精品解析：福建福州市福清第一中学2024-2025学年高一下学期6月阶段性诊断练习数学试题（分班考）

2024-2025学年高一下学期阶段检测练习 数学试题 本试卷共4页，考试时间120分钟，总分200分.2025.06 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码. 2．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，写在本试卷上无效.不准使用铅笔和涂改液. 4．考试结束后，考生上交答题卡. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. “”成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接DE，点F是线段DE的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展．现将一个体积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面半径是另一个底面半径的3倍，高为3cm，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设是R上的奇函数，且，当时，，则=（ ） A. 1.5 B. -1.5 C. 0.5 D. -0.5 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 若为实数且，则 B. 若为正实数且，则 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 10. 已知函数，则关于的说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的最大值 C. 图象关于点对称 D. 的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称 11. 已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是AD，，的中点，P是线段AB上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 平面PMN截正方体所得的截面可能是五边形 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积随点P的运动而变化 D. 当P是线段AB的中点时，三棱锥外接球的表面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题8分，共24分． 12. 已知复数，则________． 13. 已知，若，则________. 14. 已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若向量，求实数k的值； （2）设，的夹角为，求； （3）若向量满足，求． 16. 记的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，． （1）求A； （2）若，在AB边上存在一点D，使得，连接CD，求的面积及CD的长． 17. 如图，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． （1）求证：； （2）若平面． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）在侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18. 已知函数 （1）若的解集为，求实数a，c的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若且，求的最小值． 19. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（e是自然对数的底数，）． （1）证明：两角和的双曲余弦公式； （2）求函数在R上的值域； （3）函数在有两个零点，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一下学期阶段检测练习 数学试题 本试卷共4页，考试时间120分钟，总分200分.2025.06 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码. 2．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，写在本试卷上无效.不准使用铅笔和涂改液. 4．考试结束后，考生上交答题卡. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式，再根据集合的交集的定义计算即可. 【详解】解：，得，，或； 或，又 ， 故选： 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，根据复数的代数表示即可求解. 【详解】由， 所以虚部为：， 故选：B. 3. “”成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分，必要条件的定义逐项判断可得结论. 【详解】因为，可知是的不充分条件，故A错误； ，所以是的充分不必要条件，故B正确； ，所以是的充分必要条件，故C错误； 由，但，可知是的既不充分又不必要条件，故D错误. 故选：B. 4. 在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】在中利用余弦定理化简题干信息即可. 【详解】在中利用余弦定理，则， 得，则为直角三角形. 故选：B 5. 在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接DE，点F是线段DE的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点， ， 是的中点， ， ， ，， . 6. 中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展．现将一个体积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面半径是另一个底面半径的3倍，高为3cm，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由台体体积公式求出底面圆的半径再求表面积. 【详解】设上底面圆的半径为，由题意得，解得. 圆台的母线长：. 所以表面积为：. 7. 设是R上的奇函数，且，当时，，则=（ ） A. 1.5 B. -1.5 C. 0.5 D. -0.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据与是R上的奇函数,可将中转换到中进行求解即可. 【详解】由有, 又是R上的奇函数则. 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数性质求解函数值的方法,属于基础题型. 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助三角函数二倍角公式及同角三角函数基本关系计算即可得. 【详解】， 由，则，，故， 整理得，故， 则， 故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 若为实数且，则 B. 若为正实数且，则 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质易判断A，C；对于B，运用作差比较法即可判断；对于D，利用基本不等式即可. 【详解】对于A，因，则由不等式的性质易，故A正确； 对于B，因，且为正实数，由，可得，故B错误； 对于C，由可知，由不等式的性质，可得，故C正确； 对于D，因，，当且仅当时等号成立，此时的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则关于的说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的最大值 C. 图象关于点对称 D. 的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A，当 时，， 而在上单调递增，所以在上单调递增，A正确. 选项B，因为， 且函数的最大值为1，所以是最大值，B正确. 选项C，， 所以图象不关于点对称，C错误. 选项D，向左平移个单位， 得到， 因为， 所以是偶函数，图象关于轴对称，D正确. 11. 已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是AD，，的中点，P是线段AB上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 平面PMN截正方体所得的截面可能是五边形 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积随点P的运动而变化 D. 当P是线段AB的中点时，三棱锥外接球的表面积是 【答案】AB 【解析】 【分析】当P为AB的中点时，平面PMN截正方体所得的截面是五边形判断A；通过证明平面来证明平面平面判断B；由平面GMN知三棱锥的底面积和高均为定值判断C；底面直角三角形外接圆圆心在斜边中点，外接球球心在过该中点且垂直于平面的直线上，利用球心到、距离相等列几何等式求出外接球半径，最后代入球的面积公式求解即可. 【详解】如图所示，平面PMN截正方体所得的截面可能是五边形，A正确； 因为四边形是正方形，所以，易知， 又因为 ，平面，所以平面， 因为M，G分别是AD，的中点，所以，所以平面， 因为平面，所以平面平面，B正确； 易知，因为平面GMN，平面GMN，所以平面GMN，则直线上的点到平面的距离为定值，又因为的面积也为定值，所以三棱锥的体积为定值，C错误； 因为为直角三角形，所以其外接圆的圆心为MP的中点，设为，外接球球心O在过且垂直底面的直线上， 设三棱锥的外接球半径为，设，底面外接圆半径， 则外接球半径,， 过点O作交于点H，易知四边形为矩形，则， 在中，， 所以，解得，代入得， 所以三棱锥的外接球的表面积为，D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题8分，共24分． 12. 已知复数，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 13. 已知，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先由诱导公式得到，再由同角的三角函数关系计算可得. 【详解】， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可；第二空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可. 【详解】第一空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则当时，的最大值需满足小于或等于2， 因为在上单调递增， 故需满足：即， 解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2， 又在上单调递增， 则需满足即， 解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若向量，求实数k的值； （2）设，的夹角为，求； （3）若向量满足，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，列方程，求解即可； （2）根据向量夹角的公式代入求解； （3）根据向量相等列方程组，求解即可. 【小问1详解】 由向量，， 得，， 由，得，解得， 所以实数的值是． 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 依题意， 即， 于是，解得， 所以． 16. 记的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，． （1）求A； （2）若，在AB边上存在一点D，使得，连接CD，求的面积及CD的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理，三角形中内角的范围，及二倍角的正弦公式即可求解； （2）在中，先根据余弦定理求出，从而得到，再根据三角形的面积公式即可求出的面积，进而在中，根据余弦定理即可求出CD的长． 【小问1详解】 由， 则由正弦定理得， 又在中，， 则，且，则， 所以， 所以，解得，即． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得，即， 整理得，解得，或（舍去）， 因为，所以， ， 所以在中，由余弦定理得． 17. 如图，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． （1）求证：； （2）若平面． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）在侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 正四棱锥中，平面，平面，所以， 在正方形中，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以 （2）（ⅰ） （ⅱ）在棱上存在一点，使平面，理由如下． 由（ⅰ）可得，故可在上取一点，使． 过点作的平行线与的交点即为，连接， 在中，为中点，为中点，则． 平面，平面，则平面， 又由于，同理可得平面， ，平面，故平面平面， 平面，得平面． 由于，故 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，证得； （2）（ⅰ）由，计算底面积和高求体积； （ⅱ）在上取一点，使，过点作的平行线与的交点即为证明平面平面，得到点位置，可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由已知得是边长为的正三角形，则， 又，所以，， 由平面，平面，可得， 所以在中，，，所以，， 所以点到平面的距离， 所以． （ⅱ）略 18. 已知函数 （1）若的解集为，求实数a，c的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若且，求的最小值． 【答案】（1）， （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）借助韦达定理计算即可得； （2）借助根的判别式，分、、与进行讨论即可得； （3）借助基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由已知的解集为， 所以，3是方程的解，且， 所以，， 所以，； 【小问2详解】 若，不等式可化为， 方程的判别式， 当，即且时， 方程的两根为，， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 因为，所以， 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，时等号成立； 所以的最小值为. 19. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（e是自然对数的底数，）． （1）证明：两角和的双曲余弦公式； （2）求函数在R上的值域； （3）函数在有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1）因为 ， 故得证． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由双曲余弦函数的定义结合指数式的运算证明结论； （2）利用换元法转化成二次函数的值域问题； （3）问题转化为在有两个实数根，通过换元构造函数求单调区间和值域的方法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知， 令，，则， 则，即为， 令， 所以在上单调递增，故，故的值域为， 即的值域为． 【小问3详解】 因为函数在有两个零点， 所以在有两个实数根， 所以在有两个实数根， 令，易知在上单调递增，所以， 则， 令，由对勾函数性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 又，，，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数在有两个零点， 所以，即实数m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $