25.1 一元二次方程的概念教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的概念，通过黄金分割雕像、无盖方盒面积、单循环球赛等真实情境导入，承接八年级整式运算与一元一次方程知识，搭建从一次到二次方程的认知桥梁。 以情境建模驱动学习，对比归纳定义培养抽象能力与推理意识，分层练习兼顾差异。落实数学眼光、思维、语言核心素养，助学生构建知识体系，为教师精准突破重难点提供实用支架。

教学设计 《25.1 一元二次方程的概念》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课时是人教版九年级上册一元二次方程整章的开篇内容，承接八年级下册整式运算、因式分解、一元一次方程相关知识，是学生首次接触次数为2的整式方程，起到承前启后的关键作用．教材依托无盖方盒面积、单循环球赛两类真实生活情境，引导学生自主列出全新整式方程，通过对比一元一次方程归纳出一元二次方程的完整定义，搭建起从一次方程到二次方程的认知桥梁．本节课提炼出一元二次方程一般形式，明确各项名称与\(a≠0\)的核心限制，是后续配方法、公式法、因式分解法解方程，以及判别式、根与系数关系、实际应用问题学习的基础工具．课堂渗透数学建模、类比归纳思想，让学生体会用方程解决几何、组合计数类实际问题的思路，完善整式方程知识体系，培养从现实情境抽象代数模型的核心素养，也是中考方程板块的基础奠基内容． 学习者分析 学生已经熟练掌握一元一次方程的定义、一般形式，会整式去括号、移项、合并同类项等化简运算，具备根据等量关系列一次方程的建模基础，习惯通过实例归纳数学概念．但学生存在明显认知短板：仅接触过未知数最高次数为1的方程，对二次项概念完全陌生，容易忽略一元二次方程“整式、一个未知数、最高次数2”三重限定条件；整理方程一般形式时移项符号易出错，难以理解规定a≠0的深层逻辑；面对几何、比赛组合类应用题，梳理等量关系、列式建模的能力较弱，抽象概括新知的思维仍需情境引导，教学需多用对比、实例降低理解难度． 教学目标 1．结合实际问题列整式方程，对比一元一次方程，理解一元二次方程的定义． 2．掌握一元二次方程一般形式，能准确识别二次项、一次项、常数项及各项系数． 3．能依据定义判断方程是否为一元二次方程，会将整式方程整理为标准一般形式． 教学重点 理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程一般形式，能将整式方程化为标准形式并识别各项系数． 教学难点 理解一元二次方程一般形式中二次项系数a≠0的必要性，能精准辨析易混淆方程是否属于一元二次方程． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1．结合实际问题列整式方程，对比一元一次方程，理解一元二次方程的定义． 2．掌握一元二次方程一般形式，能准确识别二次项、一次项、常数项及各项系数． 3．能依据定义判断方程是否为一元二次方程，会将整式方程整理为标准一般形式． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性． 环节二：新知导入 教师活动2： 指出：方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达，我们已经学习过利用一元一次方程解决现实生活中具有等量关系的问题，下面再来考虑一个更为复杂的问题. 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为，按照上述比例，雕像腰部以下为多长? 雕像腰部以上的身长与腰部以下的身长满足如下等量关系: 设雕像腰部以下的身长为，根据上述等量关系，就可以列出方程，整理得 . ① 解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长. 与一元一次方程相比较，上述方程也只含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，这样的方程就是本章要学习的一元二次方程. 在本章中，我们将探究一元二次方程的解法、根与系数的关系，并运用一元二次方程解决一些实际问题，增强模型观念.学习本章后，你对方程的认识将会得到进一步提升. 学生活动2： 学生认真听老师的讲解 活动意图说明： 以雷锋雕像黄金分割比例为真实情境导入，结合生活美学引出等量关系，对比一元一次方程自然生成一元二次方程，渗透数学建模思想，激发学生探究欲，让学生直观感受二次方程源于实际，明确本章学习内容与价值. 环节三：新知讲解 教师活动3： 问题1：如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒(如图2).如果要制作的无盖方盒的底面积为3600，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮? 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为.根据方盒的底面积为，可列得方程 整理并化简，得 ② 由方程②可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 追问：方程②中未知数的个数和最高次数各是多少? 预设：方程②中未知数的个数是1个，最高次数是2. 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行场，所以可列得方程 整理并化简，得 ③  由方程③可以得出应邀请的球队数. 追问1：为什么需进行场? 追问2：方程③中未知数的个数和最高次数各是多少? 预设：方程③中未知数的个数是1个，最高次数是2. 思考：方程①②③有什么共同点？ ① ② ③ 预设： 共同点： 1．只含有_______个未知数； 2．含有未知数的式子是 ________； 3．未知数的最高次数是______． 答案：一，整式，2 归纳：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项. 追问：为什么规定？ 归纳：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 例：将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解:去括号，得 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 学生活动3： 活动意图说明： 结合无盖方盒、单循环球赛实例建模，引导学生自主归纳定义、一般形式，渗透类比、建模思想，既激发学习兴趣，又落实从实际抽象代数模型的核心素养. 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系． 板书设计 课题：25.1一元二次方程的概念 一、一元二次方程的概念 二、一般形式 二、一元二次方程的解 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 答案：A 2．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 解：（1）整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 选做题： 4．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【综合拓展类练习】 5．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 解：（1）根据新定义，方程的倒方程是：； （2）由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 答案：C 2．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 答案：1 3．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3） ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4） ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 选做题： 4．若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为______． 答案：5 【综合拓展类作业】 5．若是关于x的一元二次方程，求a，b的值．张敏是这样考虑的：满足条件的a，b必须满足，你说张敏的这种想法全面吗？若不全面，请你说明其余满足的条件． 解：张敏的这种想法不全面． 由是关于x的一元二次方程，得 或或或或． 教学反思 本节课借助教材两个生活实例引导学生列式，通过类比一元一次方程顺利归纳定义，多数学生能掌握一般形式化简方法．但课堂暴露出两处不足：部分学生化简方程移项时符号频繁出错，辨析题型时容易遗漏“整式方程”这一条件；讲解a≠0时仅做简单说明，未设计反例让学生直观感受a≠0会退化为一次方程．后续教学可增加辨析反例专项练习，增设小组讨论探究a≠0的原因，同时分层设计应用题，提升学生提取等量关系、建立方程模型的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $