辽宁沈阳市第二中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题

沈阳二中2025一—2026学年度下学期6月月考 高二(2027届)数学试题 说明：1.测试时间：120分钟总分：150分 2.客观题涂在答题纸上，主观短答在答题纸的相应位置上 第I卷（73分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.不等式x(x-2)<0成立的一个充分不必要条件是（) A.x∈(0,2) B.x∈[-l,+oo) C.x∈(0,1) D.x∈(1,3) 2.有下列命题： ①数列2,345 号号名的通项公式是a,= n+: ②数列的图象是一群孤立的点： ③数列1，-1,1，-1,1，…与数列-1，山，-1,1，…是同一数列： ④激列…，品…是递始数列 其中正确命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.0 3.已知函数y=f(x+)的定义域是[-1,1小，则函数g)=2r- 2的定义域是() √x-1 A[ C.[1,3] D.(1,3] 4.若函数()=4 2x +ar-1为偶函数，则f(-2a)=()》 A.5 B.号 c号 D.5 5.等比数列{an}的前n项和为S。,则下列说法不正确的是() A.若a2a,+a,a。=6,则a,a,a…a=81B.若{an}是递减数列，则公比9满足0<q<1 C.若S,=7,⊙。=63，则公比9=2D.若S.=2”+1(1为常数)，则=-1 试卷第1页，共4页 6.若32a的+元=3eb+元(a>0,b>0）,则二+名的最小值是（) a b A.11 B.9 C.7 D.5 7.已知正数a,6,且b>分满足a+2b=2ab-3,则（) A.a的取值范围是[1，+∞) B.a+1的最小值为2 C.b的最大值为2 9 D.2a+b的最小值为号 8。现有函数)=2万：设数列，}满足a,=/0+得/)+/0，若存在neN使不等 2 式n2+4n-2kan+13≤0成立，则k的取值范围是() A.2i而+o)B.[2i而+2*w)c.[3+o D.[贤 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9.对于集合A,B,我们把集合{x|x∈A且xB}叫做集合A与集合B的差集，记作A-B.已知集合 A={1,2,3,4,5,6},B={3,4,5,6,7}.则下列说法正确的是（) A.A-B={1,2} B.B-A={7} C.A-（A-B)=B D.（AUB)-(A-B)=B 10.己知定义在R上的函数∫(x)满足∫(x+2)+(x)=0,且y=(2-x)为偶函数，则下列结论正确的是 () A.函数∫(x)为奇函数 B.函数(x+)为奇函数 C.函数f(x)是偶函数 D.函数∫(x+2)是偶函数 11.己知函数f(x)=a(x-b)(x-c),其中a>0,b>c,k>n>1且，keN,则下列说法正确的是() A.(x)一定存在极大值点 B.若(x)有且仅有3个极值点，则极大值一定大于0 C.若(x)存在极小值，则极小值一定小于0 D.若(x)有且仅有3个极值点x,且x<<x,则2x2>x+为 试卷第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，函数y=(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则∫(2026)+'(2026)=一 y=-x+8 2026 13.在数列{an}中，a1=1,a2=2,42 20丛，则{a,}的前100项和为 a 14.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“关”，现代建筑讲究线条感，曲线之关让人称奇.衡量曲线弯曲 程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若"(x)是f)的导函数，∫"(x)是∫(x)的导函数，则曲 ®m“运-血北利电的方不价能大克 ( 第Ⅱ卷(77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 己知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3. (I)若函数(x)在区间(-1,2)上不单调，求实数a的取值范围： (2)若函数∫(x)在[-1,3]上的最大值为1，求实数a的值. 16.(本题满分15分) 己知正项数列a,}的前n项和为S。,满足2S。=a+a(n∈N): (I)求an和Sn: a6a中g,案证：言安安…哈eN 3 试卷第3而.北4而 17.(本题满分15分) 己知函数f(x)=x-lnr-2. (1)求曲线y=f(x)在点(1，∫(1)处的切线方程： (2)判断函数(x)的零点个数，并说明理由： (3)若对任意的x∈(L,+o),都有xnr+x>k(x-l)成立，求整数k的最大值. 18.(本题满分17分) 8an+12,n为奇数 己知数列{an}满足：a=2,ao1= ，n为偶数 ，设6，=4n+4. 2 (I)求b,b,b的值： (2)判断数列{b}的单调性，并说明理由： (3)求数列{an}的前2n项和. 19.(本题满分17分) 已知函数-杀（是自然对数的底数）。 (I)求∫(x)的极值： (2)若3ae[0,,使得g(x)+ln(x+l)-a≤1-b(x+1)对x∈(-l,+o)恒成立，求实数b的取值范围： (3)若函数F(x)=ae-lh(r+),aeR,且满足F(m)=F(m)+>0(m,ne-l,+o》, 证明：m-川<1. 试卷第4页，共4页 沈阳二中2025一—2026学年度下学期6月月考 高二(2027届)数学试题答案 CABDB BDC 二 9.ABD 10.BCD 11.BD 三. 12.-201913.23514.1 试题详解： 1.C【详解】x(x-2)<0,解得0<x<2,即不等式的解集为x∈(0,2)， 选项A:因为x∈(0,2)与解集完全相等，所以x∈(0,2)是不等式成立的充要条件： 选项B:因为(0,2)【-1，+∞)，所以x∈-1，+∞)是不等式成立的必要不充分条件： 选项C:因为(0，)(0,2)，所以x∈(0,1)是不等式成立的充分不必要条件： 选项D:因为(1,3)与(0,2)为交叉关系，所以x∈(1,3)是既不充分也不必要条件. 2.A【详解】①，若a=片则a=方产号，故回错误： ②，因为数列{a,(u∈N),所以数列的图象是一群孤立的点，故②正确： ③，数列1，-山山，-山，1，…的首项是1，数列-1,1，-1，…的首项是-1， 故不是同一个数列，故③错误： ④。易得疗云遥渐变小故该数列是递减数列故©错误 3.B【详解】因为函数f(x+)的定义域为[-1，，所以函数∫(x)的定义域为[0,2]， 所以g)=2-的定义域需满足： V-1 [0≤2x-1≤2 lx-1>0 ,解得1<x≤ 4.D【详解】由4“-1≠0得x≠0， 所以函数的定义域(-∞，0)(0，+∞)关于原点对称， 又函数为偶函数，则对任意x≠0，∫(-x)=(x)恒成立， 即2x 4ar-1= +ax-1, 2.x 整理得2r=2ax,该式对所有x≠0恒成立，故a=1, 答案第1页.共11历 + =2-2-2-1=9 所以了(-2)=f（-2)=4- 5 5.B【详解】因为{a,}是等比数列，所以a,a,=aa6=aas=aa 又a2a,+a,a6=6,因此2a,a,=6,即a2a,=3 那么aa2…4=(aa)(a,a,)(a3a6)(aas)=3=81,A正确. 举反例：若an=-2”,公比9=2>1，数列为-2,4，-8…，是递减数列， 但不满足题意，B错误。 若g=1,则S。=2S,=14≠63，因此g9≠1. 根据等比数列前n项和性质，&。-S,S比值为g即g=88_63-7。 S 7=8, 解得g=2,C正确. 当n22时，0，=S,-Sn1=2”+1-(2+1)=2,首项a,=S=2+1, 由{a}是等比数列，满足a=a,a,代入得22=(2+1)4，解得1=-1，D正确。 6.B【详解】对原等式移项整理得32a+)-元2ar训)=3h(o-元h(ob(1), 令0-9-（由于y=3在R上单调通增，y-( 在R上单调递减， 故y=用 在R上也是单调递增，因此∫()是R上的单调增函数， (1)式即f(n(2a+3b)=f(n(a+b+1),由单调性得In(2a+3b)=ln(a+b+1), 即2a+3b=a+b+1,整理得a+2b=1(a>0,b>0), 所+号-（日+号引a+2训-1+白+号+4=5+的+台25+29 b 当且仅当治-2时取等号，又a+2b=1,即a=b-时等号成立 b 即二+名的最小值为9. a b 7,.D【详解】自a+2620b-3,所以20-=26+3，即a-0号-2-1+名 Γ2b-12b-1 又b>行，所以2b-1>0,所以a>1,即a的取值范围为自，+o),故A错误： 由y=a+上在(L,+o)单调递增，所以a+上>2，所以a+上无最小值，故B错误： 由--6”62a 2b-1 然安结)而计11而 -+2*品-0+品+w-号 59 当26-)乃时，即6-时，等号成立，所以b的最小值为号，故C错讽： 22 2,即6-时，等号成立 所以2☑+6的最小值为号.故D正确 2- 2 2 C【详解)：①2亚0-刘+2E22+2 “+-2万*石21，即的图象关于肉（污成中心对称 11 a,=fo+/}+0.+--1 a=0+片}0片2+f: 2a-o+]r[份(】产[子+号】++[v0+o]-*1: 0,041 2 m+4n-2加，+13≤0，m2+4n-2k空+3s0,整理得+4n+13≤(a+: :neN,k≥+4n+3=n+3+10=a+l+10+2: n+1 n+1 n+1 根据题意，该不等式有解，等价于k不小于函数g口)=+)+0+2在nN上的最小值 n+l 令1=n+1≥2,1∈N'),则对勾函数y=1+°+2在0可)上单调递减，在（而，+切）上单调递增： 1≥2,1eN,且3<√0<4： 当=3时，=3+号2-号：当=4时，=4+兴+2=号 :k之至，即k的取值范围是 25 9.ABD【详解】依题意可得A-B={x|x∈A且xEB, 当A={1,2,3,4,5,6),B={3,4,5,6,7}时，可得A-B={1,2),即A正确： 同时B-A={7},所以B正确： 结合A选项可得A-(A-B)={3,4,5,6)≠B,即C错误： 答案第3页，共11页 易知4UB={1,2,3,4,5,6,7},又A-B={L,2}, 所以(AUB)-(A-B)={3,4,5,6,7}=B,即D正确. 故选：ABD 10.BCD【详解】由y=f(2-x)为偶函数，得∫(2-(-x)=∫(2-x),即f(2+x)=f(2-x), 所以∫(x)的图象关于直线x=2对称. 由f(x+2)=-f(x)及∫(2+x)=f(2-x),得∫(2-x)=-f(x). 令1=2-x,则x=2-1,所以f(t)=-f(2-）, 又f(2+x)=-f(x),所以f(2+(-》=-∫(-)，即f(2-)=-f(-). 所以∫)=-(2-)=-(-∫(-)=∫(-)，因此f(x)是偶函数，故A错误，C正确. 由f(x+2)=-f(x),得∫(x+1)=-f(x-I), 又(x)是偶函数，所以∫(x-l)=∫(-(x-)=f(1-x), 所以∫(x+)=-∫(-x),故f(x+)为奇函数，故B正确. 由f(x+2)=-f(x),得(-x+2)=-f(-x),又f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x), 所以∫(x+2)=f(-x+2),即f(x+2)是偶函数，故D正确. 11.BD【详解】己知函数f(x)=a(x-b)(x-c),其中a>0,b>c,k>n>l,n,k∈N`. 求导得f'(x)=a(x-b)-(x-c)-[n(x-c)+k(x-b]. 即=ak+x-'x-e-+) kb+nc 令∫()=0，得零点x=c,x=kb+n ,x=b, k+n kb+nec=kb+nc-c(k+n)k(b-c) k+n k+n k+n 由b>Ck>0,k+n>0,得差值大于0，故c<b+mc k+n b-kb+nc=b(k+n)-kb-nc_n(b-c) k+n k+n k+n 由b>C,n>0,k+n>0,得差值大于0，故b+m<b. k+n 所以c<b+mc<b,令5=G,=b+nc,x=b k+n k+n ①n偶，k偶(n-1奇，k-1奇) x<c时，K-c<0,(K-b1<0,x-b+m<0,f<0,∫单调递减 k+n 答案第4页.共11页 c<x<时，x-c>0,(K-b<0,x-b+m<0,)>0,∫)单调递增 k+n 5<x<b时，K-c>0,K-b1<0,x-b+m严>0，∫<0，∫)单调递减， k+n x>b时，(x-c)->0,(x-b)n-1>0,x- b+nc>0,∫()>0，f(x)单调递增。 k+n 所以可得极小值点：c,b,极大值点，共3个极值点. cb ②n偶，k奇(n-1奇，k-1偶) x<c时，(K-c>0,(K-b<0,x-b+m严<0，∫)>0，单调递增 k+n c<x<5时，K-1>0,-b<0,x-b+mc<0,∫>0，f)单调递增。 k+n 飞<r<b时，x->0,x-b<0,x-h+mE>0,)<0,f)单调递减 k+n x>b时，(x-c)->0,(x-b)n-1>0,x- b+m>0,∫()>0，f()单调递增. k+n 所以可得极小值点：b,极大值点x 2b ③n奇，k偶（n-1偶，k-1奇) x<c时，K-c<0,x-b)m-1>0.x-b+c<0,f>0,f)单调递增. k+n c<x<6时，K-c>0,x-b)m-1>0,x-b+mc<0,f<0,)单调递减. k+n <x<b时，(K-c)>0,x-b)-1>0,x-K+n>0,'()>0,fw)单调递增 x>b时，x->0,x-bm-1>0,x-b+m>0,∫>0，f单调递增， k+n 所以可得极大值点：C,极小值点x X ④n奇，k奇(n-1偶，k-1偶) x<c时，x-c>0,-b)m-1>0,x-b+m严<0，∫<0，f单调递减 k+n 答案第5万.共11而 c<x<时，K-c>0,x-b)m-1>0,x-b+mc<0,f)<0,f)单调递减. k+n x<x<b时，x-c>0,x-b)-1>0,x-b+m>0,∫>0，f)单调递增. k+n x>b时，K-c>0,x-bn-1>0,x-幼+nC>0,∫)>0，f)单调递增. k+n 所以可得极小值点：x· 选项A,所以函数可能不存在极大值点，A错误。 kb+nc 选项B,若∫(x)有且仅有3个极值点根据以上分析可知极大值为 k+n >∫(c)=0,B正确， 选项C,根据以上分析可知当n为偶数，k为奇数时，极小值∫(b)=0,C错误 选项D:若∫(x)有且仅有3个极值点xx2、x根据以上分析可知3个极值点 12.-2019【详解】点P处的切线方程是y=-x+8,则∫(2026)=-2026+8=-2018， 切线y=-x+8斜率为k=-1,则了(2026)=-1， ∴f(2026)+f(2026)=-2018-1=-2019. Aan 13.235【详解】因为a2=- 2a4所以。202三4,4，所以a6=4=a,所以a是周期 a ansl antl an 为6的数列 因为4，-29=4,4，-29=4,4，=29=2,0， 25-1, a a, a a 所以{4n}的前100项和为16×(1+2+4+4+2+1)+1+2+4+4=235. 14.1【详解】由题意得，g()=c0sx,g产()=-6inK,则K2=sx sin2x (1+cos2x°(2-sin2x, 令1=2-xa,则K2号，令p0-号。 则p0=-f-3r2-_2-3, 6 当1∈[，2]时，p'()<0,p(单调递减，故p)=p()=1, 所以K的最大值为1. 1s.0q叶3a<} 2加=写或a=-l. 答案第6页，共11页 【详解】(1)因为f(x)=x2+(2a-1)x-3图象的对称轴为x=-2a- 2 又因为(x)在(-12)上不单调，所以-1<-20，<2，解得-多<a< 2 3 即实数a的值德理为付什a引 .4分 (2)由于区间[-1,3)的中点为x=1, ①当-2s1,即a2-时，=f)=6加+3， 所以6如+3=1，即a=了满足题意： .8分 @当-2a,>1,即a<-号时，f(x)=f-)=-2a-1, 2 所以-2a-1=1,即a=-1,满足题意. .12分 综上可知，a=或a=-l .13分 16.(0)a,=n,3.=nm+ 2 (2)证明见解析： 【详解】(1)2Sn=a+a,(n∈N),①， ∴2Sa1=ail+ai(n∈N),②， 由②-①得2al=a后1-a+a1-a(n∈N), a+a=ai-a2=(a+a)(a-a). 又an>0∴a1-an=1. .4分 又2a,=a+a,解得a,=1或0（舍）， 故a,=1+0n-)x1=m2S。=a+an=n2+n→S.=+ .7分 2 (2)由(1）可知6.=”+2s,=nn+n+2,则 3 6 6 1 .12分 bnn(n+10(n+2)Ln(n+1)(n+1(n+2) 于是有：++…+只-31 +…+ bb b,L1×2T2×32×33×4n0n+)0n+10n+2」 11 13 =3\2m+ln+2)23 <3×二= .15分 17.(1)y=-1 (2)两个零点 答案第7页.共11页 (3)3 【详解】(1)因为了(x)=x-nx-2,x>0,所以f(x)=1-1 所以曲线y=∫(x)在点(L,∫()处的切线的斜率为（①）=0， 又因为f(1)=-1, 所以曲线y=(x)在点(L,()处的切线方程为y=-1. .3分 (2)因为/(x)=x-lx-2,x>0,所以y)=1-_-l r x 当0<x<1时，(x)<0,当x>1时，'(x)>0, 所以(x)在(0,1)上单调递减，在（山，+∞）上单调递增， 所以(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，∫(1)=-1. .5分 因为当x→0时，f(x)→+0，f(4)=2-ln4>0, 所以由函数零点存在定理，得∫(x)在(0,1)内和(1,4)内各存在一个零点， 所以函数f(x)有两个零点。 .7分 (3)因为对任意的x∈(L,+∞)，都有xnx+>k(x-1),所以k<nx+x x-1 设g(x)=Inr+,x∈（山，+o), x-1 则g(y=血x+2x-少-(hx+_x-nx-2 (x-)3 (x-1)2 由(2)知，f(x)=x-lnx-2在(1，+o)上单调递增. 因为f(3)=1-ln3<0,f(4)=2-ln4>0, 所以f(x)在(3,4)内存在唯一的罗点x。,即f(x)=x-l血-2=0. .10分 所以当x∈（仙，x)时，f(x)<0,所以g'(x)<0,g(x)在(，x)上单调递减： 当x∈(x,o时，∫(x)>0,所以g(x)>0,8(x)在(，+∞)上单调递增. 所以g(x)在x=x处取得极小值，也是最小值， g(6)=m+名 -1 因为n6=-2,所以g6)=5色-2到+五=6(B4. .13分 %-1 所以k<x。,所以整数k的最大值为3. .15分 18.(1)b=32,b=128,b,=512 (2)数列{也}为单调递增数列，理由见解析 必安第9而什11而 (3)12.4"-6-12 8an+12,n为奇数 【详解】(1)因为4，=2,4n1= 侣为偶数 所以a,=8a+12=16+12=28,4=号=2 22 =14, a=8a+12=8×14+12=12+12=124,4,=g=124 62, 22 a。=8a+12=8×62+12=496+12=508. 又bn=a2n+4, 所以=42+4=28+4=32，b=a4+4=124+4=128,b=a6+4=508+4=512.3分 (2)因为b1=a2+4=8a1+12+4=8×8+16=4(an+4)=46, 2 因为b1=32≠0，所以{b}是以32为首项，4为公比的等比数列. 又因为b=32>0,公比9=4>1， 所以数列{b}为单调递增数列. .8分 (3)由(2)可知，b=a2n+4=32×41=22a1,所以an=324--4, 所以a,+a+…+an=(324°-4)+(324-4）+…+(324-4)=32(40+4+…+4--4n 321-4）-4n-32:4-32-4n. ..12分 1-4 3 由a=8a4+12今44-2_32,44-2-f-2, 8 8 所以4+8++a14-2+4-2+…+4-2到=4++…+4-2n41-4）-2m=44-4-2n 1-4 3 .15分 所以a1+a2+a3+a4+…+a2m-1+a2m=（a1+a3+…+a2m-l)+(a2+a4+…+a2n) 4-222-24-6-2 ..17分 19.(1):f(x)的极小值为1，无极大值 abs-: (3)证明见解析. 【详解】(1)解略. .2分 (2)af(x)+In(x+1)-as1-b(x+1), 答案第9页.共11页 e 等价于w(a)=a -1+ln(x+l)-1+b(x+I)≤0， x+1 则3a∈[0，]使得(a)≤0成立，只需wmn(a)≤0， 闭=，当xe-10时，f<0,当e0+树时，f>0, ∫(x)在(-1,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增， 所以fmn(x)=f(O)=1,∴f()-1≥0，所以w(a)在a∈[0，]上有最小值， wan(a)=(0)=ln(x+l)-1+b(x+1), 即ln(x+I)-1+b(x+l)≤0对Hx∈(-1，+oo)恒成立， .5分 令x+1=t1∈(0，+∞)，即nt-1+brs0, 0=n1-l+b加，1e0,o),v0=+b=+,1e0,+∞）， ①当b≥0时，v'()>0,所以v()单调递增， 在tE(e,+∞)，v(t)>v(e)=be≥0，不符合题意， ②当b<0时，由V0>0,得0<t<-,则函数)在t∈(0，-》上单调递增， 由v0<0,得t>-后则函数()在tE（-,+∞)上单调递减， 故0的最大值为加（←）=n(-)-2≤0，解得6≤-日 .8分 (3)因为F'()=-aex-x本令F()=0,-a= 由(2)知f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0，+)上单调递增，)m=f0)=l,则[-∫(y)]=-1, @当a2-l时，所以-us1,又2， 故F')=-aer-x本=er(a-f圳se-es0, 函数F(x)在(-L,+o∞)上单调递减， 又F(m)=F(m)+。>F(n),则m<nln-m=n-m, 要证明m-小k1,只需证明n-m<1,只需证明a-F四）<-， n-m e 即Fm+8<F(m)+g 令函数h()=F()+后=ae-ln(c+1)+总求导得h'()=-是-本+号 又F(m)+>0,不妨设F(xo)=-总，则F(m)>-=F(x), 答案第10页，共11页 由F(x)在(-1，o)上单调递减，得-1<m<n<, 当-l<x<x时，F(x)=aex-ln(x+1)>F(xo)=- 即-<君-ln(x+1). 因此r')=-是-本+<经-本-h(+1, 令函数u(=总-本-ln(x+1).求导得r)=- Γ(Gx+)2x+(x+, 当-1<x<0时，(x)>0:当x>0时，u(x)<0, 函数(x)在(-1,0)上单调递增，在(0，+oo)上单调递减， 则u(x)≤u(0)=-1<0, 当-1<x<x时，h'(x)<(x)<0,函数(x)在(-l,x。)上单调递减， 由-l<m<n<o,得(m)>h),即F)+<F(m)+g,因此n-mkl: .13分 ②当a<-1时，可知F(x)有两个极值点x,x2,且x<0<, 函数F(x)在(-1，x),(,+∞)上单调递减，在(，)上单调递增， 由6为极值点，得F"6)=-ae-点=0，即ae两=- 5+1” 则F(2)=ae-lh(x2+1)=-t-ln(+1, 又u()=-z本-ln6x+1)≤u(0)=是-1<0， 则F(x2)=-本-lh2+1)<-1<-是 对任意x>x,F(x)≤F(x2)<-由F()+>0,得F(m)>-。则-1<n<0, 因此m,n∈(-l,0),即|n-mk1. 综上可知n-mk1. .17分 答案第11页.共11页