第21章二次函数与反比例函数单元检测卷 2026-2027学年沪科版九年级上册数学

**基本信息** 2026-2027学年九上数学沪科版第21章单元卷，聚焦二次函数与反比例函数，通过眼镜镜片、幼苗叶片等生活情境设计问题，分层覆盖基础概念与综合应用，适配单元复习，提升数学建模与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次函数系数、图像性质、函数增减性|结合一次函数与反比例函数图像判断二次函数图像（第4题），考查数形结合| |填空题|4/20|二次函数增减性、反比例函数面积问题|直线与双曲交点点坐标关系（第12题），体现几何直观| |解答题|8/90|函数解析式、实际销售最值、动点面积、平行四边形存在性|幼苗叶片抛物线模型（第22题）培养模型意识，平行四边形存在性（第23题）提升推理能力|

2026-2027学年九上数学沪科版第21章二次函数与反比例函数单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二次函数的一次项系数是（   ） A．3 B． C．2 D．5 2．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（   ） A． B． C． D． 4．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 5．当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 6．直线y＝kx+3（k＜0）与双曲线交于A、B两点，A、B的纵坐标分别为a，b，则a+b的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．6 7．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ）． A． B．方程的两根是， C．不等式的解集是 D．当时，随的增大而减小 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点，，若反比例函数的图象经过点C，则k的值是（   ）    A．12 B．48 C．50 D．60 9．一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示（对应一个单位长度），轴，，最低点C在x轴上，且．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为（   ）    A． B． C． D． 10．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x（s），△ADP的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　　） A． B． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．二次函数当y随x的增大而减小的时候，则x的取值范围是________． 12．如图，直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点，连接，，已知的面积为2，则的值为__________． 13．已知抛物线 与直线相交于点和点，则关于x的方程的解为_______． 14．如图为二次函数的图象，该图象与x轴的两个交点分别为，B．下列说法正确的是_________（写出所有正确结果的序号）． ①对称轴为直线；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 三.（本题共16分） 15． 正方形的边长为4，当边长增加时，面积增加，求与之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？ 16．若关于的函数是二次函数，其图象开口向下，求的值． 四.（本题共16分） 17．如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 18．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 45 55 65 日销售量y/件 55 45 35 (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）． (2)求当每件售价为多少元时，日销售额最大？最大日销售额为多少元？ 五.（本题共20分） 19．如图，已知A(﹣4，n)，B(3，﹣4)是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集． 20．已知抛物线的对称轴是直线． (1)求m的值； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)当x为何值时，y随x的增大而增大． 六.（本题共12分） 21．已知二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)抛物线的顶点坐标为___________； (2)对称轴为___________ (3)当___________时，有最大值，是___________； (4)当___________时，随x的增大而增大； (5)当___________时，． 七.（本题共12分） 22．在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 八.（本题共14分） 23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P为直线上方的抛物线上一点，过点P作y轴的垂线交线段于M，过点P作x轴的垂线交线段于N，求的周长的最大值． (3)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九上数学沪科版第21章二次函数与反比例函数单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A A C B D B B 1．B 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：∵ 二次函数中，，，， ∴ 一次项系数是. 故选：B． 2．C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 3．B 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象性质．由于二次函数图象经过点和，可设交点式，再代入点表达a的值，然后计算各选项中a的值并比较大小，即可作答． 【详解】解：∵图象经过和， ∴设二次函数为 ， ∵图象经过点， ∴， ∴， 当，则， 当，， 当，， 当，， ∵， 故a的值最大为， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查反比例函数和一次函数图像，二次函数的性质，观察图像可知：，，，得出二次函数的图像开口向上，对称轴，与y轴的交点在y轴的负半轴，即可得出答案． 【详解】解：一次函数的图象过第一、二、四象限， ∴， ∴对称轴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴． 满足上述条件的函数图象只有A选项， 故选：A. 5．A 【分析】根据一次函数性质、反比例函数性质、正比例函数性质、二次函数性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，当时，函数随的增大而增大； B、，，当时，函数随的增大而减小； C、，，当时，函数随的增大而减小； D、，，对称轴为直线，当时，函数随的增大而减小． 6．C 【分析】由题意得方程kx2+3x﹣2＝0的两个根为x1，x2，根据根与系数的关系以及x1+x2的值，进而可求得，a+b的值． 【详解】解：设点A和点B的横坐标为x1，x2， 由题意得kx+3 整理得方程kx2+3x﹣2＝0的两个根为x1，x2． ∵x1+x2， ∴a+b＝（kx1+3）+（kx2+3） ＝k（x1+x2） +6 ＝k•（）+6＝3， 即a+b＝3． 故选：C 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，把函数问题转化成一元二次方程的问题是解题的关键． 7．B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向和与轴的交点得到，故选项错误；根据对称轴和一个与轴的交点可得另一个与轴的交点，即可得到选项正确；根据图象可得不等式的解集是或，当时，随的增大而增大，故、选项错误． 【详解】解：根据二次函数的图象和性质，逐一分析各选项， 选项：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，故选项错误； 选项：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，即另一个交点坐标是， ∴方程的两根是，，故选项正确； 选项：∵由图象可知当或时，抛物线在轴的下方， ∴不等式的解集是或，故选项错误； 选项：由图象可知，当时，随的增大而增大，故选项错误． 8．D 【分析】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．由菱形的性质和锐角三角函数可求点C坐标，将点C坐标代入解析式可求k的值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，    ∵菱形的边在x轴上，点， ∴， ∵． ∴， ∴ ∴点C坐标 ∵若反比例函数经过点C， ∴， 故选：D． 9．B 【分析】利用关于轴对称，，可得到点坐标为，由，最低点在轴上，则关于直线对称，可得到左边抛物线的顶点的坐标为，于是得到右边抛物线的顶点的坐标为，然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式． 本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 【详解】∵且，，且关于y轴对称， ∴点坐标为， ∵轴，，最低点在轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点的坐标为， ∴右边抛物线的顶点的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为， 故选：B． 10．B 【详解】过点P作PD⊥AB于点D，△ABC是边长为4cm的等边三角形， 则AP=2x， 当点P从A→C的过程中，AD=x，PD=x，如图1所示， 则y=AD•PD==，（0≤x≤2）， 当点P从C→B的过程中，BD=（8﹣2x）×=4﹣x，PD=（4﹣x），PC=2x﹣4，如图2所示， 则△ABC边上的高是：AC•sin60°=4×=2， ∴y=S△ABC﹣S△ACP﹣S△BDP =（2＜x≤4）， 故选B． 点睛：此题空考查了动点问题函数图象.几何图形中的动点问题,是代数的方程知识与几何知识的综合运用.解题的关键是要求有运动的观点,搞清点的运动特性,对动态问题作静态分析,解答时要注意以下几点:(1)将与求解有关的线段用含未知数的代数式表示出来;(2)明确几何题与代数题不是截然分开的,解题时要有数形结合的思想;(3)考虑到方程的解应符合实际意义,所以在求出方程的解后,要结合条件进行合理的取舍.对于动点类的题目,解题的关键在于抓住运动图形的特殊位置,临界位置及其特殊性质,解决此类问题的基本方法是从运动与变化的角度来观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,此类题目常需借助函数或方程解答. 11． 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的增减性与对称轴及开口方向的关系．二次函数开口向下，在对称轴右侧函数递减，根据条件“y随x的增大而减小”即函数递减，故x需大于对称轴横坐标． 【详解】解：二次函数化为标准形式， 其中二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，函数递减，即y随x的增大而减小， 故x的取值范围是， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，设直线l与y轴交于点C，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，再由的面积为2，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设直线l与y轴交于点C， ∵直线平行于轴， ∴直线l垂直于y轴，即， ∵直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点， ∴； ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了抛物线与直线交点问题，方程的解即为交点的横坐标． 【详解】∵抛物线 与直线相交于点和点， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 14．①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数之间的关系． 根据二次函数对称轴公式以及二次函数增减性可以判断说法①、②；根据二次函数与x轴交点个数，结合二次函数与一元二次方程的关系可以判断说法③；根据点A，点B关于对称轴对称，结合点A坐标，求出点B坐标，最后将点B坐标代入二次函数解析式中，即可判断说法④． 【详解】解：对于说法①：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∴①正确，符合题意； 对于说法②：∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴②错误，不符合题意； 对于说法③：∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴， ∵二次函数， ∴， ∴即， ∴③正确，符合题意； 对于说法④：∵该二次函数图象与x轴的两个交点分别为，B， ∴点与点B关于对称轴对称， ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴点， 将点代入二次函数中，得：， 即， ∴④正确，符合题意． 综上，说法正确的是：①③④． 15．，是的二次函数 【分析】本题考查的是二次函数的定义、正方形的性质，掌握二次函数的定义、正方形的面积公式是解题的关键． 根据正方形的性质求出与的函数关系，根据二次函数的定义判断． 【详解】解：是的二次函数． 由题意得，， 整理得，， 故是的二次函数． 16． 【分析】本题考查了二次函数的定义以及图象性质、因式分解法解一元二次方程，根据二次函数的定义，得，以及开口向下得，进行计算即可作答． 【详解】解：函数是二次函数，其图象开口向下， ，， ， 解得，， ∵， ． 17．(1) (2) 【分析】题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，求得点的坐标是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，而，则，可得到E点坐标为，从而确定； （2）首先求得F的坐标，然后根据，利用梯形的面积公式即可求得． 【详解】（1）解：∵正方的边在x轴的正半轴上，点， ∴，， ∵ ∴， ∴E点坐标为， ∵的图象经过点， ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）解：连接，作于P， ∵， 把代入，求得， ∴ ∵， ∴． 18．(1) (2)每件售价为50元时，日销售额最大，最大日销售额为2500元 【分析】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出函数关系式． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）设该商品日销售额为w元，利用销售额每件售价销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：设该商品日销售额为w元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为2500， 即每件售价为50元时，日销售额最大，最大日销售额为2500元． 19．（1）反比例函数的解析式为；一次函数解析式为；（2）或 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式，进而求得反比例函数解析式，再将点的坐标代入求得的值，进而根据的坐标待定系数法求解析式即可； （2）根据函数图像的交点，直接写出一次函数在反比例函数图象下方的自变量的范围即可 【详解】解：（1）根据题意，将代入，解得 则反比例函数的解析式为 将点代入， 即， 解得 则点 将点,代入 即 解得 一次函数解析式为 （2）,是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点， 观察函数图象可知，当或时，kx+b﹣＜0 kx+b﹣＜0的解集为或 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，根据函数图象的交点求不等式的解集，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解题的关键． 20．(1) (2)和 (3) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 先把抛物线的解析式化为一般式，再根据对称轴，求出m的值； 根据的结论求出函数解析式，再令，解关于x的一元二次方程即可得出结论； 抛物线开口向上，对称轴为直线，根据函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解： ， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：； （2）把代入解析式得： ， 令，则， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； （3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大． 21．(1) (2)直线 (3)；2 (4) (5) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象获取信息是解题的关键． （1）由抛物线与x轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可得对称轴； （3）根据抛物线的顶点坐标即可求解； （4）根据二次函数的性质即可求解； （5）抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值即为所求． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴顶点横坐标为， 由图可知顶点纵坐标为2， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：由（1）知对称轴为直线， 故答案为：直线； （3）解：由（1）知，当时，y有最大值是2， 故答案为：；2； （4）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随着x得增大而增大， 故答案为：； （5）解：由图象可知，当时，． 故答案为：． 22．(1) (2)的最大值为 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，直接设顶点式；把已知点代入解析式求出系数a，即可得到抛物线表达式． （2）设两点横坐标相同，分别写出P、Q坐标；用上方点纵坐标减下方点纵坐标列出线段的二次函数关系式；对二次式配方，结合开口方向与自变量取值范围，求出最大值． 【详解】（1）解：由题意，得该抛物线的顶点坐标为．点的坐标为． 设这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点，分别在抛物线和抛物线上， ∴设点的坐标为（），点的坐标为， ． ，， ∴当时，的最大值为． 23．(1)； (2) (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）将点、代入即可； （2）求出的解析式，设，根据题意得，易得，求得其最大值，易证，可得，，进而得的周长为，则当最大时，的周长有最大值，代入最大值即可求解； （3）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分两类考虑，以为对角线，以为边利用平行四边形对边平行且相等求点M的坐标，和构造直角三角形求点M的横坐标． 【详解】（1）解：（1）抛物线过，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）当时，，即：， 则，，， 设的解析式为：，将，代入可得： ，解得：， ∴的解析式为：， 设， ∵点P为直线上方的抛物线上一点，过点P作y轴的垂线交线段于M，过点P作x轴的垂线交线段于N， ∴，则， 当时，点的纵坐标为：， 则， ∴当时，有最大值为：， 由题意可知，，轴，则， ∴， 则，则，， 的周长为， 则当最大时，的周长有最大值， 即：的周长的最大值为； （3）存在点，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形， ①以为对角线，过C作轴交抛物线与M，点N在x轴上，，； ②以为边，过M作垂直抛物线对称轴于G，当，且时，四边形为平行四边形，M点横坐标，纵坐标，； ③过N作轴，与过M作轴交于H，当，时，四边形为平行四边形，M点横坐标为，纵坐标，； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定与性质，及分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $