则生产线至少生产护目镜多少小时？ （2）原计划生产线每天均工作小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个．这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 28．“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园. （1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？ （2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值. 题型15 行程问题（一元二次方程的应用） 29．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 30．甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 题型16 图表信息题（一元二次方程的应用） 31．根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 32．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 题型17 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 33．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列方程（   ） A． B． C． D． 34．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 题型18 二次函数y=ax²的图象和性质 35．在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）． 36．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型19 二次函数y=a(x- h)²+k的图象和性质 37．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 38．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 题型20 y=ax²+bx+c的图象与性质 39．函数与的图像如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 40．二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④；⑤若图象上有两点、，则有；其中正确的是（   ） A．③④⑤ B．①②⑤ C．①②④⑤ D．①②③④ 题型21 二次函数图象与各项系数符号 41．抛物线（）的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法；①；②（t为全体实数）；③若图象上存在点和，当时，满足，则m的取值范围为；④若直线与抛物线两交点横坐标为分别为，．则不等式的解集为．其中正确个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴，给出四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型22 一次函数、二次函数图象综合判断 43．函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 44．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A．B．C． D． 题型23 根据二次函数的图象判断式子符号 45．如图，抛物线经过原点，顶点坐标为 (1)该抛物线的对称轴为直线_________，当____时，函数有最____值； (2)求抛物线的解析式； (3)当时，写出的取值范围______________． 46．已知抛物线，点为平面直角坐标系原点，点坐标为． (1)若抛物线过点，求该函数图象的对称轴与顶点坐标． (2)在（1）的条件下，当时函数的最大值为，最小值为，求的值． (3)若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 题型24 y=ax²+bx+c的最值 47．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点M是x轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 48．请用无刻度的直尺分别按下列要求画图，每个问题的画线不得超过五条（保留画图痕迹）． (1)如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，轴交抛物线于点，作出抛物线的对称轴；并在上画出点，使得最小； (2)如图2，抛物线，交于点且关于直线对称，两抛物线分别交轴于点，和点，，作出直线． 题型25 待定系数法求二次函数解析式 49.（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，该二次函数的图象的顶点坐标为，与轴正半轴的一个交点的坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出的取值范围； (3)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，图象恰好经过点，求的值． 50．已知二次函数的部分图象如图所示． (1)求该抛物线与轴的另外一个交点坐标和的值． (2)将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，直接写出平移后抛物线的解析式并说明点是否在平移后的抛物线上． 题型26 线段周长问题（二次函数综合） 51.如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t． (1)求抛物线解析式； (2)当，求t的值； (3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值； 52．如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)如图1，连接，在对称轴上找一点D，使得是以为底角的等腰三角形，求点D的坐标； (3)如图2，第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，连接交于点Q．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值． 题型27 面积问题（次函数综合） 53．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点 (1)a的值为　　　　　　． (2)如图1，在第二象限的抛物线上取点P，点D为抛物线的顶点，连接、、、，若点P的横坐标为t，四边形的面积为S，求S与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上取点，且点在x轴的上方，连接、，，，再在第二象限的抛物线上另取一点Q，点Q在点P的上方，连接交于，并在上取点，连接交于，求点的坐标． 54．如图，已知二次函数过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； (3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由． 题型28 角度问题（二次函数综合) 55．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标； (3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标． 56．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标． 题型29 特殊三角形问题（次函数综合） 57．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点E的横坐标为x，过点E作轴，交直线于点P，交x轴于点F． （）连接，，求面积的最大值，并求此时点E的坐标； （）是否存在点P使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 58．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求b，c，m的值； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 题型30 特殊四边形（二次函数综合） 59．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，,，，抛物线的图象经过C点． (1)求抛物线的解析式； (2)平移该抛物线的对称轴所在直线L．当L移动到何处时，恰好将的面积分为相等的两部分？ (3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 60．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点，为抛物线上的一个动点，连接，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)当点在轴右侧时： ①连接，当的面积是面积的一半时，直接写出点的坐标______； ②设是抛物线对称轴上一动点，当、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的的值． 题型31 抛物线与x轴的交点问题 61．对于二次函数．有下列四个结论：①它的对称轴是直线；②设，，则当时，有；③它的图象与轴的两个交点是和；④当时，．其中正确的结论的个数为（　　） A． B． C． D． 62．二次函数的图像如图所示，那么关于的方程的根的情况是（   ）    A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 题型32 求x轴与抛物线的截线长 63.如图，函数的图象过点和．有下列结论： ①； ②关于x的方程必有两个不相等的实数根； ③； ④ 其中正确的结论是 64.已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为 ． 题型33 图形问题（实际问题与二次函数） 65．用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设的长为米． (1)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． (2)矩形这块菜地的最大面积是多少 66．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)怎样围才能使矩形场地的面积为？ 题型34 图形运动问题（实际问题与二次函数） 67．如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接、，过E点作，交直线于点F．E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设的面积为，点的运动时间为x秒． (1)求证：； (2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)用配方法说明的面积有最大值，并求出它的最大值． 68．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空： ______；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，，记的面积为． ① ______（用含的代数式表示）； ②当______秒时，的最小值为______． 题型35 拱桥问题（实际问题与二次函数） 69．一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． (1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 70．某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 题型36 销售问题（实际问题与二次函数） 71．某商场销售一种商品，每件进价为30元，售价为40元时，每天可售出500件．市场调查发现：售价每上涨1元，日销售量减少10件． (1)设售价上涨x元，写出日销售利润 y元与 x的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 72．校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？ 题型37 投球问题（实际问题与二次函数） 73．在一次足球训练中，小明练习射门，球射向球门的路线呈抛物线． 如图所示，小明从球门底部正前方的处射门，现以为原点，以所在直线为轴，以球门高所在直线为轴建立平面直角坐标系．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高为． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练结果进行分析，若球射向球门的路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处射进球门？ 74．在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． (1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 题型38 喷水问题（实际问题与二次函数） 75．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为 ． 76.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围． 题型39 增长率问题（实际问题与二次函数） 77．黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 78．某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 题型40坐标与旋转规律问题 79．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为 ． 80．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2013次，点依次落在点，，，，的位置，则点的横坐标为 ． 题型41 线段问题（旋转综合题） 81．如图，四边形、均为正方形． (1)如图，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明． (2)将正方形绕点顺时针旋转角，如图，连接、相交于点，连接，求的度数． (3)若，，连接，将正方形绕点顺时针旋转角，则在这个旋转过程中线段长度的最大值为____，最小值为 ____（直接填空，不写过程）． 82.已知：正方形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，若，点E，F分别是，上的动点，求证：的周长是定值； (3)如图3，若，和交于点O，且，求的长度； (4)如图4，若点P为正方形内一点，其中，，，则______． 题型42 面积问题（旋转综合题） 83．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ． 84．如图，中，，，，，D为AB中点．将绕点B旋转一周，设点A、C对应的点分别为、，的面积为S，则S的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型43 角度问题（旋转综合题） 85．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 86．如图，已知，点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上，…，连接AA1,AA2,AA3 …，依此作法，则∠A An An+1 度．（用含的代数式表示，为正整数） 题型44 坐标系中的动点问题（不含函数） 87．如图，点为矩形的中心，轴，轴，，则点的坐标为 ；若矩形中，，，，在轴上，矩形以每秒个单位长度向右平移秒得到矩形，点、、、分别为、、、的对应点，与此同时，点从点出发，沿矩形的边以每秒个单位长度的速度顺时针方向运动即…连接，，点为的中点，当的面积为时，则点坐标为 ． 88．如图，在平面直角坐标系中，，，，，连接，以为边在x轴上方作正方形． (1)直接写出C，D两点的坐标； (2)将正方形向右平移t个单位长度，得到正方形． ①当点落在线段上时，结合图形直接写出此时t的值； ②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记正方形和三角形重叠的区域（不含边界）为W，若区域W内恰有3个整点，直接写出t的取值范围． 参考答案 题型1 由一元二次方程的解求参数 1．A 解：①当等腰三角形的底边为2时， 此时关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得， 此时两腰长为3， ∵， ∴满足题意， ②当等腰三角形的腰长为2时， 此时是方程的其中一根， 代入得， ∴， ∴求出另外一根：， ∵， ∴不能组成三角形， 综上所述，， 故选：A． 2．（1）解：是等腰三角形，不是等边三角形，证明如下： ∵是关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵方程为一元二次方程， ∴， ∴， ∴不是等边三角形； （2）解：∵代数式有意义， ∴，， ∴， ∴， ∵为方程的根， ∴， 解得或， ∴或， 当时，，满足三角形三边关系，此时的周长为， 当时，，不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，的周长为． 题型2 一元二次方程的解的估算 3．C 解：通过表格可知，当时，输出值为， 当时，输出值为， ∴当时，． 故选：C． 4．C 解：∵时，；时，， ∴当x在之间取一数值时，， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为． 故选：C． 题型3 由一元二次方程的定义求参数 5．2 方程是一元二次方程， 所以且， 解得． 故答案为：2． 6．A 解：由题意可得且， 解得． 故选：A． 题型4 配方法解一元二次方程 7．（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是． （2）解：设，则， 由题意，得花园的面积是， ， ， 的最大值是50，此时，，符合题意， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 8．解：乙同学意见正确 证明如下： ， ∵ ∴ ∴肯定不会等于零 ∴可以确定这个方程一定是一元二次方程， 故乙同学意见正确． 题型5 公式法解一元二次方程 9．（1）解：， ， ， ， ， ，． （2）， ，，， ， ， ，． 10．（1）解：把代入，得， 解得或； 当时，方程化为，符合题意； 当时，方程化为，符合题意； 故或． （2）解：当时，或． 原方程为，或，两个方程均有实数根． 当时， ．方程有实数根． 综上，为任何实数，原方程均有实数根． （3）解：由（2），当时，方程化为，解得，符合题意； 当时，方程化为，解得，不符合题意． 当时，∵ ∴． 即． 若是整数， 则． ∴． 取． 若是整数， 则． ∴． 综上，，原方程至少有一个整数根． 题型6 因式分解法解一元二次方程 11．（1）解：， ， ， ， ， 或， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， 或， ； （4）解：方程可化为， ， 或， ． 12．（1）解：由题意得：， ， 故一元二次方程是凤凰方程， 故答案为：是； （2）解：由题意得：， 是关于x的凤凰方程， ， 解得：或． 题型7 —元二次方程的根与系数的关系 13．（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：∵方程的一个实数根为， ∴， 整理得，， 解得或， 当时，方程为， 解得，， ∴方程的另一个实数根为； 当时，方程为， 解得，， ∴方程的另一个实数根为； 综上，另一个实数根为或； （3）解：由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴． 14．（1）证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵一元二次方程两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 题型8 传播问题（一元二次方程的应用） 15．（1）解：设每轮传播中平均一个人传播x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传播中平均一个人传播个人； （2）三轮感染后，患病的人数为（人）． ∵， 被感染的人数会超过800人． 答：被感染的人数会超过800人． 16．（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 题型9 增长率问题（一元二次方程的应用） 17．B 解：设月平均增长率为x,则根据题意可得方程为： ． 故选：B． 18．（1）根据题意得， 解得，（舍去） ∴； （2）①每包降价m元，B种农产品礼包每包利润为（元）； B种农产品礼包月销售量为包； ②根据题意得， 解得， ∵为了尽快减少库存， ∴． 题型10 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 19．（1）解：设通道的宽度为米， 则， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：通道的宽度为米． 20．（1）解：用一张长、宽的矩形纸板，将四个角各剪去一个边长为的正方形，制成一个无盖纸盒，这个无盖纸盒的长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 解得，舍去， 所以； （3）解：这个长方体的纸盒的长，宽为，高为，由题意得， ， 解得， 故答案为：（答案不唯一） 题型11 数字问题（元二次方程的应用） 21．8 解：第1个图中棋子的个数为：， 第2个图中棋子的个数为：， 第3个图中棋子的个数为：， 第4个图中棋子的个数为：， 则第个图中棋子的个数为：， ， 解得：，（不合题意，舍去） 第个图中共有个棋子． 故答案为：． 22． 解：设十位上的数字为，的个位上的数字为，可列方程为 ， 解得，（舍去）， ， ， 故答案为24． 题型12 营销问题（一元二次方程的应用） 23．解：设每件降价x元（），则每天的销量为件， 根据题意得，， 整理得：， 解得：，， 因为要让顾客获得更大实惠， 所以这种玩偶每件应降价4元， 答：这种玩偶每件应降价4元． 24．（1）解：设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，日销售量为件； 当时，日销售量为件， 因为商家想尽快销售完该款商品，所以应选择日销售量较大的方案，故取， ∴， 答：每件售价应定为50元； （2）解：设该款小商品的日平均增长率为m， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款小商品的日平均增长率为． 题型13 动态几何问题（一元二次方程的应用） 25．（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）． 答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 26．（1）解：由题意得， 点从点开始沿边向终点以的速度移动，， 故 故答案为：；； （2）解：由题意得：， 解得，； 当的值为或时，的长度等于； （3）解：存在的值，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 长方形的面积是：， 使得五边形的面积等于，则的面积为， ∴，即， 解得，（舍去）． 即当时，五边形的面积等于． 题型14 工程问题（一元二次方程的应用） 27．（1）解：设生产线至少生产口罩小时 解得： 答：生产线至少生产口罩小时. （2）解：设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为 解得： 生产时间： 答：设该厂实际每天生产口罩的时间为. 28．（1）设原计划修建滨河步道x千米， 根据题意，得.解这个方程，得. 答：原计划修建滨河步道8千米   （2）根据题意， 一期工程疏通河道里程数：（千米）. 一期工程疏通河道费用：（万元/千米）. 一期工程修建滨河步道费用：（万元/千米） 令，原方程可化为 ， 整理这个方程，得. 解这个方程，得，. ∴（舍去），.∴. 答：a的值是28. 题型15 行程问题（一元二次方程的应用） 29．解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ，即甲走的步数是， 故答案为：． 30．C 解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米， 根据题意得：， 去分母得： ， 即， 解得：或（舍去）， 经检验分式方程的解，且符合题意， ， 则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时， 故选：C． 题型16 图表信息题（一元二次方程的应用） 31．设有人参加这次旅游 ∵ ∴参加人数 依题意得： 解得：， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意 答：参加旅游的人数40人. 32．（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， =a2﹣1﹣（a2﹣49）， =48． （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：设这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确． 题型17 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 33．B 解：根据题意得：． 故选：B． 34．（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手（次）， 若参加聚会的人数为6，则共握手（次）． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （3）解：角的总数不可能是20；理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以角的总数不可能为20个． 题型18 二次函数y=ax²的图象和性质 35． 解：∵抛物线皆开口向上， ∴各二次函数中的二次项系数都为正数， ∵二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小， ∴． 故答案为：． 36．D 解：已知抛物线为， 对称轴为， 根据二次函数图象的对称性可知A点的对称点 也在函数图象上， 由各点坐标可知，，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ， ∴， 故选：D． 题型19 二次函数y=a(x- h)²+k的图象和性质 37．C 解：抛物线中， A．因为，所以抛物线开口向下，故A不符合题意； B．由题意知：抛物线的对称轴为直线，故B不符合题意； C．由题意知：抛物线的顶点坐标是，故C符合题意； D．时，y随x增大而减小，故D不符合题意； 故选：C． 38．A 解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， 且，即， ∴离直线的距离最远，点离直线最近， ∴． 故选：A． 题型20 y=ax²+bx+c的图象与性质 39．C 解：由图像可知：点和点在抛物线的图像上， ∴， 解得：， ∴①错误，②正确，③错误； 由图像可知：当时，， 即当时，， 故④正确； 综上可知：共有2个正确， 故选：C． 40．C 解：∵抛物线开口向下，对称轴在轴的左侧， ∴， ∴①正确； 由图知：抛物线与轴有两个不同的交点， ∴， ∴ ∴②正确； ∵当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴③错误； 由图知：时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴④正确； ∵对称轴 ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴， ∴⑤正确； 综上所述：①②④⑤正确， 故选：C． 题型21 二次函数图象与各项系数符号 41．B 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，代入原解析式得：， 由图象可得：当时，， 即：， ∴， 故①正确； ∵对称轴为直线，当时有最大值， ∴当时的函数值大于或等于时的函数值， ∴， 故②错误； 由题意得：、是一元二次方程的两个根， 从图象上看，由于二次函数具有对称性，、关于直线对称， ∴当且仅当时，存在点和， 当时，满足， 即m的取值范围为， 故③正确； 直线与抛物线两交点横坐标为分别为和，则不等式， 即：的解集为：或， 故④错误； 综上所述，正确的有①③，一共2个， 故选：B． 42．C 解：①点在二次函数图象上， ∴，结论①正确； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴， ， ， ∴，结论②错误； ③， ∴， ∴，结论③正确； ④二次函数的图象经过点和， ∴， ∴，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①③④共3个． 故选：C． 题型22 一次函数、二次函数图象综合判断 43．B A、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符； B、由函数的图象知，由函数的图象知，相符； C、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符； D、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符． 故选：B． 44．B 解：∵，y随x的增大而增大， ∴C、D错误； ∵A、B中二次函数开口均向下， ∴， ∴直线与轴交于负半轴， ∴A错误、B正确； 故选：B． 题型23 根据二次函数的图象判断式子符号 45．（1）解：抛物线经过原点，顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线开口向下， 当时，函数有大值； 故答案为：，，大； （2）解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过原点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 整理得：； （3）解：由函数图象可知，当时，函数有最大值， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：． 46．