第二章 直线和圆的方程 寒假练习试卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026上学期高二年级《直线和圆的方程》练习试卷 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．已知直线和，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若直线的倾斜角为，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 3．经过点，圆心为的圆的方程是（　　） A． B． C． D． 4．两条平行直线与间的距离为（ ） A． B． C． D． 5．已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 6．已知直线：，直线：，则“”是“”的（　　）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 7．已知直线l的一个方向向量为，则直线l斜率为（　　） A． B． C．3 D． 8．过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．已知圆：，则（　　） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在3个点到直线：的距离都等于 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为 10．已知圆的方程为，则下列说法正确的是（　　） A．圆的半径为5 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．圆被直线截得的弦长为2 11．已知直线：和圆：交于A，B两点，则下列结论正确的是（　） A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线：垂直 C．当最小时，其余弦值为 D．若，直线被圆截得的弦长为 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12．已知点在圆外，则实数的取值范围是　 　. 13．直线关于直线对称的直线的方程是　 　. 14．已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是　 　. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知点，点，直线过点且与直线垂直. （1）求直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程. 16．分别根据下列条件，求圆的方程： （1）过点，，且圆心在直线上； （2）过、、三点． 17．如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 18．已知圆，直线. （1）求证：直线l恒过定点； （2）直线l被圆C截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a的值以及最短弦长． 19．如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程； 若不存在，说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】【解答】解：由，得或， 当，，满足平行； 当，，满足平行， 所以或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：A. 【分析】由两直线平行斜率相等且纵截距不相等，从而求出参数m的值，再根据充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项. 2．【答案】B 【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式 【解析】【解答】解：直线l变形可得，斜率， 因为倾斜角为，所以斜率， 所以，解得. 故答案为：B 【分析】将直线的一般式化成斜截式，可得斜率k，根据倾斜角，求得斜率k，即可求得答案. 3．【答案】B 【知识点】圆的标准方程 【解析】【解答】解：圆经过点，且圆心为，则圆的半径为， 故圆的方程为：. 故答案为：B. 【分析】利用两点间距离公式求圆的半径，再根据圆的标准方程求解即可. 4．【答案】D 【知识点】平面内两条平行直线间的距离 【解析】【解答】解：直线的方程化为， 则直线与间的距离为. 故答案为：D. 【分析】先化直线的方程化为，再利用两条平行直线的距离公式计算即可. 5．【答案】C 【知识点】直线与圆的位置关系 【解析】【解答】解：由题意，可得圆的圆心坐标为，半径， 则圆的圆心到直线的距离， 因为， 所以， 则直线与圆相交. 故答案为：C. 【分析】利用圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式计算出圆心到直线的距离，再与半径长度相比较，从而判断出直线与圆的位置关系. 6．【答案】A 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】【解答】解：当时，，所以或， 当时，直线：，直线：，则两直线不重合， 当时，直线：，即，直线：，两直线不重合， 则当或时，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：. 【分析】先利用两直线平行斜率相等和纵截距不等，从而求出的值，再利用充分条件、必要条件判断方法，从而找出正确的选项. 7．【答案】B 【知识点】直线的斜率 【解析】【解答】解：因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l斜率， 故答案为：B 【分析】利用直线方向向量与斜率的关系即可求解. 8．【答案】B 【知识点】斜率的计算公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系 【解析】【解答】解：由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线， 曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示）， 设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点，则应位于直线和切线之间， 所以， 因为，易知， 又与曲线相切，由，解得，所以， 所以直线斜率的取值范围为. 故答案为：B. 【分析】数形结合，由题意得曲线M是半圆，有两个交点需要求出相切PQ，和过点N的直线PN，利用直线与圆的位置关系和过两点直线的斜率，即可求解. 9．【答案】A,C,D 【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定；直线和圆的方程的应用 【解析】【解答】解：对于A：因为， 所以该直线必过点， 又因为，所以点在圆内部， 则直线与圆相交， 所以，圆与直线必有两个交点，故A正确； 对于B：因为圆心到直线的距离为， 由， 得圆上存在个点到直线的距离都等于，故B错误； 对于C：若圆与圆恰有三条公切线，则两圆相外切， 将化简可得， 则该圆圆心为，半径为， 所以， 解得，故C正确； 对于D：由切线性质及切线长定理， 可得、，， 则四边形的面积， 因为， 所以当取最小时，则最小， 又因为， 所以， 则，故D正确. 故答案为：ACD. 【分析】利用变形建立方程组的方法求出该直线所过定点，从而可得该直线与圆相交，则得出圆与直线的交点个数，则判断出选项A；先求出圆心到直线的距离后，再计算圆心加减半径与的大小关系，则判断出选项B；由公切线条数可得两圆位置关系，再利用两圆位置关系判断出选项C；利用已知条件计算可得，则只需计算的最小值，从而得出的最小值，则判断出选项D，从而找出正确的选项. 10．【答案】B,D 【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；图形的对称性 【解析】【解答】解：因为， 所以， 则圆心，半径， 所以圆的半径为，故A错误； 因为， 所以点在圆外，故B正确； 因为圆心不在直线上，故C错误； 当时，， 解得或， 则弦长为2，故D正确. 故答案为：BD. 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径长，则判断出选项A；代入点的坐标判断出选项B；利用圆心不过直线判断出选项C；计算弦长判断出选项D，从而找出说法正确的选项. 11．【答案】B,D 【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线；直线与圆相交的性质 【解析】【解答】解：A、因为直线：，即， 所以直线恒过定点，且斜率为，该选项错误，不合题意； B、圆：的圆心为，半径， 因为，可知点在圆内， 则对任意，直线与圆相交， 又因为直线：的斜率为， 所以当，则，两直线垂直， 所以存在使得直线与直线：垂直，该选项正确，符合题意； C、若取到最小值，等价于取到最小值， 当且仅当时，取到最小值， 此时直线：，， ， 又因为直线：不可能表示，所以，即无最小，该选项错误，不合题意； D、若，则直线：，则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为，该选项正确，符合题意； 故答案为：BD. 【分析】对于A：将直线化为点斜式可得，即可判断定点；对于B：，可知点在圆内 ，可知对任意，直线与圆相交，取符合题意；对于C：时，取到最小值 ，可知取到最小值，等价于取到最小值，结合余弦定理运算求解；对于D：代入点到直线的距离公式，结合垂径定理求弦长. 12．【答案】 【知识点】二元二次方程表示圆的条件；点与圆的位置关系 【解析】【解答】解：由，可得， 因为表示圆，所以， 又因为点在圆外， 所以，解得， 则实数的取值范围是：. 故答案为：. 【分析】化为，根据表示圆，求得m的范围，再根据点在圆外求得m的范围，再求交集即可得实数m的范围. 13．【答案】 【知识点】两条直线的交点坐标；与直线关于点、直线对称的直线方程 【解析】【解答】解：设两直线的交点为A，联立，求得，即， 设直线的方程为，易知直线过点， 则直线上的点到直线与的距离相等，即，解得或（舍去）， 故直线的方程是. 故答案为：. 【分析】设两直线的交点为A，联立方程组求得直线与的交点坐标，易知直线过点，设直线的方程为，利用直线上的点到直线与的距离相等，列式计算即可. 14．【答案】 【知识点】平面内两点间距离公式的应用；直线与圆的位置关系 【解析】【解答】解：将圆可转化为：， 则圆心为C(2，1)，半径为. 设A关于直线的对称点B的坐标为(a，b)， 则， 的最小值是. 故答案为：. 【分析】先利用图形的对称性求出点A关于直线的对称点B的坐标，再利用几何法求最值的方法，从而可得的最小值. 15．【答案】（1）解：点，，则， 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又因为直线过点， 所以直线的方程为，即； （2）解：联立，解得，则的交点坐标为， 直线上取点， 设关于对称的点为， 则，解得， 则直线关于直线对称的直线经过点， 代入两点式方程得，即， 故直线关于直线的对称直线的方程为. 【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；直线的两点式方程；两条直线的交点坐标 【解析】【分析】（1）利用斜率公式以及直线垂直斜率乘积为得直线的斜率，再利用点斜式求直线方程即可； （2）联立两直线求交点，直线上取点，设关于对称的点为，求出点关于直线的对称点，最后利用两点式求直线方程即可. （1）因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. （2）由解得，故的交点坐标为， 因为在直线上，设关于对称的点为， 则解得 所以直线关于直线对称的直线经过点， 代入两点式方程得，即， 所以直线关于直线的对称直线的方程为. 16．【答案】（1）解：设圆心坐标为， 因为圆过点，，所以， 则，解得， 即圆心坐标为，圆的半径， 故圆的方程为； （2）解：设圆的方程为， 由题意可得，解得， 故所求圆的方程为. 【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程 【解析】【分析】（1）由题意，设圆心坐标为，根据，求得，即可求得圆心和半径，得到圆的方程； （2）设圆方程为，代入、、三点求解即可. （1）圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆过点，，则有 即，解得， 可得圆心坐标为，圆的半径， 所以圆的方程为. （2）设过、、三点的圆的方程为， 则有，解得， 故所求圆的方程为. 17．【答案】（1）解：由已知条件，得的中点，则. 解法一：因为边上的中线的两点式方程为， 所以，边上的中线所在直线的方程为. 解法二：因为边上的中线的斜率为， 所以，中线的方程为：， 则边上的中线所在直线的方程为. （2）解：因为，又因为， 所以， 则， 所以，直线的方程为，即. （3）解：由已知条件，得的中点，则， 因为分别是线段的中点， 所以， 则， 又因为， 所以， 则直线所在直线的方程为：，即. 【知识点】直线的点斜式方程；直线的两点式方程；直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系 【解析】【分析】（1）先利用中点坐标公式求出的中点，再利用两种方法求解. 方法一：根据两点式方程和转化的方法，则得出边上的中线所在直线的方程. 方法二：利用两点求斜率公式和点斜式方程以及转化法，从而得出边上的中线所在直线的方程. （2）先利用两点求斜率公式求出直线的斜率，再根据可得的值，再利用点斜式方程得出边上的高所在直线的方程. （3）先利用中点坐标公式求出的中点，再根据题意得出的值，再利用点斜式方程和转化法，从而得出直线所在直线的方程。 （1）由已知得的中点，即， 解法一：边上的中线的两点式方程为，即； 解法二：边上的中线的斜率为， 所以中线的方程为：，即. （2）因为， 又，则，所以， 则直线的方程为，即. （3）由已知得的中点，即， 因为分别是线段的中点，所以，即， 又，所以， 则直线所在直线的方程为：，即. 18．【答案】（1）证明：因为直线， 所以， 联立 解得 所以不论a取何值，直线l必过定点. （2）解：由圆，知圆心，半径为， 当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 又因为直线l的斜率为，， 所以， 解得，此时直线l的方程是， 则圆心到直线的距离为， 所以最短弦长是 【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质 【解析】【分析】（1）将直线l化为，从而求解出直线恒过的定点坐标，即证出直线l恒过定点. （2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长；当直线时，直线被圆截得的弦长最短，先由与最短弦所在直线互相垂直，再利用斜率关系求出直线的方程，则根据几何法和，从而求出截得的弦长最短时a的值和最短弦长. （1）直线，即， 联立解得 所以不论a取何值，直线l必过定点 （2）由，知圆心，半径为. 当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短． 直线l的斜率为，， 有，解得 此时直线l的方程是 圆心到直线的距离为， 所以最短弦长是 19．【答案】（1）解：当时，直线AB的斜率为， 因为点，所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 因为圆的半径为，所以的长为； （2）解：存在，理由如下： 由垂径定理可知，当直线与直线垂直时，弦被点平分， 因为，所以， 则直线的方程为，即. 【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质 【解析】【分析】（1）当时，求得直线的斜率，利用点斜式写直线的方程，再根据点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，利用弦长公式计算即可； （2） 由垂径定理可知，当直线与直线垂直时，弦被点平分， 再根据垂直关系求出斜率，最后利用点斜式求直线方程即可. （1）当时，， 因，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 因半径为，则的长为； （2）存在，理由如下： 由垂径定理可知，当直线与直线垂直时，弦被点平分， 因，则， 则直线的方程为，即. 试题分析部分 1、试卷总体分布分析 总分：83分 分值分布 客观题（占比） 22.0(26.5%) 主观题（占比） 61.0(73.5%) 题量分布 客观题（占比） 11(57.9%) 主观题（占比） 8(42.1%) 2、试卷题量分布分析 大题题型 题目量（占比） 分值（占比） 选择题 8(42.1%) 16.0(19.3%) 填空题 3(15.8%) 6.0(7.2%) 解答题 5(26.3%) 55.0(66.3%) 多项选择题 3(15.8%) 6.0(7.2%) 3、试卷难度结构分析 序号 难易度 占比 1 普通 (52.6%) 2 容易 (42.1%) 3 困难 (5.3%) 4、试卷知识点分析 序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号 1 两条直线的交点坐标 12.0(14.5%) 13,15 2 直线的一般式方程 15.0(18.1%) 17 3 直线与圆的位置关系 8.0(9.6%) 5,8,9,14 4 圆的一般方程 10.0(12.0%) 16 5 必要条件、充分条件与充要条件的判断 4.0(4.8%) 1,6 6 直线与圆相交的性质 24.0(28.9%) 10,11,18,19 7 图形的对称性 2.0(2.4%) 10 8 平面内点到直线的距离公式 20.0(24.1%) 18,19 9 直线和圆的方程的应用 2.0(2.4%) 9 10 平面内两条平行直线间的距离 2.0(2.4%) 4 11 直线的一般式方程与直线的垂直关系 17.0(20.5%) 11,17 12 二元二次方程表示圆的条件 2.0(2.4%) 12 13 直线的斜率 2.0(2.4%) 7 14 直线的一般式方程与直线的平行关系 19.0(22.9%) 1,6,17 15 恒过定点的直线 14.0(16.9%) 9,11,18 16 圆的标准方程 16.0(19.3%) 3,8,10,16 17 与直线关于点、直线对称的直线方程 2.0(2.4%) 13 18 两圆的公切线条数及方程的确定 2.0(2.4%) 9 19 斜率的计算公式 14.0(16.9%) 2,8,15 20 平面内两点间距离公式的应用 2.0(2.4%) 14 21 点与圆的位置关系 4.0(4.8%) 10,12 22 直线的点斜式方程 35.0(42.2%) 15,17,19 23 直线的两点式方程 25.0(30.1%) 15,17 24 直线的倾斜角 2.0(2.4%) 2 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $