精品解析：福建省福州市福九联盟2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题

2024—2025学年度第二学期福九联盟期末联考 高中一年数学科试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由并集的概念即可得解. 【详解】已知集合，则. 故选：A. 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用反比例函数性质判断A，利用幂函数性质判断B，利用指数函数性质判断C，利用对数函数性质判断D即可. 【详解】对于A，由反比例函数性质得在区间上单调递减，故A错误， 对于B，由幂函数性质得在区间上单调递增，故B正确， 对于C，由指数函数性质得在区间上单调递减，故C错误， 对于D，由对数函数性质得在区间上单调递减，故D错误. 故选：B 3. 若复数满足，则z的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. i D. -i 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法整理成标准式，根据虚部的定义，可得答案. 【详解】由题意可得，则的虚部为. 故选：A. 4. 用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的概率为，则（ ） A. a = ， B. a = ， C. a = ， D. a = ， 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合简单随机抽样的特征即可确定实数，的值. 【详解】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到， 因为每次抽取一个号码，所以李华第一次被抽到的可能性为， 第五次被抽到的可能性为. 即李华同学在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以，. 故选：B. 5. 下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数一般用每组数据的中点值乘以频率再求和来计算，再对照各个选项的图形分析，即可求解. 【详解】根据拖尾效应，对于选项A和B，根据频率分布直方图关于中线对称，所以平均数等于中位数，所以A和B错误； 对于选项C，根据频率分布直方图左拖尾，易得平均数小于中位数，所以C错误； 对于选项D，根据频率分布直方图右拖尾，易得平均数大于中位数，所以D正确． 故选：D. 6. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合余弦函数的平移规则求解即可. 【详解】对于A，由诱导公式得，故A错误， 对于B，由诱导公式得，故B错误， 对于C，由诱导公式得，故C正确， 对于D，由诱导公式得，故D错误. 故选：C 7. 已知定义在上的奇函数周期为3，当时，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用奇函数的定义得到，再结合周期性得到，结合求出，最后求出即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 因为的周期为3，所以， 而当时，，则， 即，可得，故B正确. 故选：B 8. 如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面上的动点P，观测点O到墙面的距离，墙角处点B到点A的距离，墙面上，当动点P沿射线在墙面上移动时，仰角θ(直线与水平面所成的角)正切值的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，根据线面角定义说明直线与水平面所成的角为，设，分析得，转换为函数的最值即可求解. 【详解】如图所示，过点作， 因为平面平面，平面， 所以平面， 所以直线与水平面所成的角为， 设，因为，，所以，， 又因为点到平面的距离为， 所以 设，则， 所以当时，有最小值，此时有最大值， 且最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 如果直线和平面满足，，那么 B. 已知平面和直线，若，，，，则 C. 已知平面和直线，若，， ，，则 D. 已知平面和直线，若，，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AB，由答案不完备即可判断；对于CD，分别由面面垂直、线面平行的性质判断即可. 【详解】对于A，如果直线和平面满足，，那么平行、相交或异面，故A错误； 对于B，已知平面和直线，若，，，，则或相交，故B错误； 对于C，由面面垂直的性质可知，若，， ，，则，故C正确； 对于D，由线面平行的性质可知，若，，，则，故D正确. 故选：CD. 10. 甲、乙两人参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则以下说法正确的是（ ） A. 每轮活动中，甲获胜的概率为 B. 每轮活动中，平局的概率为 C. 甲胜一轮且乙胜两轮的概率为 D. 甲至少获胜两轮的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先分析甲获胜的情况，再利用独立事件概率公式结合对立事件概率公式判断A，先分析平局的情况，再结合独立事件概率公式，对立事件概率公式，互斥事件概率公式判断B，先分析甲胜一轮且乙胜两轮的情况，再利用独立事件概率公式判断C，先分析甲至少获胜两轮的情况，再结合独立事件概率公式与互斥事件概率公式判断D即可. 【详解】对于A，若甲获胜，则意味着每轮活动中甲答对，乙答错， 由对立事件的概率公式得乙答错的概率为， 而甲答对的概率为，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响， 由独立事件概率公式得甲获胜的概率为，故A正确， 对于B，若两人平局，则意味着每轮活动中甲乙都答对或甲乙都答错， 由对立事件的概率公式得甲答错的概率为， 由独立事件概率公式得甲乙都答对的概率为， 甲乙都答错的概率为，而甲乙都答对和甲乙都答错两个事件互斥， 由互斥事件概率公式得平局的概率为，故B正确， 对于C，若甲胜一轮且乙胜两轮，则三轮之中有一轮甲胜，有种选法， 而乙胜一轮的概率为乙答对且甲答错，概率为， 由题意得各轮活动互不影响，即每轮甲乙的胜负情况相互独立， 则由独立事件概率公式得甲胜一轮且乙胜两轮的概率为，故C错误， 对于D，若甲至少获胜两轮，则甲胜三轮或甲胜两轮， 若从三轮里选两轮甲胜，共有种选法， 则甲胜两轮的概率为，甲胜三轮的概率为， 而甲胜两轮与甲胜三轮互斥，可得甲至少获胜两轮的概率为，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是正方形内的动点，则（ ） A. 平面截正方体所得截面面积为 B. 经过四点的球的体积为 C. 若垂直于，则的轨迹长度为 D. 三棱锥的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用中位线定理结合正方体性质得到，再结合四点共面，由梯形的性质求出梯形的高，并结合梯形面积公式判断A；合理作出辅助线，将目标外接球转化为长方体的外接球，进而求出外接球半径，最后结合球的体积公式判断B；对于C，合理作出辅助线，利用线面垂直的性质得到，将底面单独拿出，建立平面直角坐标系，求出关键点的坐标，利用向量方法得到，进而结合线面垂直的定理得到面，最后确定的轨迹就是线段，利用勾股定理求解其长度判断C；对于D，合理作出辅助线，结合题意得到，再将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，利用线面垂直的性质和判定定理得到面，进而确定到面的距离为，再利用三角形面积公式求出，最后结合三棱锥的体积公式求解D即可. 【详解】对于A，如图，在棱长为2的正方体中，连接， 由正方体性质得四边形是矩形，故， 因为分别是的中点， 所以，，而，故， 则四点共面，梯形即为所求截面， 由勾股定理得，，，则， 由梯形的性质得梯形的高为， 由梯形面积公式得梯形面积为，故A正确； 对于B，如图，找中点，中点，连接， 由题意得经过四点的球就是长方体的外接球， 由长方体性质得外接球半径为， 由球的体积公式得球的体积为，故B正确； 对于C，如图，找中点，连接，且交于， 由正方体性质得平面，而平面，则， 如图，将底面单独拿出，以为原点建立平面直角坐标系， 则，可得，， 得到，故，由勾股定理得， 而，平面，故平面， 因为平面，所以，而是正方形内的动点， 则的轨迹就是线段，长度为，故C错误， 对于D，如图，找中点，延长交于，连接， 由已知得，由正方体性质得，， 由对顶角性质得，由中点性质得， 故，则， 可得四边形是平行四边形，故，则， 而， 由正方体性质得面，而面， 故，，因为面，， 所以面，故到面的距离为， 由三角形面积公式得， 由棱锥的体积公式得，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据，则这组数据的分位数是_________. 【答案】13 【解析】 【分析】利用百分位数位置公式确定百分位数的位置，再求解百分位数即可. 【详解】由题意得数据共个数， 由百分位数位置公式得，而不是整数，向上取整为， 而的第个数是13，则这组数据的分位数是13. 故答案为：13 13. 在矩形中，，，点满足，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算和已知条件即可化简求出结果. 【详解】根据题意结合图象可得： ，， ，， . 故答案为：. 14. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式求出，再利用互斥事件的加法公式求出，最后结合并事件的概率公式求解即可. 【详解】由对立事件的概率公式得， 由互斥事件的加法公式得， 而，得到，解得， 由并事件的性质得. 故答案为： 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件表示“第一次摸得红球”，事件表示“第二次摸得黄球”， （1）用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述事件； （2）计算，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由. 【答案】（1）答案见解析 （2），不独立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先设出基本事件，再求出整个样本空间，最后求出目标事件即可. （2）利用古典概型公式求出目标事件的概率，再结合独立事件的概率公式判断即可. 【小问1详解】 设2个红球分别标为，2个黄球分别标为， 则从中不放回地依次随机摸出2个球，用表示可能的结果， 设是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号， 则试验的样本空间为， 事件“第一次摸到红球”，即或2， 于是； 事件 “第二次摸到黄球”，即或4， 于是. 【小问2详解】 事件和事件不独立，理由如下： 由（1）得，，， 又因为=，所以. 所以， 则， 因为，所以事件和事件不独立. 16. 在中，内角所对的边分别为， （1）求角C； （2）若，求b. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将等式展开化简，根据正弦定理和余弦定理可求出. （2）先求出的值，然后根据和差的正弦函数求出，然后根据正弦定理求出. 【小问1详解】 因为， 所以， 化简得， 所以由正弦定理得：， 所以由余弦定理可得， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由，又，解得， 因为，所以， 所以 ， 在中，由正弦定理得， 所以. 17. 2025年5月25日，平潭综合实验区成功举办半程马拉松赛.志愿服务是赛事成功举办的重要保障.在该赛事志愿者选拔工作中，工作人员随机抽取100名候选者，将其面试成绩按要求分成六组：，并根据数据绘制了频率分布直方图（如图所示）. （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）已知落在区间内的面试成绩平均数为55，方差为16，落在区间的面试成绩平均数为67，方差为20，试估算在区间内所有面试成绩的平均数和方差. 【答案】（1）74 （2）63， 【解析】 【分析】（1）由各个矩形面积之和为1列方程求，由平均数的计算公式求解即可； （2）计算出，的频数，再结合分层抽样的平均数、方差公式求解即可. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1，得， 解得， 由， 得样本成绩的平均数为74； 【小问2详解】 由频率分布直方图知，成绩在的人数为， 成绩在的人数为， 所以落在所有候选者的面试成绩的平均数 ， 方差 . ， 估计落在所有候选者的面试成绩的方差为 . 18. 在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， （1）证明：平面； （2）求与所成的角的正切值； （3）若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）5 （3）垂直，证明见解析 【解析】 【分析】（1）思路一：只需证明 ，再结合线面平行的判定定理即可得证；思路二：只需证明平面 平面，再结合面面平行的判定定理即可得证； （2）根据异面直线所成角的定义说明和所成的角是， 结合解直角三角形知识求解即可； （3）只需证明平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证. 【小问1详解】 方法一：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. 【小问2详解】 因为底面，平面，所以， 过M点作，交于H点，则，所以和所成的角是， 在中，，E为中点，M为中点，所以， 连接，在中，，，所以， 所以； 【小问3详解】 平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 19. 如图，在三棱台中，平面平面，且. （1）证明：； （2）求直线与平面所成的角的大小； （3）线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求得，要证明线线垂直，则需证明线面垂直，即证明平面. （2）先证明平面， 然后确定直线与平面所成的角，进而确定其角的大小即可. （3）先确定为二面角的平面角，然后求其正切值，看是否存在. 【小问1详解】 证明：在三棱台中，， 在等腰梯形中， ，则, 由余弦定理得， 则， 即， 而平面平面，平面平面 平面，则平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 过作，垂足为， 因为，又平面， 所以平面， 平面，则  ， 又平面，则平面， 则为与平面所成的角， 则， 又平面平面，所以与平面所成的角为. 【小问3详解】 三棱台侧棱延长线交于点， 由（1）得为正三角形， 由平面平面，则平面平面， 取中点，连接，则，且， 而平面平面平面，则平面， 过作交于，则平面， 而平面，则， 过作于，连接，则为在平面内的射影，  又平面，则平面， 又平面，则， 则为二面角的平面角， 若存在使得二面角的平面角正切值为 ，即 ， 设，则 因为，则， 即，解得 ， ， 所以 ，即 ，， 所以线段上存在满足题意的点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期福九联盟期末联考 高中一年数学科试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 若复数满足，则z的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. i D. -i 4. 用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的概率为，则（ ） A. a = ， B. a = ， C. a = ， D. a = ， 5. 下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（ ） A. B. C. D. 6. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 7. 已知定义在上的奇函数周期为3，当时，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面上的动点P，观测点O到墙面的距离，墙角处点B到点A的距离，墙面上，当动点P沿射线在墙面上移动时，仰角θ(直线与水平面所成的角)正切值的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 如果直线和平面满足，，那么 B. 已知平面和直线，若，，，，则 C. 已知平面和直线，若，， ，，则 D. 已知平面和直线，若，，，则 10. 甲、乙两人参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则以下说法正确的是（ ） A. 每轮活动中，甲获胜的概率为 B. 每轮活动中，平局的概率为 C. 甲胜一轮且乙胜两轮的概率为 D. 甲至少获胜两轮的概率为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是正方形内的动点，则（ ） A. 平面截正方体所得截面面积为 B. 经过四点的球的体积为 C. 若垂直于，则的轨迹长度为 D. 三棱锥的体积为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据，则这组数据的分位数是_________. 13. 在矩形中，，，点满足，则_________. 14. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件表示“第一次摸得红球”，事件表示“第二次摸得黄球”， （1）用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述事件； （2）计算，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由. 16. 在中，内角所对的边分别为， （1）求角C； （2）若，求b. 17. 2025年5月25日，平潭综合实验区成功举办半程马拉松赛.志愿服务是赛事成功举办的重要保障.在该赛事志愿者选拔工作中，工作人员随机抽取100名候选者，将其面试成绩按要求分成六组：，并根据数据绘制了频率分布直方图（如图所示）. （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）已知落在区间内的面试成绩平均数为55，方差为16，落在区间的面试成绩平均数为67，方差为20，试估算在区间内所有面试成绩的平均数和方差. 18. 在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， （1）证明：平面； （2）求与所成的角的正切值； （3）若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 19. 如图，在三棱台中，平面平面，且. （1）证明：； （2）求直线与平面所成的角的大小； （3）线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $