25.1 一元二次方程的概念 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，通过人体雕像黄金比例情境导入，引导学生从实际问题中抽象出方程，再结合矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛两个情境，归纳方程共同特征，建立与一元一次方程的联系，形成知识支架。 此资料以数学抽象、逻辑推理为核心素养导向，采用情境教学与探究法，通过三个实例让学生自主概括定义，结合例题精讲突破系数符号易错点，分层练习满足不同需求。助力学生提升建模能力与推理意识，为教师提供清晰教学流程与实用资源。

25.1 一元二次方程的概念 课题 25.1 一元二次方程的概念 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版 授课对象 九年级学生 授课时间 年 月 日 教学方法 情境教学法、探究法、讲授法 教学用具 多媒体课件 一、核心素养目标 1. 数学抽象 从实际问题中抽象出一元二次方程 理解一元二次方程、二次项、一次项、常数项等概念 掌握一元二次方程的一般形式 2. 逻辑推理 通过观察、比较、归纳三个方程的共同特征，概括一元二次方程的定义 能根据定义判断一个方程是否为一元二次方程 理解a≠0的必要性 3. 数学建模 能根据实际问题的数量关系建立一元二次方程模型 体会方程思想在解决实际问题中的价值 4. 数学运算 能将一个一元二次方程化为一般形式 能准确指出一般形式中各项的系数 会用代入法检验一个数是否为一元二次方程的根 二、教学重点与难点 教学重点： 1. 一元二次方程的概念（是整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2） 2. 一元二次方程的一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0） 3. 将方程化为一般形式并确定各项系数 教学难点： 1. 从实际问题中抽象出一元二次方程的建模过程 2. 准确识别一般形式中的各项系数（含符号） 3. 理解a≠0的必要性及b、c可以为零的情况 三、教学过程 环节一：情境导入（3-5分钟） 【教师活动】展示人体雕像图片，讲述：设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC（腰以上）与下部BC（腰以下）的高度比，等于下部BC与全部AB（全身）的高度比，可以增加视觉美感。假设雕像高AB为2m，下部BC=x m。 【互动提问】你能找出题目中的等量关系吗？ 等量关系：AC∶BC = BC∶AB，即BC² = 2·AC 由AB = 2m，BC = x m，得AC = 2-x BC² = 2·AC 列方程：x² = 2(2-x) 整理得：x² + 2x - 4 = 0 ① 人体雕像黄金比例示意图 【学生活动】观察方程①，思考它与学过的一元一次方程有什么不同。 【过渡语】方程①是一个新的方程类型，今天我们就来系统学习——一元二次方程。 环节二：新知探究一——一元二次方程的概念与一般形式（15-20分钟） 知识点一：一元二次方程的概念 【活动】情景1：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm²，那么铁皮各角应切去多大的正方形？（列出方程即可） 【教师活动】解：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm。根据题意得：(100-2x)(50-2x)=3600。整理得：4x²-300x+1400=0。化简得：x²-75x+350=0 ② x² - 75x + 350 = 0 ② 【互动提问】方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 【学生活动】观察回答：都只有一个未知数，最高次数都是2。 【活动】情景2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？（列出方程即可） 【教师活动】解：设应邀请x个队参赛，每两个队之间比赛一场，共比赛 x(x-1)/2 场。由题意得：x(x-1)/2 = 7×4 = 28。整理得：x²-x-56=0 ③ x² - x - 56 = 0 ③ 【互动提问】方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 【学生活动】观察回答：都只有一个未知数，最高次数都是2。 【观察归纳】观察方程①②③：x²+2x-4=0，x²-75x+350=0，x²-x-56=0。归纳共同点：(1)都是整式方程；(2)都只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数都是2。 x² + 2x - 4 = 0 ① x² - 75x + 350 = 0 ② x² - x - 56 = 0 ③ 【教师活动】引导学生归纳三个方程的3个共同点：整式、一元、二次。 【一元二次方程的定义】等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 📕 📕 理解要点：一元二次方程必须同时满足三个条件：(1)是整式方程；(2)只含一个未知数；(3)未知数最高次数是2。三个条件缺一不可。 排球邀请赛情境图 知识点二：一元二次方程的一般形式 【一般形式】ax² + bx + c = 0（a, b, c为常数，a≠0） ax² + bx + c = 0 (a≠0) 其中：ax² 称为二次项，a 称为二次项系数； bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项。 ⚠️ ⚠️ 易错提示：系数和项均包含前面的符号。例如-5x中，一次项系数是-5，不是5。 【思考探究】为什么一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0要规定a≠0？b、c可以为零吗？ 【学生活动】同桌讨论，代表发言。 【教师活动】总结：若a=0，则方程变为bx+c=0，是一元一次方程，不再是一元二次方程，所以必须规定a≠0。b和c可以为零：当b=0时，方程为ax²+c=0；当c=0时，方程为ax²+bx=0；当b=c=0时，方程为ax²=0。这些都是一元二次方程的特殊形式。 ⭐ ⭐ 重点强调：a≠0是方程为一元二次方程的前提条件。b和c可以为零，对应一元二次方程的特殊形式。 一元二次方程一般形式结构图 环节三：例题精讲——化一般形式（10-15分钟） 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。 例题(1) 2x² = 5x - 6 【思路分析】先移项（或去括号后移项），使等式右边为0，左边按降幂排列。 移项，得一般形式：2x² - 5x + 6 = 0。 【答案】二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为6。 例题(2) (x+2)(x-1) = 6 【思路分析】先移项（或去括号后移项），使等式右边为0，左边按降幂排列。 去括号，得x² + x - 2 = 6。移项，得一般形式：x² + x - 8 = 0。 【答案】二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-8。 ⚠️ ⚠️ 易错提示：注意：系数和项均包含前面的符号。 【过渡语】我们已经学会了一元二次方程的概念和一般形式，那么怎样判断一个数是不是一元二次方程的解呢？ 环节四：新知探究二——一元二次方程的解（根）（8-10分钟） 知识点三：一元二次方程的解（根） 【问题引入】回到情景1中的方程 x²-75x+350=0，下列值中有哪些可以使等式成立？x=4，x=5，x=60，x=70。 【学生活动】逐一将四个值代入方程计算验证。 【教师活动】展示验证过程： 当x=4时，4²-75×4+350=16-300+350=66≠0，不成立； 当x=5时，5²-75×5+350=25-375+350=0，成立； 当x=60时，60²-75×60+350=3600-4500+350=-550≠0，不成立； 当x=70时，70²-75×70+350=4900-5250+350=0，成立。 ∴ x=5和x=70是方程x²-75x+350=0的解。 【一元二次方程的解（根）】使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。注意：一元二次方程可能不止一个根。 ⭐ ⭐ 重点强调：一元二次方程可能不止一个根。根也称为解。 【即时练习】下面哪些数能满足方程 x² - x - 6 = 0？-2，-1，3，4。 【学生活动】独立计算，同桌互查。 【教师活动】讲评：当x=-2时，(-2)²-(-2)-6=4+2-6=0，成立； 当x=3时，3²-3-6=9-3-6=0，成立。 ∴ x=-2和x=3是方程x²-x-6=0的根。 环节五：课堂练习（10-15分钟） A组·基础巩固 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ B ） A. 3x² - 2xy - 5y² = 0 B. (x-1)(x+2) = 1 C. ax² + bx + c = 0 D. x² + 1/x = 0 【答案】B 【解析】A含有两个未知数x和y，不是一元；B展开得x²+x-2=1，即x²+x-3=0，是一元二次方程；C未限定a≠0；D是分式方程。故选B。 2. 一元二次方程 x² - 4x + a = 0 的一个解为 x = 1，则 a = ______。 【答案】3 【解析】将x=1代入方程：1²-4×1+a=0，即1-4+a=0，解得a=3。 3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 2x² = 4x 2x² - 4x = 0 2 -4 0 x² = 2 x² - 2 = 0 1 0 -2 3x(x-1) = 5 3x² - 3x - 5 = 0 3 -3 -5 (x-1)(x+3) = 5 x² + 2x - 8 = 0 1 2 -8 B组·能力提高 4. 若关于x的方程 (m-2)x^|m| + 3x - 5 = 0 是一元二次方程，则m的值为（ ） A. 2 B. -2 C. ±2 D. 0 【答案】B 【解析】由一元二次方程的定义，|m|=2且m-2≠0，所以m=-2。 5. 已知x=2是方程x²+mx-6=0的一个根，则m=______，方程的另一个根是______。 【答案】m=1，另一个根是-3 【解析】将x=2代入方程：4+2m-6=0，得m=1。方程为x²+x-6=0，分解得(x-2)(x+3)=0，所以另一个根是x=-3。 环节六：课堂小结（2-3分钟） 【教师引导】针对本节课的关键词"一元二次方程"，你能说说学到了哪些知识吗？ 【课堂互动】学生回答，教师补充板书，形成知识框架。 ◆ 概念： 是整式方程 含一个未知数 最高次数是2 ◆ 一般形式： ax²+bx+c=0 (a≠0) 确定二次项系数、一次项系数及常数项要先化为一般形式 ◆ 根： 使方程左右两边相等的未知数的值 四、板书设计 25.1 一元二次方程的概念 一、一元二次方程的定义 ① 是整式方程 ② 只含一个未知数（一元） ③ 未知数最高次数是2（二次） 二、一般形式 ax² + bx + c = 0 (a≠0) → 二次项：ax²，系数：a → 一次项：bx，系数：b → 常数项：c 三、一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值 ★ 一个一元二次方程可能不止一个根 五、教学反思 1. 本节课从人体雕像黄金比例引入，是否有效激发了学生的学习兴趣？ 2. 通过三个情景问题引导学生观察归纳共同特征的过程是否充分？学生能否自主概括出一元二次方程的定义？ 3. 一般形式中a≠0的讨论，学生是否真正理解其必要性？b、c可以为零的情况是否讲透彻？ 4. 例题精讲时，学生对"系数含符号"的理解是否到位？在练习中是否出现符号错误？ 5. 根的概念通过代入检验方式引入，学生是否体会到了「验证」与「求解」的区别？ 6. 课堂练习的分层设计（A组基础+B组提高）是否满足了不同层次学生的需求？ 学科网（北京）股份有限公司 $