（1）解：将代入， 得， 解得， 即：抛物线的解析式为：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵且对称轴为直线， ∴当时，函数最小值取在当时，为， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，，当时，， 则当时函数的最大值为， 即：，， ； （3）解：点坐标为， 的解析式为， ，则顶点为， 若，则，若，则， 当时，原点在上方，顶点在线段下方， 要使抛物线与线段只有一个交点，需使得在上方， ，解得； 当时，原点在上方，在下方， 要使抛物线与线段只有一个交点，只需要使得有两个相等的解， 即：有两个相等的解，且该解在0到4之间， ， ， 解得：， 又 ，则， ， ； 综上，抛物线与线段只有一个交点时，或． 题型24 y=ax²+bx+c的最值 47．（1）解：把代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：令，则， 点的坐标为， ∴长度为定值， ∴若的周长最小，即最小， 作点关于轴的对称点的坐标为， 连接与轴的交点即为所求的的值最小时的点， 设直线的解析式为，代入和 则， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 则．    48．（1）如图所示，直线，点即为所求；    （2）如图所示，直线即为所求． 题型25 待定系数法求二次函数解析式 49．（1）解：根据二次函数的图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 将函数与轴正半轴交点的坐标代入得， 解得， 则该二次函数的解析式为． （2）当时，， 整理得，解得， ∵二次函数中， ∴函数图象开口向上，当时，的取值范围是． （3）由题意，平移后的函数解析式为， 将点代入得，解得． 50．（1）解：由题意得，该抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴该抛物线与轴的另外一个交点坐标为，即， 把代入中得，解得； （2）解：由（1）得该抛物线解析式为， ∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，即点在平移后的抛物线上． 题型26 线段周长问题（二次函数综合） 51．（1）解：直线中，时，；时，． ∴点A的坐标为，点B的坐标为． ∵抛物线经过点A，B， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵设点（），则点，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或4（与点B重合，舍去）， ∴； （3）解：点N到直线的距离为d， 求d的最大值即为求面积的最大值， 连接，如下图所示， ∵点， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴面积最大为8， ∵， ∴， 解得， 即d的最大值为； 52．（1）解： ， ， 解得， 故抛物线的表达式为：， 当时，， ； （2）解：， 对称轴为直线， 设， ①当时，如图， ， 解得：， ； ②当时，如图， ， 解得：，， ； 故点D的坐标为或或； （3）解：过作轴交于， 轴， ，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， ， ， 当时， 的最大值是； ， ． 题型27 面积问题（次函数综合） 53．（1）解：， 由于函数经过， 则， 解得：， 故答案为：； （2）解：作于点，轴于点， 由抛物线解析式得、、， 设， ，，， ； （3）解：设抛物线的对称轴交轴于，作于点， 设， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 解得（舍）， ，， ， 延长至点，连接且满足，设， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设， ，， 根据勾股定理可得， 在中，， ，， ， 为的中点， ，， 设直线解析式为， 把，代入可得，， 解得， 直线解析式为， 解方程得：，（舍去）， 故点． 54．（1）将点，代入 得，， 解得，， ∴二次函数的解析式为； （2）， 由平移规律得平移后的解析式为， ∴顶点为； （3）当时，， 解得：，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵顶点为， ∴点P在x轴的上方，纵坐标为4， ∴， 解得，或， ∴或． 题型28 角度问题（二次函数综合) 55．（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线， 设，则， 当为矩形边时，可得或， 当时，则，即， 解得：， 则； 当时，则，即， 解得：， 则； 如图，当为矩形对角线时， ，四边形是矩形， ， 则，即， 解得：或， 则或； 综上：或或或． （3）解：设直线的解析式为，则，解得：， 故直线的解析式为， 设， 作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示． 根据题意可得， 当时，，，故符合条件． 此时，， 解得：， ∴点的坐标为． 作于点，作点关于点的对称点．如图所示． 此时，则，故点符合条件． 根据题意， ∴， ∵， ∴， 过点作于H， 则， ∴， ∵点关于点N对称， 即点为线段的中点， ∴点的坐标为． ∴点的坐标为或． 56．（1）解：将，代入，得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：对于，令，得， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点C作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点G， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得（舍去）或， ∴当时，， ∴． 题型29 特殊三角形问题（次函数综合） 57．（1）解：把，的坐标代入，得， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：（）设， 令，则， 解得，， ， 设直线的解析式为， 将，的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， ， ， 的面积为， ， 当时，的面积有最大值，最大值为8， 此时， 点E的坐标为； （）存在，点P的坐标为或．理由如下： 由（）知，， 在中，， ， ， 当时，如图， ， ， ， 解得或3， ； 当时， 过点C作于点H， 则， ， ， ， ， 解得或2， ； 综上所述，点P的坐标为或． 58．（1）解：把，代入， 得， 解得． ∴这个抛物线的解析式为：， 令，则， 解得，， ∴， ∴； （2）解：∵抛物线的解析式为； ∴对称轴为， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ∵ ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为： ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴ 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 题型30 特殊四边形（二次函数综合） 59．（1）解：过C作轴于K，如图： ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 把代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设抛物线的对称轴所在直线L交于，交于Q，此时直线L恰好将的面积分为相等的两部分，如图： 设直线L为， 由，可得， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， 直线解析式为， ， 设直线为， 将，代入， 得, 解得， 直线解析式为， ， ， ， ， 解得（此时直线L在C右侧，舍去）或， ∴当L移动到处时，恰好将的面积分为相等的两部分； （3）解：存在点P，使四边形为平行四边形， 理由如下： 设P的横坐标为t， ∵四边形为平行四边形， 的中点即为的中点， ，，， ， 解得， 此时， ， 经检验，符合题意； ∴P点坐标为． 60．（1）对于直线，当时，，解得， ； 当时，， ， 把得： ， 将代入， 得，解得， 抛物线解析式为； （2）过点作轴交于点，设点的横坐标为，把代入得， ． 点的坐标为， ． 将代入， ， 面积的最大值最大值是4； （3）①抛物线，令，即， 解得， ． ， 的面积是面积的一半， ， 过点作轴交x轴于点H，设H点的横坐标为n， H点坐标为，， 代入化简解得， 代入抛物线得， ； ②由题意， 当是对角线时，如图，， 由及平移得， 代入，解得； 当是平行四边形的边时，如图，， 由及平移得， 代入，解得； 解得 的值是或． 题型31 抛物线与x轴的交点问题 61．C 解：， ∴它的对称轴是直线，故①正确； ∵对称轴两侧的增减性不一样， ∴设，则当时，有，故②错误； 当，则，解得：，故它的图象与x轴的两个交点是和，故③正确； ∵， ∴抛物线开口向下， ∵它的图象与x轴的两个交点是和， ∴当时，，故④正确． ∴正确的结论的个数为3， 故选：C． 62．A 解：关于的方程的根的情况，可以看作是二次函数的图像与直线交点情况，如图所示：    即二次函数的图像与直线有两个交点， 关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A． 题型32 求x轴与抛物线的截线长 63．①③④ 解：抛物线开口向下， . 抛物线交轴的正半轴， . 抛物线的对称轴在轴的左侧， , , ，故①正确； 方程， . 由图象可知，当时， 直线与抛物线在顶点以下有两个交点，顶点时只有一个交点，顶点以上没有交点， 关于x的方程必有两个不相等的实数根不一定成立， 故②错误； 函数的图象过点和， ，， ，， ， ， ， ，故③正确； 对于二次函数， 其判别式，由求根公式可得, , 已知两根为，， 由图象可知， 则 ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确. 综上所述，正确的结论有：①③④. 故答案为：①③④. 64． 解：∵抛物线与轴交于点， ∴ 解得：，； ∴， ∴ 故答案为： 题型33 图形问题（实际问题与二次函数） 65．（1）解：矩形这块菜地的面积不能为225平方米．理由如下： 米， 米，依题意得， ， 解得，， 当时，， 墙长为40米， 不符合题意，舍去， 的值为15． （2）解：设矩形的面积为平方米，则， ， 当，时，的最大值为300平方米， 矩形的最大面积是300平方米． 66．（1）解：由可知边所用篱笆为， ， ， 墙的长度不超过， ， ； （2）解：在中， 令，则， 解得（不合题意，舍去）， ， 当为为时，矩形场地的面积为； 题型34 图形运动问题（实际问题与二次函数） 67．（1）证明：过E作，交于M，交于N，则， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）解：在中，由勾股定理得：， E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动， ，， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， 当时，y有最大值是；即面积的最大值是． 68．（1）解：∵，点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，，，， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴当秒时,的长度等于； （3）解：①根据题意得，，，，，，， ∴ ， 故答案为：； ②由①可知，， ∵， ∴当秒时，取得最小值，最小值为， 故答案为：2，48． 题型35 拱桥问题（实际问题与二次函数） 69．（1）解：由已知，抛物线的顶点D的坐标为，抛物线与x轴的交点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得， 船的宽度须不超过米． 70．（1）解：设桥拱所在抛物线的解析式为， 由题意得，，， ∴，解得， ∴桥拱所在抛物线的解析式为， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的宽为米； （3）解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由， 当时，， ∵， ∴该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过． 题型36 销售问题（实际问题与二次函数） 71.（1）解：设售价上涨元，则售价为，销量为， 由题意可得：利润： ； （2）解：， ∵， ∴当时，由最大值为，此时售价为元 故当售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元． 72．（1）解：由图像可知，当甲种水果质量千克时，费用保持不变，为元千克， 所以函数关系式为：， 当甲种水果质量千克时，函数图像为直线， 设函数关系式为：， 将，和，分别代入函数关系式得： ， 解得：， ， 当时，与的函数关系式应为： ． （2）解：设甲种水果的质量为千克 ，则乙种水果的质量为千克， 乙种水果的质量不低于甲种水果质量的倍， ， 解得：， 的范围为：， 当时， ， 此时当最小时，最小， 即当时，有最小值元， 当时， ， 此时当时，离对称轴最远，最小， 即当时，有最小值 元， ， 当时总费用最少，为元，此时千克 故购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元． 题型37 投球问题（实际问题与二次函数） 73．（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得 ， ， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线为， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处射进球门． 74．（1）解：令，代入得 ， 将化为顶点式得 ， ∴ 篮球飞行的最大高度是． 故答案依次为：；． （2）解：当时， ∵ ， ∴ 他在原地不能接到球． 令，则， 两边同乘得：， ， ， 解得，， ∴他应该后退能接到球或他应该前进能接到球． 题型38 喷水问题（实际问题与二次函数） 75．18 解：将代入，得到， 解得，或（舍） ， ， 从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ， ， 故答案为：18． 76．（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 题型39 增长率问题（实际问题与二次函数） 77．D 解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作， 第二天销售额为万元，第三天销售额为万元． 根据题意得：． 故选：D． 78．A 解：某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为， ， 故选：A． 题型40坐标与旋转规律问题 79． 解：由题知， 因为四边形是正方形，且点A坐标为， 所以点B的坐标为，且正方形的边长为1， 则正方形的对角线长为， 所以点的坐标为 依次类推，点，，，，，，，，…， 由此可见，从点开始，每经过8次旋转，点B对应点的坐标循环一次． 因为余1， 所以点的坐标为 故答案为： 80． 解：观察图形结合翻转的方法可以得出、的横坐标是，的横坐标是， 、的横坐标是，的横坐标是… ∴可以看作3个点一组循环，其中前两个点的横坐标相等，且等于每一组中第一个点下标，第三个点的横坐标为前两个点的横坐标加， ∵， ∴点，的横坐标为2011，， ∴点的横坐标为． 故答案为：． 题型41 线段问题（旋转综合题） 81．（1）解：，． 证明：延长交于点， ∵四边形、均为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作，，垂足分别为、，设交于点， ∴， ∵将正方形绕点顺时针旋转角，且四边形为正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴； （3）∵将正方形绕点顺时针旋转角，且四边形为正方形， 当正方形在初始位置时，最大，如图， ∵四边形、均为正方形，，， ∴，，， 此时； 当点在线段上时，DG最小，如图， ∵四边形、均为正方形，，， ∴，，， ∴ 此时； 综上所述，在这个旋转过程中线段长度的最大值为，最小值为． 故答案为：；． 82．（1）解：如图1，∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图2：延长到点K，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为40． （3）解：如图3：过点D作，交于点L，作，交于点M，连接， ∵， ∴四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴； 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得∶， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：如图，将绕点B顺时针方向旋转得，且． ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 在中，， ∴ ∴ ∴ 题型42 面积问题（旋转综合题） 83．1 解：如图，过点E作于点P，于点Q， 则， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 84．A 解：过点D作所在的直线，如图，有，， 即， ①当两点重合时，取得最小值，如图 ∴， ∴， ②当在同一直线上时，取得最大值，此时两点重合，如图 ∴， ∴， 综上所述，． 故选A． 题型43 角度问题（旋转综合题） 85．（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 86． 解：点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上， ， ， 点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上， ， ， 点A绕点顺时针旋转后的对应点落在射线上， ， ， ， ． 故答案为：． 题型44 坐标系中的动点问题（不含函数） 87． ； 或． 解：，， ， ，的面积为， 点到的距离是， ， ，， 当时，在y轴的左侧， 当点在上时，， 解得：(不符合题意，舍去)； 当点在上时，， 解得：(不符合题意，舍去)； 当点在上时，， 解得：(不符合题意，舍去)； 当点在上时，， 解得：， ，， 是的中点， ； 当时，在轴的右侧， 当点在上时，， 解得：(不符合题意，舍去)； 当点在上时，， 解得：(不符合题意，舍去)； 当点在上时，， 解得(不符合题意，舍去)； 当点在上时，， 解得：， ，， 是的中点， ； 综上所述：点坐标为或 88．（1）解：∵点，点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴点，点； （2）解：如图， ∵，，将正方形向右平移个单位长度， ∴， 连接， ∴， 则， ∴； 如图， ∵将正方形向右平移t个单位长度， ∴， ∵区域W内恰有3个整点， ∴或， ∴或． 学科网（北京）股份有限公司 $