精品解析：辽宁沈阳市第一二0中学2025-2026学年高二下学期第三次质量监测数学试题

沈阳市第120中学2025-2026学年度下学期 高二年级第三次质量监测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 函数且的图像可能是（ ） A. B. C. D. 4. 设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（ ） A. 2024年 B. 2025年 C. 2026年 D. 2027年 6. 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 若，是方程的两个根，则（ ） A. 23 B. 27 C. D. 8. 数列满足，且．若，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 的最小值为 D. 若，则 的最大值为2 10. 已知函数的零点为，的零点为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数与函数的图象在处有相同的切线，则_____. 13. 已知函数存在，使得，则的取值范围是______. 14. 俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数且是定义在上的奇函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若，且，求函数在上的值域. 16. 已知是数列的前项和，，且. （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，证明：. 17. 已知函数，奇函数的定义域为，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 18. 已知函数（）. （1）讨论函数的单调性； （2）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，． （1），，有成立，证明：； （2），令，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第120中学2025-2026学年度下学期 高二年级第三次质量监测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】全集，集合是所有大于的自然数，即. 补集是全集中不属于的元素构成的集合，因此. 2. 已知函数，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用换元法求解即可，注意定义域的限制. 【详解】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 3. 函数且的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 4. 设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】要判断是递增数列与是递增数列的条件关系，需分别验证充分性和必要性． 【详解】解：数列，，，0，1，2，3，…是递增数列， 但不是递增数列，故不充分； 数列1，1，1，1，…的前项和为是递增数列， 但该数列不是递增数列，故不必要． 故选：D． 5. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（ ） A. 2024年 B. 2025年 C. 2026年 D. 2027年 【答案】D 【解析】 【分析】每年投入的科研经费构成数列，依题意，数列为等比数列，公比为，得即可求解． 【详解】该高校2023年全年投入科研经费1300万元，设为， 每年投入的科研经费构成数列， 依题意，数列为等比数列，公比为， 则，， 由， 得， 得， 得，即第5年符合要求 故该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是． 6. 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值. 【详解】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得， 由是定义在上的偶函数，得， 则，则， 所以， 而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为8. 7. 若，是方程的两个根，则（ ） A. 23 B. 27 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为是方程的两根，再根据韦达定理以及换底公式化简求出. 【详解】可化为， 因为，是方程的两个根， 所以是方程的两根， 则， 则. 故选：C 8. 数列满足，且．若，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】因式分解，分析数列的递推规律，然后逆向分析即可得解. 【详解】由得， 整理得， 得或，即或， 所以数列从第二项开始，每一项由前一项加2或乘2得到， 因为，所以数列中的所有项都是偶数， 因为，则或，要使最小，则， 又数列中的所有项都是偶数，所以， 则或，要使最小，则， 所以或，要使最小，则， 所以或，要使最小，则， 因为为偶数，所以，则，即，. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 的最小值为 D. 若，则 的最大值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A，利用作差法判断B，根据基本不等式求最值后判断CD. 【详解】对于A，因为，由不等式的性质可得，故A错误； 对于B，， 因为，故，故， 故，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 对于D，， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为2，故D成立. 10. 已知函数的零点为，的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可. 【详解】∵函数的零点为，的零点为， ∴函数与函数图象的交点的横坐标为， 函数与函数图象的交点的横坐标为， 作函数、函数、函数的图象如图6，点A的横坐标为，点B的横坐标为， ∵函数与函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称， ∴点A、B关于直线对称，又∵点A、B在直线上，∴点A、B关于原点对称， 对于A：∴，故选项A错误； 对于B：易知，故选项B正确； 对于C：∵，，，∴，即选项C正确； 对于D：由零点存在定理易知，，∴，即，，故选项D正确， 故选:BCD． 11. 已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值，判断A，令，判断函数的奇偶性；设，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，从而判断C，根据，利用作差法，结合函数的性质，判断D. 【详解】A.令，，再令，得，得，故A正确； B.令，得，，得，所以函数是奇函数，故B错误； C.设，为偶函数，原式两边同时除以， 得，即， 当时，，则， 在中，令，，得， 其中，，则，所以当时，，即当时，， 当时，，，故C正确； D. 由得，且为奇函数，所以为偶函数， 由，可知，当时，，即， 所以在上单调递增，则在上单调递减，结合C可知此时均有, 设，， 因为，且，所以，， 所以，所以在上单调递增，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数与函数的图象在处有相同的切线，则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意结合导数的几何意义计算即可. 【详解】因为，，则，， 若函数与函数的图象在处有相同的切线， 且，则，即. 故答案为：1. 13. 已知函数存在，使得，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，依题意即函数与直线的交点横坐标，利用函数解析式，结合图象易得，，，利用二次函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】作出函数的图象，设，依题意，， 且，，解得，， 故，因函数在上单调递减，故， 即的取值范围是. 故答案为：. 14. 俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得. 【详解】令， 令， 因为，所以，， 由，则， 令，即，解得， 则， 故当且仅当时，有. 故函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于结合题意得到，从而可得出取最小值时，的值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数且是定义在上的奇函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若，且，求函数在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用奇函数的性质确定参数，由判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集； (2)由求出底数，通过换元法将转化为关于的二次函数，根据的取值范围确定的区间，再利用二次函数的单调性求解值域. 【小问1详解】 由为定义在上的奇函数，得，即， 故，. 由，结合，得，故. 在上单调递增，且. 由，得. 所以，解得. 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由，整理得， 解得（舍去），故. ，令， 则，故. 当时，单调递增，得. 函数，开口向上，对称轴为. 当时，；当时，， 故函数在上的值域为. 16. 已知是数列的前项和，，且. （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）由（1）得：， ， ， ， 【解析】 【小问1详解】 当时，，， ，又，； ，即，； 则当为奇数时，；当为偶数时，； . 【小问2详解】 略 17. 已知函数，奇函数的定义域为，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合分段函数，可得答案； （2）根据复合函数的单调性，结合对数函数以及二次函数的性质，建立不等式，可得答案； （3）根据不等式，明确所求函数的最值，利用对数函数的性质，化简不等式，利用换元法，结合基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 因为为奇函数，所以当时，； 当时，， 所以 【小问2详解】 令， 因为外层函数为减函数，且在上单调递减， 所以内层函数在上单调递增，且， 所以即，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 当时，， 对任意，存在，使得， 等价于对任意， 即当时，， 所以，整理得. 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即实数的取值范围是. 18. 已知函数（）. （1）讨论函数的单调性； （2）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，再令，进而可得，从而可得导函数的两个零点，再根据两个零点大小分类讨论可得. （2）由不等式进行参数分离得，再构造函数，将函数变形为，再用导数证明恒成立，进而可得，从而可得函数的最小值并结合条件可得结果. 【小问1详解】 由函数，且， 所以函数的定义域为，且， 令，则. 令，解得或，且函数与都在上单调递增. ①当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. ②当，即时，恒成立，在上单调递增. ③当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由，得， 即对任意恒成立， 设，， 令，，设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，当且仅当时等号成立， 由于在上单调递增，且时， ，时，， 所以存在唯一，使得，即. 所以，当且仅当时等号成立， 因此，又因为，则实数的取值范围为. 19. 已知函数，． （1），，有成立，证明：； （2），令，证明：． 【答案】（1），，，． 令，． 在上单调递增．∵，， 根据零点存在定理，在上存在唯一，使得， 即，，两边取对数有， 在上小于0，在上大于0， 在上单调递减，上单调递增， ∴ ，即． （2）原命题等价于， 令，将s看作定值，t看作变量． ． ， 即， 第一部分：， 因为，所以，且，函数单调递增， 故，因此：， 即； 第二部分：， 利用经典不等式，得，因此：， 又因为，交叉相乘易证，即， 故：， 两部分均为正，故，即在上单调递增，， 恒成立，故原命题成立，证毕． 【解析】 【分析】（1）通过引入中间变量，将转化为关于的函数，再利用导数研究其单调性与最小值，结合隐零点技巧完成证明． （2）采用固定变量、构造辅助函数的方法，通过分析其导数的符号判断单调性，再结合端点值完成不等式证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $