3.1 分式 教案 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“分式”核心知识，涵盖分式概念、有意义条件、值为零条件、基本性质及符号法则。通过长方形面积、圆柱体积等实际问题情境导入，对比分数与分式的异同，搭建从分数到分式的学习支架，梳理前后知识脉络。 这份资料以类比教学法为特色，从分数基本性质类比归纳分式基本性质，培养逻辑推理能力。通过实际问题抽象分式模型，发展数学建模意识。重点突破分式与整式区分、值为零双重条件等难点，讲练结合助力学生理解，为教师提供结构清晰、方法多样的教学方案。

3.1 分式 教案 课题 3.1 分式 课型 新授课 课时 2课时 教材版本 青岛版（2024）八年级上册 年级 八年级 学科 数学 教学方法 情境教学法、探究式教学法、类比教学法、讲练结合法 教学用具 多媒体课件、电子白板 教学重点 1. 分式的概念及其判断方法 2. 分式有意义的条件及分式值为零的条件 3. 分式的基本性质及其运用 4. 分式的符号法则 教学难点 1. 正确区分分式与整式，理解分式概念中分母含字母这一关键条件 2. 理解分式值为零需同时满足分子为零且分母不为零两个条件 3. 灵活运用分式的基本性质进行恒等变形 4. 理解分式符号法则中「同时改变两个符号」的规律 【数学抽象】 1. 通过具体情境中的数量关系，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式 2. 经历分式概念的概括过程，理解分式与整式的区别与联系，发展数学抽象能力 【逻辑推理】 1. 通过类比分数的基本性质，归纳出分式的基本性质，体会类比思想在数学学习中的作用 2. 通过探究分式的符号法则，归纳分式符号变化规律，培养逻辑推理能力 3. 能运用分式的基本性质进行简单的恒等变形，体会变形过程中的逻辑依据 【数学建模】 1. 能从实际问题中抽象出分式模型，体会分式是解决实际问题的有效工具 2. 能运用分式有意义的条件解决具体问题，建立数学模型求解 【数学运算】 1. 会求分式在字母取特定值时的值，掌握分式值为零的条件 2. 能熟练运用分式的基本性质进行恒等变形，会运用分式的符号法则进行符号变换 教学过程 第1课时：认识分式 一、情境导入（5分钟） 【教师活动】同学们，我们已经学习了整式的相关知识。今天我们来学习一种新的代数式——分式。请大家看大屏幕上的两个问题。 【教师活动】问题1：长方形的面积为10，长为7，则宽为多少？如果长方形的面积为S，长为a，则宽又该如何表示？ 【学生活动】宽=面积÷长。第一问宽为10/7，第二问宽为S/a。 【教师活动】很好！再看问题2：把体积为200的水倒入底面积为33的圆柱形容器中，水面高度是多少？如果把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中呢？ 【学生活动】水面高度=体积÷底面积。第一问为200/33，第二问为V/S。 【教师活动】大家观察一下，10/7、200/33与S/a、V/S这两组式子，它们有什么不同之处？ 【学生活动】10/7和200/33的分母是具体的数，而S/a和V/S的分母中含有字母。 【设计意图】通过实际问题情境，让学生感受分式产生于实际需要，自然引出分式的概念，激发学习兴趣。 【知识点】像S/a、V/S这样分母中含有字母的式子与之前学过的分数有所不同，它们是一类新的代数式——分式。 二、新知探究——分式的概念（12分钟） 【过渡语】刚才我们通过实际问题引出了分式，那么分式与分数到底有什么相同点和不同点呢？让我们一起来探究。 【教师活动】请大家观察式子10/7、S/a、200/33、V/S，它们有什么共同点？与分数有什么相同点和不同点？请小组讨论后回答。 【学生活动】相同点：它们都具有分数的形式，即A/B的形式，且分子A和分母B都是整式。不同点：10/7和200/33的分母中不含字母，是分数；而S/a和V/S的分母中含有字母。 【教师活动】分析得非常到位！我们把形如A/B的式子，其中A、B都是整式，且B中含有字母，这样的式子叫做分式。注意，分式的概念有三个条件缺一不可：①形式为A/B；②分子A、分母B都是整式；③分母B中含有字母。 【设计意图】通过与分数的类比，引导学生自主发现分式的本质特征，深化对分式概念的理解。 理解要点 判断一个代数式是否为分式，关键看三点：①是否具有A/B的形式；②A、B是否都是整式；③分母B中是否含有字母。三个条件缺一不可。 【知识点】分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。分式A/B中，A叫做分子，B叫做分母。 三、例题精讲——分式概念辨析（5分钟） 【教师活动】下面我们通过具体的例子来巩固分式的概念。请大家判断下列各式哪些是整式？哪些是分式？ 【教师活动】（展示一组代数式，包括整式和分式）请同学们逐一判断，并说明理由。 【学生活动】分母中含有字母的式子为分式，分母中不含字母的式子为整式。 【教师活动】注意：π是一个常数，不是字母，所以分母中含有π的式子仍然是整式，这一点容易混淆，请同学们特别注意。 【设计意图】通过辨析练习，强化学生对分式概念的理解，特别提醒π是常数而非字母这一易错点。 易错提示 π是圆周率，是一个常数，不是字母。因此分母中含有π的代数式不是分式，而是整式。这是学生容易出错的地方，务必牢记。 【知识点】判断分式的关键：分母中是否含有字母。注意：π是常数，不是字母。 四、新知探究——分式有意义的条件（10分钟） 【过渡语】我们认识了分式的概念，那么分式在什么情况下有意义呢？这与分数有类似之处。 【教师活动】已知分式（x²-1）/（2x+2），请思考：(1)当x=1时，分式的值是多少？(2)当x=-2时，你能求出分式的值吗？为什么？(3)当x=2时，分式的值是多少？ 【学生活动】（1）当x=1时，分子=1-1=0，分母=2+2=4，分式值为0/4=0。（2）当x=-2时，分母=2×(-2)+2=-4+2=-2≠0，可以求值。（3）当x=2时，分子=4-1=3，分母=4+2=6，分式值为3/6=1/2。 【教师活动】我们仔细分析：当分母为0时，分式无意义。那么什么情况下分母为0呢？ 【学生活动】当2x+2=0，即x=-1时，分母为0，此时分式无意义。 【教师活动】正确！下面我们总结分式有意义的条件：当分母B=0时，分式A/B无意义；当分母B≠0时，分式A/B有意义。那么分式值为零的条件又是什么？ 【学生活动】当分子A=0且分母B≠0时，分式的值为零。 【教师活动】非常好！注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况，必须同时满足两个条件：分子为零且分母不为零。 【设计意图】通过具体数值代入，让学生直观感受分式有意义和无意义的情况，自主归纳分式有意义和值为零的条件。 重点强调 分式值为零必须同时满足两个条件：①分子A=0；②分母B≠0。缺少任何一个条件都不能说分式的值为零。这是中考常考考点。 【知识点】分式有意义的条件：分母B≠0；分式无意义的条件：分母B=0；分式值为零的条件：分子A=0且分母B≠0。 五、例题精讲——分式有意义的条件与分式值为零（8分钟） 【教师活动】下面我们通过例题来巩固分式有意义和值为零的条件。 【教师活动】例1：当x为何值时，分式（x²-1）/（2x+2）的值为零？ 【教师活动】分析：分式值为零的条件是分子为0且分母不为0。由x²-1=0，解得x=1或x=-1。但当x=-1时，分母2x+2=0，分式无意义。所以只有x=1时，分式的值为零。 【学生活动】解：依题意得x²-1=0且2x+2≠0，由x²-1=0得x=±1，当x=-1时，分母2x+2=0（舍去），∴x=1。即分式的值为0时，x的值是1。 【教师活动】例2：当x取何值时，下列分式有意义？(1)1/(3x)；(2)1/(x-1)；(3)1/(5-3b)；(4)1/(x-y)。 【教师活动】分析：分式有意义，只需分母不为零。分别令分母不为零，解出字母的取值范围即可。 【学生活动】（1）由3x≠0，得x≠0；（2）由x-1≠0，得x≠1；（3）由5-3b≠0，得b≠5/3；（4）由x-y≠0，得x≠y。 【设计意图】通过例题精讲，规范解题格式，强化分式有意义和值为零的条件应用。 【知识点】求分式有意义时字母的取值范围，只需令分母不为零解不等式；求分式值为零时字母的值，需令分子为零且分母不为零，两个条件同时满足。 六、课堂练习（3分钟） 【过渡语】下面我们通过练习来巩固本节课所学的内容。 【教师活动】请同学们独立完成以下练习，然后我们一起来核对答案。 1. 下列各式哪些是整式？哪些是分式？请逐一判断。 答案：分母中含字母的为分式，分母中不含字母的为整式。特别注意：分母中含π的为整式（π是常数）。 解析：判断分式的关键是看分母中是否含有字母。π是常数而非字母，这一点需特别注意。 2. 关于分式有意义的条件，下面说法正确的是（ ） A. 分子为零时分式有意义 B. 分母为零时分式有意义 C. 分母不为零时分式有意义 D. 分子不为零时分式有意义 答案：C 解析：分式有意义的条件是分母不为零。当分母为零时，分式无意义。 【设计意图】通过课堂练习，巩固分式概念和分式有意义的条件，检测学生对本节课知识的掌握情况。 【知识点】本节课的核心知识：分式的概念（分母含字母的整式之比）和分式有意义的条件（分母不为零）。 七、课堂小结（2分钟） 【教师活动】针对本节课的关键词「分式」，你能说说学到了哪些知识吗？ 【学生活动】我们学习了分式的概念：形如A/B，A、B都是整式，且B中含有字母的式子叫做分式。 【学生活动】还学习了分式有意义的条件：分母不为零。分式值为零的条件：分子为零且分母不为零。 【教师活动】总结得很好！分式是本章的基础内容，理解分式的概念和有意义的条件是后续学习分式运算和分式方程的前提，希望大家熟练掌握。 【设计意图】引导学生自主回顾本节课的核心知识，形成知识框架，为后续学习奠定基础。 【知识点】本节课核心：分式的概念（三个条件）和分式有意义的条件（分母≠0）。 第2课时：分式的基本性质 一、复习导入（5分钟） 【教师活动】同学们，上节课我们学习了分式的概念。请回忆一下：什么样的式子叫做分式？分式有意义的条件是什么？ 【学生活动】形如A/B，A、B都是整式，且B中含有字母的式子叫做分式。分式有意义的条件是分母不为零。 【教师活动】非常好！今天我们继续学习分式的基本性质。在学习之前，我们先回顾一下分数有什么基本性质？ 【教师活动】请大家比较下列各组分数的大小关系：①1/2和2/4；②2/3和6/9；③4/6和2/3。填入适当的符号（>、<、=）。 【学生活动】①1/2=2/4；②2/3=6/9；③4/6=2/3。各组分数都相等。 【教师活动】正确！分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变。这就是分数的基本性质。 【过渡语】分数有这样的基本性质，那么分式是否也有类似的性质呢？让我们一起来探究。 【设计意图】通过复习分数的基本性质，为类比学习分式的基本性质搭建脚手架，体现类比思想。 【知识点】分数的基本性质：分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变。 二、新知探究——分式的基本性质（10分钟） 【教师活动】如果A/B是一个分式，M是一个不等于0的整式，类比分数的基本性质，请大家猜想分式有什么性质？ 【学生活动】分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 【教师活动】很好！这就是分式的基本性质。用数学语言表述为：A/B = (A·M)/(B·M)，A/B = (A÷M)/(B÷M)，其中M是不等于0的整式。 【教师活动】下面我们通过具体例子来理解分式的基本性质。请大家观察以下变形，并思考：看分母如何变化，想分子如何变化；看分子如何变化，想分母如何变化。 【教师活动】注意：运用分式的基本性质进行的变形是恒等变形，分式的值不变。同时要注意，任意一个分式，分母都不能为零。这就是为什么我们要强调M≠0。 【设计意图】通过类比分数的基本性质，引导学生自主归纳分式的基本性质，体会类比思想，培养数学推理能力。 理解要点 运用分式的基本性质时，要注意三点：①变形前后分式的值不变（恒等变形）；②分子分母同时乘以或除以的是同一个整式；③这个整式不能为零。 【知识点】分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。即A/B = (A·M)/(B·M) = (A÷M)/(B÷M)，其中M≠0。 三、新知探究——分式的符号法则（10分钟） 【过渡语】掌握了分式的基本性质后，我们再来研究分式中的符号变化规律。 【教师活动】请大家观察以下等式，并思考分式的符号变化有什么规律？ 【教师活动】（展示分式符号变化等式）观察这些等式，你发现了什么？ 【学生活动】我发现：同时改变分式的分子和分母的符号，分式的值不变；同时改变分式本身的符号和分母的符号，分式的值也不变；同时改变分式本身的符号和分子的符号，分式的值也不变。 【教师活动】总结得很好！分式的符号法则：在分式及其分子、分母的三个符号中，如果同时改变其中的两个，分式的值不变。 【教师活动】思考：你能不改变分式的值，使下列分式的分子、分母的符号均为正吗？ 【学生活动】根据分式的符号法则，同时改变分子和分母的符号，分式的值不变，就可以使分子、分母的符号均为正。 【设计意图】通过观察发现分式符号变化规律，培养学生的观察归纳能力和逻辑推理能力。 判断技巧 分式符号法则简记为「三中改二，值不变」。分子符号、分母符号、分式本身的符号，三个符号中任意改变两个，分式的值保持不变。 【知识点】分式的符号法则：在分式及其分子、分母的三个符号中，如果同时改变其中的两个，分式的值不变。即：-A/B = A/(-B) = -(A/B)；-A/(-B) = A/B。 四、课堂练习（15分钟） 【过渡语】下面我们通过练习来巩固分式的基本性质和符号法则。 【教师活动】请同学们独立完成以下练习，注意运用分式的基本性质和符号法则。 1. 分式的分母经过通分后变成2(a-b)(a+b)，那么分子应变为（　　） A．6a(a-b)(a+b) B．2(a-b) C．6a(a-b) D．6a(a+b) 答案：C 解析：根据分式的基本性质，分母乘以(a+b)后变为2(a-b)(a+b)，分子也应乘以(a+b)，即6a(a-b)。 2. 对于分式的变形一定成立的是（　　） A. 分子分母同时加1，分式值不变 B. 分子分母同时平方，分式值不变 C. 分子分母同时乘以同一个不为零的整式，分式值不变 D. 分子分母同时减去同一个数，分式值不变 答案：C 解析：只有分子分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值才不变。加、减、平方等运算都不满足分式的基本性质。 3. 填空：根据分式的基本性质，在括号内填入适当的整式。 (1) x/(x-y) = ( )/(x²-xy) (2) (a+b)/ab = ( )/a²b 答案：（1）x²；（2）a(a+b)或a²+ab 解析：根据分式的基本性质，看分母如何变化，想分子如何变化。（1）分母从x-y变为x²-xy=x(x-y)，乘以了x，所以分子也乘以x得x²；（2）分母从ab变为a²b，乘以了a，所以分子也乘以a得a(a+b)。 4. 不改变分式的值，使分式的分子和分母中都不含有负号： (1) -a/(-b) (2) -x²/y 答案：（1）a/b（同时改变分子分母的符号）；（2）-(x²/y)（分式符号法则：三中改二，值不变） 解析：运用分式的符号法则，同时改变分子和分母的符号，分式的值不变。对(1)，分子分母同时变号得a/b；对(2)，可写为-(x²/y)。 【设计意图】通过多层次的练习，巩固分式的基本性质和符号法则，提高学生的运算能力和符号变换能力。 【知识点】分式的基本性质应用于恒等变形；分式的符号法则应用于符号变换。 五、课堂小结（5分钟） 【教师活动】针对本节课的关键词「分式的基本性质」，你能说说学到了哪些知识吗？ 【学生活动】我们学习了分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 【学生活动】还学习了分式的符号法则：在分式及其分子、分母的三个符号中，如果同时改变其中的两个，分式的值不变。 【教师活动】总结得很全面！分式的基本性质是分式运算的基础，符号法则在分式化简中非常重要。下节课我们将学习分式的约分与通分，希望大家做好预习。 【设计意图】引导学生自主回顾本节课核心知识，构建知识框架，为后续学习分式运算做好铺垫。 【知识点】分式的基本性质：A/B = (A·M)/(B·M) = (A÷M)/(B÷M)（M≠0）；分式的符号法则：三分号中任意改变两个，分式的值不变。 板书设计 第1课时 left 3.1.1 认识分式 一、分式的概念 形如A/B（A、B是整式，B中含字母） 三个条件：①A/B形式 ②A、B为整式 ③B中含字母 二、分式有意义的条件 分母B≠0 → 分式有意义 分母B=0 → 分式无意义 三、分式值为零 分子A=0且分母B≠0 right 例题 例1：分式(x²-1)/(2x+2)的值为0 解：x²-1=0且2x+2≠0 得x=1（x=-1舍去） 例2：分式有意义的条件 (1) 1/(3x) → x≠0 (2) 1/(x-1) → x≠1 (3) 1/(5-3b) → b≠5/3 (4) 1/(x-y) → x≠y 注意：π是常数，不是字母！ 第2课时 left 3.1.2 分式的基本性质 一、分式的基本性质 A/B = (A·M)/(B·M) = (A÷M)/(B÷M) （M≠0，且M为整式） 二、分式的符号法则 三分号中改两个，值不变 即：-A/B = A/(-B) = -(A/B) -A/(-B) = A/B right 类比思想 分数基本性质 → 分式基本性质 关键提醒 ①恒等变形，值不变 ②M≠0是前提 ③分母不能为零 应用 ①恒等变形 ②符号变换 ③通分与约分（后续） 教学反思 1. 学生对分式概念的理解是否到位？特别是「分母中含字母」这一关键条件是否掌握？ 2. 学生对π是常数而非字母这一易错点是否清楚？ 3. 学生能否正确区分分式有意义、无意义和分式值为零的条件？ 4. 通过类比分数的基本性质学习分式的基本性质，学生的类比迁移能力如何？ 5. 分式的符号法则「三中改二」的规律学生是否能灵活运用？ 6. 课堂练习的完成情况如何？是否需要在下节课前进行针对性复习？ 学科网（北京）股份有限公司 $