第四章 投影与视图【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理了投影与视图的核心知识，涵盖平行投影、中心投影的概念及对比，三视图的定义、画法规则与几何体还原方法，通过对比表格、思维导图及口诀串联知识点，帮助学生构建完整知识体系。 其亮点在于聚焦中考高频考点，通过“三步法”还原几何体、小正方体计数步骤等策略，结合典型例题分层训练，如中心投影光源确定及影长计算，培养学生的空间观念与推理意识。易错点汇总帮助学生精准突破，教师可直接用于分层复习，提升教学效率。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 章末小结 第四章 投影与视图 第四章 投影与视图 全章总复习讲义 本章是初中几何二维转三维的过渡章节，难度低、套路固定、中考必考基础分。整章分为两大模块：投影（平行投影、中心投影）、三视图（识图、还原几何体），无复杂计算，重点记忆概念、规则与解题方法。 一、4.1 投影 核心全解 1. 投影基本概念 三要素：光源、物体、投影面。 分类：根据光源不同，分为平行投影和中心投影。 2. 两大投影对比（必考辨析） 对比项 平行投影（阳光、月光） 中心投影（路灯、台灯、手电） 光线特征 互相平行 汇聚于一个点光源 影子方向 同一时刻全部同向 方向不统一 物高与影长 成正比例（可计算） 无固定比例 影子长短变化 随太阳角度变化 近短远长 3. 平行投影重难点 核心公式（同一时刻）：$$\dfrac{\text{物体高度}_1}{\text{影长}_1}=\dfrac{\text{物体高度}_2}{\text{影长}_2}$$ 原理：平行光线构造相似直角三角形，边长成比例。 一天影子变化规律（北半球）： - 方向：西 → 西北 → 北 → 东北 → 东 - 长短：长 → 短 → 长（正午影子最短） 4. 正投影（三视图基础） 定义：平行光线垂直照射投影面得到的投影，是特殊的平行投影。 投影规律： - 物体平行投影面：投影与原图全等 - 物体倾斜投影面：投影缩小 - 物体垂直投影面：投影变为线段 二、4.2 三视图 核心全解 1. 三种视图定义 - 主视图：正面投射，反映物体长、高 - 左视图：左面投射，反映物体宽、高 - 俯视图：上面投射，反映物体长、宽 本质：三视图就是物体三个方向的正投影。 2. 三视图黄金铁律（画图、解题必守） 长对正、高平齐、宽相等 - 长对正：主、俯视图长度相等、上下对齐 - 高平齐：主、左视图高度相等、左右平齐 - 宽相等：俯、左视图宽度相等 3. 虚实线规则（高频扣分点） - 实线：看得见的棱、外轮廓 - 虚线：被遮挡、看不见的棱或内部轮廓 4. 基础几何体三视图（必背） - 正方体：三视图均为正方形 - 长方体：三视图均为矩形 - 圆柱：主、左视图矩形，俯视图圆（无圆心） - 圆锥：主、左视图等腰三角形，俯视图圆（带圆心） - 球体：三视图均为圆 - 棱柱：立面矩形，底面多边形；棱锥：立面三角形，底面多边形 三、本章重难点：由三视图还原几何体 1. 万能判定三步法 口诀：两视定类，俯视定底，三视定型 1. 主、左视图判类型：矩形→柱体，三角形→锥体，圆形→球体 2. 俯视图定底面：圆→旋转体（圆柱/圆锥），多边形→多面体（棱柱/棱锥） 3. 结合虚实线、轮廓，确定完整几何体形状 2. 高频难点：小正方体堆叠计数 解题步骤： 1. 俯视图：确定底层方块摆放位置与数量 2. 主视图：确定每一列最大层数 3. 左视图：确定每一行最大层数 4. 逐格标注层数，累加得总个数 核心结论：俯视图定点，主左视图定高 3. 组合几何体还原技巧 - 视图出现双层轮廓：上下几何体拼接（常见圆柱+圆锥） - 出现虚线：存在遮挡、凹陷或隐藏结构 四、全章高频易错点汇总 - 混淆两类投影：只有平行投影满足物高影长成正比，中心投影无固定比例 - 圆锥俯视图漏画圆心点，与圆柱混淆 - 三视图画图不遵守长对正、高平齐、宽相等 - 看不见的棱遗漏虚线，造成扣分 - 仅凭单一视图判定几何体，未结合三视图验证 - 数正方体个数漏算被遮挡的方块 - 误将灯光影子判定为平行投影 五、全章核心思维导图（逻辑梳理） 投影与视图 → 投影（平行投影【正投影、测高计算】、中心投影） → 三视图（视图定义、画图规则、基础几何体识图、三视图还原几何体、正方体计数） 六、全章终极口诀（考前速记） - 阳光平行灯点源，平行正比中心变 - 长对正来高平齐，宽要相等虚实辨 - 矩形立柱三角锥，全圆球体不用推 - 俯视定点主左高，方块计数错不了 知识点1 投影与中心投影 (1)投影：物体在光的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。 影子所在的平面称为投影面。 形成投影的三大条件：光(光源)；物体(在光源与投影面之间)；投影面。 知识点1 投影与中心投影 (2)中心投影：手电筒、路灯和台灯的光可以看成是从一个点发出的，这样的光所形成的投影称为中心投影。 中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心。 中心投影的性质： 同一时刻，点光源、物体上的点及其影子上的对应点在同一直线上。 根据同一点光源下的两个不同物体及它们的影子，可以确定点光源所在的位置。 知识点1 投影与中心投影 中心投影的特征： ①等高的物体垂直于地面放置时，在灯光的照射下，离点光源越近，物体的影子越短，离点光源越远，物体的影子越长。 ②等长的物体平行于地面放置时，在灯光的照射下，离点光源越近，物体的影子越长，离点光源越远，物体的影子越短，但不会比物体本身短。 知识点2 平行投影 特征： 同一时刻、同一地点，影子的长度与物体的高度成正比，所有物体的投影在同一方向。 = (3)平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。 平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。 知识点2 平行投影 平行投影作图： ①连接物体顶端与影子顶端。 ②过另一物体的顶端作刚才连线的平行线，即可得出物体的影子。 辨别平行投影与中心投影的方法： 分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线： ①若两直线平行，则为平行投影； ②若两直线相交，则为中心投影，其交点就是光源的位置。 知识点2 平行投影 平行投影 中心投影 区别 光源 光线   投影 联系 同一时刻、同一地点，影子的长度与物体的高度成比例，所有物体的投影在同一方向。 = 影子的长度与物体的高度不一定成比例，不同物体的投影可能在同一方向，也可能在不同方向。 太阳等。 光线是平行的。 点光源(灯泡等)。 光线是从一点发出的，不是平行的。 (1)都是物体在光线下形成的投影； (2)若光线一定，投影随着物体位置的变化而变化； (3)影子的长度与物体的高度(长度)有关。 两棵小树在同一盏路灯下的影子如图所示。 (1)确定路灯灯泡所在的位置，并在适当的位置画出灯杆。 (2)在图中画出表示婷婷影长的线段。 解：(1)如图，两条光线的交点O即路灯灯泡所在的位置，灯杆为OD。 (2)如图，线段EF表示婷婷的影长。 例1 知识点1 投影与中心投影 O D F E 两棵小树在同一盏路灯下的影子如图所示。 (3)若左边的树AB的高度是3米，影长是4米，树AB离灯杆的距离是2米，求灯杆的高度。 解：由题意，知△ABC∽△ODC， 所以=，即=， 解得OD=4.5 米， 所以灯杆的高度为4.5 米。 例1 知识点1 投影与中心投影 O D F E 如图，婷婷从点E出发，经过路灯OD正下方沿直线走到点M，设她的影长为y，她与点E之间的距离为x，那么下列图象中，能表示y与x之间函数关系的是哪一个?请从函数的变化趋势方面说明理由。 解：能表示y与x之间函数关系的是④。 理由：婷婷从点E出发，经过路灯OD正下方沿直线走到点M， 她的影长y开始逐渐减小，后来逐渐增大。 例2 知识点1 投影与中心投影 如图，一块面积为60 cm²的三角形硬纸板(记为△ABC )平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A₁B₁C₁，若OB:BB₁=2:3，则△A₁B₁C₁的面积是( )。 A.90 cm² B.135 cm² C.150 cm² D.375 cm² 例3 D 知识点1 投影与中心投影 如图所示，甲楼AB高16 米。当地12时物高与影长的比是1:。 (1)如图1，当地12时甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距BD的长为 米。 (2)当地14时物高与影长的比是1:2。如图2，此时甲楼的影子有一部分落在了乙楼上，求落在乙楼上的影子DE的长。 解：如图， 作EF⊥AB于点F。 在Rt△AEF中，∠AFE=90°，EF=BD=16 米。 ∵物高与影长的比是1:2， ∴=，即=， 解得AF=8米， ∴DE=FB=AB-AF=(16-8)米，∴落在乙楼上的影子DE的长为(16-8)米。 例4 16 知识点2 平行投影 F 在“测量物体的高度”活动中，在同一时刻，测得一根长为1 m的竹竿落在水平地面上的影长为0.8 m。小明测得一棵树落在水平地面上的影长为2.4 m，落在坡面上的影长为3.2 m(如图)。身高1.6 m的小明站在坡面上，当影子都落在坡面上时，小芳测得小明的影长为2 m。你能计算出树的高度吗? 解：如图，线段AB为树的高，落在水平地面上的影长BC=2.4 m，落在坡面上的影长CD=3.2 m，连接AD，过点C分别作EC∥AD交AB于点E，CF∥AB交AD于点F， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE=FC。 由平行投影的性质，得=，=， ∴BE=3 m，AE=FC=2.56 m， ∴AB=AE+BE=5.56 m，∴树的高度为5.56 m。 例5 知识点2 平行投影 知识点3 三种视图 (1)视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图。 (2)三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫作主视图， 从左面得到的视图叫作左视图， 从上面得到的视图叫作俯视图。 知识点3 三种视图 三种视图的画法 ： ①确定主视图的位置，画出主视图； ②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； ③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”。 注意：在画视图时，看得见的部分的轮廓线要画成实线，看不见的部分的轮廓线要画成虚线。 知识点3 三种视图 由三种视图确定几何体形状的常用方法 ： ①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面的形状以及确定几何体的长、宽、高。 根据实线和虚线想象几何体看得见的和看不见的轮廓线。 ②熟记一些简单几何体的三种视图会对想象复杂几何体的形状有帮助。 ③利用由三种视图画几何体与由几何体画三种视图的互逆过程， 反复练习，不断总结方法，熟能生巧。 如图，圆柱中挖去一个小圆柱，剩余几何体的主视图和俯视图正确的是( )。 例6 B 知识点3 三种视图 画出图中几何体的三种视图。 例7 知识点3 三种视图 解：这个几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示。 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为( )。 例8 A 知识点3 三种视图 已知某几何体的三种视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则左视图的面积为 ，该几何体的表面积为 。 例9 8 知识点3 三种视图 48+12 考点1 中心投影与平行投影 1. 灯光与物体的影子的位置最合理的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 21 2. 下列关于投影的说法正确的是( ) C A. 平行投影中的光线是聚成一点的 B. 线段的正投影还是线段 C. 圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆 D. 若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同 返回 考试考法 22 3. 一个矩形木框在太阳光的照射下，在地面上的投影不可能 是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 23 4.学习了投影和相似的相关知识后，瑶 瑶想测量操场边路灯的高度 ，如图， 灯泡处的灯光照在水平放置的单杠 上，在地面上留下影子 ，经测量得 知，单杠，影子 ，单杠高 .已知，， ，点 ，，，， 在同一水平直线上. 考试考法 24 （1）请在图中画出点 的位置；（保留画图痕迹） 【解】点 的位置如图所示. 考试考法 25 （2）请求出路灯的高度 . 由题意得 ， ， . 考试考法 26 . . . ， ， ，即 . ，即路灯的高度为 . 返回 考试考法 考点2 几何体的三视图 5. [2025安徽] “阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水 平放置的“阳马”的主视图为( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 28 6. 如图为出现在深圳街头的新型无线充电石 墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是( ) A A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 返回 考试考法 29 7.请你画出如图所示几何体的三视图. 【解】如图所示. 返回 考试考法 30 考点3 由三视图还原几何体 8. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是 ( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 31 9. 如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小 正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体 的主视图是( ) B （第9题） A. B. C. D. 返回 考试考法 32 （第10题） 10.如图是一个长方体的三视图，若用 表示 面积，且 ， ，则 ________. 返回 考试考法 33 11. （1）如图是一个组合几何体的两种视图，请写出这个组合 几何体是由哪两种几何体组成的； 【解】这个组合几何体是由圆柱与长方体组成的. 考试考法 34 （2）根据两种视图中的尺寸（单位： ），计算这个组合 几何体的体积.（结果保留 ） 由题意得这个组合几何体的体积圆柱体积长方体体积 返回 考试考法 35 思想1 方程思想 12.如图，某广告墙旁有两根直立的木杆和 ，某一时 刻在太阳光下，木杆的影子刚好不落在广告墙 上. 考试考法 36 （1）请在图中画出此时的太阳光线及木杆的影子 ； 【解】如图所示，， 即 为所作. 考试考法 37 （2）若 ， ，到 的距离 的长为 ，求此时木杆 的影长. 设此时木杆的影长为 ， 由题意，得，解得 . 故此时木杆的影长是 . 返回 考试考法 38 思想2 数形结合思想 13.一个几何体如图所示. （1）画出该几何体的三视图； 考试考法 39 【解】该几何体的三视图如图. 考试考法 40 （2）求出该几何体的表面积和体积. 该几何体的表面积为 ,该几何 体的体积为 返回 考试考法 41 $