5.1　认识二次函数 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过阳光体育运动中投掷物飞行高度与时间的关系导入，结合一次函数、反比例函数对比，搭建从已知到新知的学习支架，引导学生理解二次函数的一般形式及实际意义。 其亮点在于以真实情境激发探究兴趣，体现“会用数学的眼光观察现实世界”。通过服装降价、矩形面积等问题链抽象出二次函数定义，培养抽象能力，例题辨析强化推理意识，落实“会用数学的思维思考现实世界”。结构化小结和演练助学生系统掌握，教师可直接用于课堂提升效率。

5.1　认识二次函数 第五章　二次函数 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学习目标 1.理解二次函数的概念，能用符号表示一个二次函数的一般形式. 2.会判断一个函数是二次函数，能确定二次函数的二次项、一次项与常数项.(重点) 3.能根据实际问题列二次函数解析式，并在解题过程中体会利用二次函数刻画现实世界.(难点) 情境引入 下午大课间，全校同学聚集在操场上进行阳光体育运动，好不热闹.你瞧，篮球划出一道优美的弧线进入篮框，铅球迈着沉重的步伐前进着，标枪如流星划破天空，羽毛球在空中来回舞动，…，你想过吗，这些投掷物的飞行高度随时间的变化而变化，那么飞行高度与飞行时间是什么函数关系呢？这函数有什么特点呢？从本节课开始，我们将学习这个内容. 一、 二次函数 问题　(1)某服装原价为500元，连续两次降价x后出售，则第一次降价x后售价为____________________元，第二次降价x后售价为______________ _________________元.如果设最后售价为y元，则y与x的关系式为_______ _________________________.  [500(1-x)]或(500-500x) [500(1-x)2]或 (500-1 000x+500x2) y=500 (1-x)2或y=500-1 000x+500x2 (2)如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为x m，y m. ①若绳长为10 m，则y与x的关系式为　　　　，y是x的　　　函数；  ②若矩形的面积是10 m2，则y与x的关系式为　 　，y是x的　　　　函数； ③若矩形的周长为20 m，矩形的面积为S m2，则S与x的关系式为 　　　　　　.  y=-x+5 一次 y= 反比例 S=-x2+10x 知识梳理 一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 (a，b，c是常数，a≠0)的形式，那么称y是x的二次函数. 在二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)中，a为二次项系数，ax2叫作二次项；b为一次项系数，bx叫作一次项；c为常数项. y=ax2+bx+c 例1　下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是 A.y=(k-1)x2+3 B.y=+1 C.y=(x+1)(x-2)-x2 D.y=2x2-7x √ 解析　A项，当k=1时，不是二次函数； B项，含有分式，不是二次函数； C项，化简后为y=-x-2，不是二次函数； D项，符合二次函数的定义，是二次函数. 反思感悟 在识别二次函数时，其依据是二次函数的定义，因此一定要抓住二次函数的三个主要特点，即①右边是关于自变量x的整式ax2+bx+c；②自变量x的最高次数是2；③二次项系数a不等于0，但b，c可以是任意实数. 跟踪训练1　下列函数中是二次函数的有 ①y=x+；②y=3(x-1)2+2；③y=(x+3)2-2x2；④y=+x. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 √ 解析　①y=x+，④y=+x的右边不是整式，故①④不是二次函数； ②y=3(x-1)2+2=3x2-6x+5，符合二次函数的定义； ③y=(x+3)2-2x2=-x2+6x+9，符合二次函数的定义. 二、 列二次函数关系式 知识梳理 列二次函数关系式，其方法和步骤为：①先确定题目中自变量与函数之间的数量关系；②用指定的表示自变量与函数的字母以及已知数，代替数量关系中相应的量；③把列出的式子整理为二次函数的一般形式，完成求解过程. 例2　如图，一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x+1)cm的小长方形.剩余部分的面积为y cm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？ 解　根据题意，得y=122-2x(x+1)=-2x2-2x+144. ∵小长方形的长为2x cm，宽为(x+1)cm， ∴x+1<2x≤12，解得1<x≤6. ∴y与x之间的函数关系式为y=-2x2-2x+144(1<x≤6). ∴y是x的二次函数. 跟踪训练2　(1)如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为y平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为 A.y=x(15-2x) B.y=x(16-2x) C.y=x(14-2x) D.y=x(16-x) √ (2)某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品.据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为 A.y=(x-40)(500-10x) B.y=(x-40)(10x-500) C.y=(x-40)[500-10(x-50)] D.y=(x-40)[500-10(50-x)] √ 课堂小结 1.下列函数中，一定为二次函数的是 A.y=2x-1 B.y=ax2+bx+c C.y=x2+ D.s=3t2-2t+1 √ 随堂演练 2.二次函数y=x2-6x-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 A.1，-6，-1 B.1，6，1 C.0，-6，1 D.0，6，-1 √ 随堂演练 3.小杰把班级勤工俭学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本息和为y元，则y与x之间的函数关系式为 A.y=500(1+x)2 B.y=x2+500 C.y=x2+500x D.y=x2+5x √ 解析　∵一年定期储蓄的年利率是x，∴两年后的本息和y与年利率x的关系式是y=500(1+x)(1+x)=500(1+x)2，故A选项正确. 随堂演练 4.已知函数y=xm-1+2是关于x的二次函数，则m的值为　　.  3 解析　由题意得m-1=2，解得m=3. 随堂演练 5.下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，指出其二次项系数、一次项系数和常数项. (1)y=(x-1)2-1；(2)y=2x；(3)s=3-2t2；(4)y=(x+3)2-x2；(5)V=8πr2. 解　(1)y=(x-1)2-1=x2-2x，所以它是二次函数.二次项系数是1，一次项系数是-2，常数项是0. (2)是一次函数不是二次函数. (3)可变形为s=-2t2+3，所以它是二次函数，二次项系数是-2，一次项系数是0，常数项是3. (4)y=(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9，所以它不是二次函数. (5)符合二次函数的特征，是二次函数.二次项系数是8π，一次项系数是0，常数项是0. 随堂演练 谢谢观看 $