5.1 认识二次函数 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念、一般形式及实际应用，通过雨后彩虹、喷泉曲线等生活实例导入，在一次函数基础上，以具体问题为支架构建从生活现象到数学抽象的认知脉络。 其亮点是结合生活实例与实际问题，培养数学眼光和模型观念，如果园产量、储蓄本息问题引导抽象函数表达式，典例精析强化推理意识。助力学生理解概念提升应用能力，为教师提供逻辑清晰、资源丰富的教学支持。

第五章 二次函数 分层设计 数学 BS 九年级 全 ★本章将在一次函数的基础上继续认识二次函数，你将体会二次函数的意义，描绘二次函数的图像，发现二次函数的性质，利用二次函数解决一些实际问题，进一步发展抽象能力、几何直观、模型观念等，不断增强应用意识. 分层设计 数学 BS 九年级 全 5.1 认识二次函数 分层设计 数学 BS 九年级 全 1. 理解并掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2. 会列二次函数表达式解决实际问题.（难点） 学 习 目 标 分层设计 数学 BS 九年级 全 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？ 新 课 导 入 分层设计 数学 BS 九年级 全 问题1 某果园有 100 棵橙子树，平均每棵树结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高总产量，但如果多种树，树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子. (1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 解：多种的橙子树的棵数和少结的橙子个数是变量.其中多种的橙子树的棵数是自变量，少结的橙子个数是因变量. 合 作 探 究 分层设计 数学 BS 九年级 全 (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有__________棵橙子树， 这时平均每棵树结_____________个橙子. (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的关系式为：____________________________________________. 果园原来有100棵 （100+x） （600-5x） y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60 000 橙子总产量＝每棵树的产量×橙子树的数量 合 作 探 究 分层设计 数学 BS 九年级 全 做一做 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 问题2 设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税). 解：依题意，得 一年后的本息和为： 两年后本息和为 ： 所以，y 与x的关系式为： 化简为： 合 作 探 究 分层设计 数学 BS 九年级 全 观察两个函数表达式的共同点: （1）； （2）. (1) 函数表达式中的各项都是整式； (2) 函数自变量的最高次为2次； (3) 可以化成（是常数，）的形式. 合 作 探 究 分层设计 数学 BS 九年级 全 二次函数的定义： 一般地，如果两个变量之间的对应关系可以表示成(是常数,)的形式，那么称y是的二次函数. a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项. ☀归纳总结： 合 作 探 究 分层设计 数学 BS 九年级 全 若，可以写成__________________; 若，可以写成__________________; 若且，可以写成__________________. y=ax²+c y=ax²+bx y=ax² 二次函数的一般形式： (其中是常数,) 二次函数的特殊形式： 合 作 探 究 分层设计 数学 BS 九年级 全 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 新 知 小 结 分层设计 数学 BS 九年级 全 例1 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2）m取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由题可知 解得 （2）由题可知 解得 m=3. 注意：第（2）问易忽略二次项系数这一限制条件，从而得出或-3的错误答案，需要引起同学们的重视. 典 例 精 析 分层设计 数学 BS 九年级 全 1.下列函数中,哪些是二次函数? 是 不是 是 不是 针 对 练 习 分层设计 数学 BS 九年级 全 2.把下列函数化成一元二次函数的一般式. (1)y=(x-2)(x-3); (2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2; (3)y=-2(x+3)2. 解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6; (2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6; (3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18. 针 对 练 习 分层设计 数学 BS 九年级 全 问题3 问题1、问题2中的两个函数的自变量的取值范围是什么？ y= (100+x)(600-5x) =-5x²+100x+60000 y=100(x+1)² =100x²+200x+100 ①∵， ∴，且x为整数. ②. 合 作 探 究 分层设计 数学 BS 九年级 全 例2 已知二次函数. （1）求时的函数值. （2）x取何值时，y的值为1？ 分析：（1）将自变量x的值直接代入二次函数表达式中，计算出y的值； （2）将函数值代入二次函数表达式中，解关于自变量x的一元二次方程即可. 典 例 精 析 分层设计 数学 BS 九年级 全 解：（1）当时， （2）当时，， 解得，. 典 例 精 析 分层设计 数学 BS 九年级 全 问题3 两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的关系式吗? 问题4 已知矩形的周长为40 cm, 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗? 解：. 解：设矩形的一边长为xcm，面积为ycm2 ，则另一边长为(20-x)cm， 根据题意，得. 合 作 探 究 分层设计 数学 BS 九年级 全 【意义】同一个函数可以表达不同的实际意义 【自变量】1.在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是全体； 2.在实际问题中，自变量的取值要使实际问题有意义. ☀归纳总结： 新 知 小 结 分层设计 数学 BS 九年级 全 1.下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A.y=ax2+bx+c B．y＝2x C．y＝x+1 D．y＝－3x2 2. 已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是(　　) A．a＝1，b＝－3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5 C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝－3，c＝1 D D 随 堂 检 测 分层设计 数学 BS 九年级 全 3.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数 4. 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x两年后这台 机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为(　　) A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x) C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2 C A 随 堂 检 测 分层设计 数学 BS 九年级 全 5. 已知函数 y = 3x2m-1－5. ① 当m =＿＿时，y 是关于 x 的一次函数； ② 当 m =＿＿时，y 是关于 x 的二次函数. 1 随 堂 检 测 分层设计 数学 BS 九年级 全 6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2. 求：（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积. 解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)； (2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ). 随 堂 检 测 分层设计 数学 BS 九年级 全 定义 二次函数 一般地，若两个变量之间的对应关系可以表示成(是常数,)的形式，则称y是的二次函数. y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数） 一般形式 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）. 课 堂 总 结 分层设计 数学 BS 九年级 全 $