25.1 一元二次方程的概念（教学课件）——2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕一元二次方程的概念、一般形式及根的意义展开，课堂导入先通过旧识回顾一元一次方程的定义，再结合雕像比例、矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛等现实问题引出新方程，对比共同点归纳定义，构建旧知到新知的学习支架。 其特色是问题驱动学习，从现实情境抽象数量关系培养数学眼光，类比旧知归纳定义发展数学思维，规范一般形式及系数表述强化数学语言。典型例题与分层检测结合，助学生形成模型意识，教师可高效开展概念教学。

25.1 一元二次方程的概念 人教版(2024)九年级上册 第二十五章 一元二次方程 学习目标 1 能根据具体问题中的数量关系列一元二次方程 2 理解一元二次方程的定义及其一般形式，会将一元二次方程化为一般式，并能说出各项的名称 3 理解一元二次方程的根的意义，会检 验一个数是不是一元二次方程的根 旧识回顾 判断下列式子是否是一元一次方程： √ √ × 一元一次方程 ①只含一个未知数 ②未知数的指数是一次 ③方程的两边都是整式 方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达，我们已经学习过利用一元一次方程解决现实生活中具有等量关系的问题，下面我们再来考虑一个更为复杂的问题. 探索新知 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ A C B (5－x ) m x m 雕像腰部以上的身长 AC 与腰部以下的身长 BC 满足如下等量条件：AC ∶ BC＝BC ∶ 5，即 BC2＝5AC. 设雕像腰部以下的身长 BC 为 x m，根据上述等量关系，就可以列出方程 x2＝5(5－x)，整理得 x2＋5x－25＝0. 解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长. 探索新知 问题 1 如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm．在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3 600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 100 cm 50 cm 3 600 cm2 x 设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为 (100－2x) cm ，宽为 (50－2x) cm． 根据方盒的底面积为 3 600 cm2，可列得方程 (100－2x)(50－2x)＝3 600， 整理并化简，得 x2－75x＋350＝0． 由方程可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 探索新知 问题 2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式 (每两支球队之间比赛 1 场)．根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请 x 支队参赛，每支球队要与其他 (x－1) 支球队各赛 1 场， 则此次邀请赛共需进行 场， 所以可列得方程 ， 整理并化简，得 x2－x－56＝0． 由方程可以得出应邀请的球队数. 为什么？ 每支球队要和其他 (x－1)支球队比赛，若直接算 x(x－1)，则每场比赛被重复计算了 2 次，所以要除以 2. 探索新知 思考 方程①②③有什么共同点？ x2＋5x－25＝0 ① x2－75x＋350＝0 ② x2－x－56＝0 ③ (1) 方程的两边都是_____； (2) 都只含___个未知数； (3) 未知数的最高次数都是__. 整式 1 2 类比一元一次方程的特征填空 探索新知 一元二次方程 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫作一元二次方程． 为什么规定 a≠0，b，c 可以为 0 吗？ ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)． ax2 是二次项，a 是二次项系数． bx 是一次项，b 是一次项系数． c 是常数项． 一元二次方程的一般形式是 注意：一元二次方程中各项的系数相互关联，不能单独说某一个项的系数是多少，因为方程两边同乘 －1时，各项的系数都变成了它的相反数. 探索新知 当 a＝0 时， bx＋c＝0 当 a≠0，b＝0 时， ax2＋c＝0 当 a≠0，c＝0 时， ax2＋bx＝0 当 a≠0，b＝c＝0 时， ax2＝0 归纳：只要满足 a≠0，b，c 可以为任意实数． ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)． 一元二次方程的一般形式是 探索新知 一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根． 判断一个数是不是一元二次方程的根的方法： 将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根． 典型例题 例 将方程 3x(x－1)＝5(x＋2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2－3x＝5x＋10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2－8x－10＝0. 它的二次项系数为 3，一次项系数为 －8，常数项为 －10. 一元二次方程的每一项 (系数) 都应包括它前面的符号. 当堂检测 当堂检测 A 当堂检测 A 当堂检测 B 当堂检测 D 当堂检测 A 当堂检测 D 当堂检测 D 本节课学习了哪些知识点呢？ 一元二次方程的概念 概念 一般形式 根 使方程左右两边相等的未知数的值 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)． 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫作一元二次方程． THANKS 1.下列属于一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 解析：A. 是一元二次方程，符合题意； B. ，是一元一次方程，不符合题意； C. ，不是方程，不符合题意； D. ，不是一元二次方程，不符合题意. 2.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 解析：A、是一元二次方程，故A符合题意； B、是二元二次方程，故B不符合题意； C、是分式方程，故C不符合题意； D、时是一元一次方程，故D不符合题意； 故选：A. 3.将方程化为一元二次方程的一般形式后，其一次项系数是( ) A.1 B. C.3 D. 解析：，展开得，移项得， 一次项系数为， 故选：B. 4.一元二次方程的二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是( ) A.0，-3 B.0，3 C.1，3 D.-1，-3 解析：一元二次方程的二次项系数为2， 方程可整理为， 一次项系数、常数项分别是-1，-3， 故选：D. 5.若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：关于x的方程是一元二次方程， ，解得：. 故选A. 6.若是一元二次方程的解，则m的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：∵是一元二次方程的解， ∴，解得， 故选：D. 7.已知a是方程的解，则代数式的值为( ) A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 解析：∵a是方程的解， ∴，∴， ∴ $