4.2 线段的垂直平分线 教案——2026-2027学年数学青岛版八年级上册

该教案聚焦线段垂直平分线的性质、判定及尺规作图，从轴对称知识导入，通过回顾对称轴与垂直平分线的关系，自然衔接新知，搭建从旧知到新知的学习支架。 以实验探究（折叠、度量）发现性质，结合全等三角形证明深化逻辑推理，5G基站选址问题体现数学建模与应用意识，培养直观想象与创新思维。助力学生提升动手与推理能力，为教师提供清晰教学流程与实用实例。

课题 4.2 线段的垂直平分线 课型 新授课 课时 2课时 教材版本 青岛版数学八年级上册 教学方法 实验探究法、合作讨论法、讲练结合法、动手操作法 教学用具 多媒体课件、投影、白板、直尺、圆规、三角板 一、核心素养目标 • 【数学抽象】理解线段垂直平分线的概念，掌握其性质和判定定理 • 【逻辑推理】通过实验操作（折叠、度量）发现性质，再通过全等三角形进行逻辑证明，体会从实验几何到论证几何的上升 • 【逻辑推理】能运用垂直平分线的性质和判定进行推理和计算，理解性质与判定的互逆关系 • 【数学运算】能运用垂直平分线性质计算线段长度、角度和三角形周长 • 【直观想象】通过动手操作和图形观察，发展空间观念和几何直观 • 【数学建模】能运用尺规作线段垂直平分线和过一点作已知直线的垂线，解决5G基站选址等实际问题 二、教学重难点 教学重点：线段垂直平分线的性质定理和判定定理 教学难点：线段垂直平分线的判定定理的证明；尺规作图的原理理解 三、教学过程 【第一课时导入：认识垂直平分线】（5分钟） 【教师活动】同学们，上节课我们学习了轴对称，知道对称轴是对应点连线的垂直平分线。今天我们就来深入研究线段垂直平分线的性质和应用。首先请大家思考：什么是线段的垂直平分线？ 【学生活动】回答：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。 【过渡语】下面我们通过实验来探究垂直平分线的性质。 【任务一：探究线段垂直平分线的性质】（12分钟） 【教师活动】活动：请同学们在纸上画一条线段AB，然后对折，使点A与点B重合。打开后，折痕就是线段AB的垂直平分线。在折痕（垂直平分线）上任取一点P，分别连接PA和PB，用刻度尺量一量PA和PB的长度，你有什么发现？ 【学生活动】动手操作后回答：PA=PB！无论点P在垂直平分线上的哪个位置，PA始终等于PB。 【教师活动】这个发现就是我们今天要学习的性质定理。请大家思考：如何用数学语言来证明这个结论？ 【教师活动】设直线l是线段AB的垂直平分线，垂足为O，点P是直线l上任意一点。连接PA、PB。要证明PA=PB。 【思路分析】利用全等三角形：由垂直平分线知AO=BO，角POA=角POB=90度，PO=PO（公共边），所以三角形POA全等于三角形POB（SAS），因此PA=PB。 【知识点】【线段垂直平分线的性质定理】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 【学生活动】跟随教师完成证明过程，理解性质定理的由来。 注意：性质定理是线段垂直平分线最重要的性质，它是证明线段相等的重要工具。 【过渡语】下面我们通过例题来应用这个性质。 【任务二：线段垂直平分线性质的应用】（12分钟） 【教师活动】【例1】如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（　　） A. 6　B. 5　C. 4　D. 3 【思路分析】直接应用性质定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等。 【教师活动】解：因为P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB=5。选B。 【学生活动】回答：选B。性质直接应用，非常简单。 【教师活动】【例2】如图，三角形ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，AB+BC=16cm，则三角形BCE的周长是____cm。 【思路分析】利用垂直平分线性质：AE=BE。三角形BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=BC+AB=16cm。 【教师活动】解：因为E在AB的垂直平分线上，所以AE=BE。三角形BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC。又因为AB=AC，所以三角形BCE的周长=BC+AB=16cm。 【学生活动】跟随教师分析，理解'转化'思想——将BE转化为AE，将周长转化为已知线段和。 【过渡语】下面我们来看一个需要结合角度计算的问题。 【性质定理与角度计算】（8分钟） 【教师活动】【例3】如图，角C=90度，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD，若角CAD=20度，则角B=（　　） A. 20度　B. 30度　C. 35度　D. 40度 【思路分析】由垂直平分线性质得AD=BD，所以角B=角BAD。又在直角三角形ACD中，角CAD=20度，角ADC=90度，角ACD=90度，可得角ADC=70度，所以角ADB=110度。在等腰三角形ABD中，角B=角BAD=(180度-110度)/2=35度。 【教师活动】解：因为D在AB的垂直平分线上，所以AD=BD，角B=角BAD。在直角三角形ACD中，角ADC=90度-20度=70度，所以角ADB=180度-70度=110度。在等腰三角形ABD中，角B=角BAD=(180度-110度)/2=35度。选C。 【学生活动】跟随教师完成角度推理，注意等腰三角形中角度的计算。 【过渡语】下面我们通过练习来巩固。 【5G基站选址问题】（8分钟） 【教师活动】【应用】某通讯工程队准备在一段笔直的公路l上修建一个5G信号基站，以服务公路旁的A、B两个工业园区，要求该基站到A、B两个工业园区的距离相等，通过作图，确定该基站修建的位置。（不写作法，但要保留作图痕迹） 【思路分析】到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，同时该点又要在公路l上，所以是线段AB的垂直平分线与公路l的交点。 【教师活动】作法：连接AB，作线段AB的垂直平分线，交公路l于点P，点P即为所求的基站位置。 【学生活动】动手画图，理解垂直平分线在实际问题中的应用。 【过渡语】下面我们做第一课时的小结。 【第一课时课堂小结】（3分钟） 【教师活动】针对本节课的关键词'垂直平分线'，你能说说学到了哪些知识吗？ 【学生活动】自由发言：垂直平分线的定义、性质定理、性质的应用…… 【知识点】【垂直平分线性质知识梳理】1. 定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线。2. 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。3. 应用：证明线段相等、计算周长、角度计算、解决实际问题。4. 证明：利用SAS全等。 【教师活动】下节课我们将学习垂直平分线的判定定理和尺规作图。 【第二课时导入：判定定理】（3分钟） 【教师活动】上节课我们学习了垂直平分线的性质定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等。那么反过来，如果一个点到线段两端的距离相等，这个点是否一定在线段的垂直平分线上呢？这就是我们今天要学习的判定定理。 【过渡语】下面我们通过活动来探究。 【任务一：探究线段垂直平分线的判定定理】（12分钟） 【教师活动】活动1：在纸上取一点P，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线MN上？为什么？小组交流探讨。 【教师活动】分析：分两种情况讨论——当点P在线段AB上时，由PA=PB，可知点P是AB的中点，即P在线段AB的垂直平分线上。当点P在线段AB外时，连接PO、PA、PB，由SSS得三角形POA全等于三角形POB。所以角AOP=角BOP=90度，即PO垂直于AB。综上，点P在线段AB的垂直平分线上。 【学生活动】小组讨论，体会分类讨论思想和全等三角形的证明方法。 【知识点】【线段垂直平分线的判定定理】到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 注意：判定定理与性质定理互为逆定理。性质定理：垂直平分线→距离相等。判定定理：距离相等→点在垂直平分线上。 【过渡语】掌握了判定定理后，我们来应用它。 【任务二：判定定理的应用】（12分钟） 【教师活动】【例1】如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，问：BE和CE会相等吗？为什么？ 【思路分析】先由AB=AC，DB=DC，利用判定定理得AD是线段BC的垂直平分线；再根据性质定理，垂直平分线上的点E到B、C距离相等，即BE=CE。 【教师活动】解：因为AB=AC，DB=DC，由'到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上'可知，AD是线段BC的垂直平分线。因为点E在AD上，由'线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等'可知BE=CE。 【学生活动】跟随教师完成推理，注意判定定理和性质定理的联合使用。 【教师活动】【例2】如图，P为角MON平分线上一点，PA垂直于OM于A，PB垂直于ON于B。求证：OP垂直平分AB。 【思路分析】要证明OP垂直平分AB，可以用判定定理——证明OP上有两点到A、B距离相等；或者用定义法——证明OP既是AB的中线又是AB的高。 【教师活动】证明（判定法）：由角平分线性质得PA=PB，OA=OB（三角形AOP全等于三角形BOP，AAS），所以点P和点O到A、B的距离都相等，因此点P和点O都在AB的垂直平分线上，即OP垂直平分AB。 【学生活动】理解两种判定方法：判定法（两点到两端距离相等）和定义法（垂直+平分）。 技巧提示：证明一条直线是线段的垂直平分线，只需证明直线上有两个点到线段两端的距离相等。 【过渡语】下面我们学习尺规作线段的垂直平分线。 【任务三：尺规作线段的垂直平分线】（10分钟） 【教师活动】活动：阅读如下用尺规作已知线段AB的垂直平分线的作法，回答问题。 【教师活动】作法：①分别以A、B为圆心，以大于1/2 AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；②作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平分线。 【教师活动】问题：为什么这样作出的直线CD就是线段AB的垂直平分线？ 【学生活动】思考回答：由作法知AC=BC，AD=BD，所以点C和点D都在线段AB的垂直平分线上（判定定理），因此CD就是AB的垂直平分线。 【知识点】【尺规作垂直平分线原理】用尺规作线段垂直平分线的方法，实质是作出到这条线段两个端点距离相等的两个点，这两点所确定的直线就是此线段的垂直平分线。这就是判定定理的直接应用。 【过渡语】下面我们学习如何过一点作已知直线的垂线。 【任务四：过一点作已知直线的垂线】（8分钟） 【教师活动】利用基本作图'作一条线段的垂直平分线'可以作出过已知线段的中点的垂线。如图，已知直线l，要过一点P作直线l的垂线，点P与直线l的位置关系可能是什么？ 【学生活动】回答：点P可能在直线l上，也可能在直线l外。 【教师活动】情况一：已知直线l和l上一点P，怎样过点P作直线l的垂线？ 【教师活动】作法：①以点P为圆心，任意长为半径作弧，与直线l相交于点A、B；②作线段AB的垂直平分线CD，直线CD就是过点P的直线l的垂线。 【教师活动】情况二：已知直线l和l外一点P，怎样过点P作直线l的垂线？ 【教师活动】作法：①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的线段长为半径画弧，交直线l于点A、B；②作线段AB的垂直平分线CD，直线CD就是过P点的直线l的垂线。 【知识点】【过一点作垂线的方法】无论点P是在直线上还是直线外，都是先设法在直线l上作出一条线段AB，并且使点P到线段AB两端的距离相等，再利用基本作图'作线段AB的垂直平分线'，那么这条直线既经过点P，又与直线l垂直。 【学生活动】动手画图，掌握两种情况的作法。 【过渡语】下面我们通过综合练习来巩固。 【第二课时综合练习】（8分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习： 【教师活动】1. 如图，在三角形ABC中，DM、EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M、N两点，DM与EN相交于点F。求证：点F在AB的垂直平分线上。 【学生活动】证明：连接AF、CF、BF。因为DM垂直平分AC，所以AF=CF；因为EN垂直平分BC，所以BF=CF。所以AF=BF，由判定定理得点F在AB的垂直平分线上。 【教师活动】2. 如图，AC=BC，AD=BD，这个图形叫作'筝形'，数学兴趣小组的几名同学探究出关于它的如下结论：①三角形ACD全等于三角形BCD；②AO=BO；③AB垂直于CD；④角CAB=角ABD。其中正确结论的序号是（　　） A. ①③④　B. ①②③　C. ①②④　D. ②③④ 【学生活动】选B。由AC=BC，AD=BD得CD是AB的垂直平分线，所以AO=BO，AB垂直于CD。由SSS得三角形ACD全等于三角形BCD。①正确，②正确，③正确。④不正确，因为角CAB与角ABD不一定相等。 【过渡语】下面我们做一个小结。 【第二课时课堂小结】（3分钟） 【教师活动】用自己的话，说一说今天我们学习了哪些知识？ 【学生活动】自由发言：判定定理、性质与判定的互逆关系、尺规作垂直平分线、过一点作垂线…… 【知识点】【垂直平分线知识梳理】1. 性质定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等。2. 判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。3. 尺规作图：作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线。4. 应用：证明线段相等、证明点在垂直平分线上、解决实际问题。 【教师活动】同学们，垂直平分线的性质与判定是几何中非常重要的工具，希望大家课后多加练习，熟练掌握。 四、板书设计 4.2 线段的垂直平分线 一、4.2.1 线段垂直平分线的性质 1. 定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线 2. 性质定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等 3. 证明：SAS全等 4. 应用：证线段相等、计算周长、角度计算 二、4.2.2 线段垂直平分线的判定 1. 判定定理：到线段两端距离相等的点在垂直平分线上 2. 性质与判定互逆 3. 尺规作图：作垂直平分线、过一点作垂线 4. 应用：5G基站选址、筝形问题 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $