3.5.1位似多边形及其性质（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦位似多边形及其性质，涵盖定义、三大条件、五大性质及判定步骤。通过海报图片中对应点连线是否过中心的问题导入，衔接相似图形知识，构建从一般相似到特殊位似的学习支架。 其亮点在于强化概念辨析与性质应用，结合几何直观与推理意识，如通过位似比计算例题、随堂作图练习，帮助学生理解位似比与周长比、面积比的关系。资料结构清晰，易错点汇总助力学生构建知识体系，教师可直接用于教学提升效率。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 3.5.1位似多边形及其性质 第三章 图形的相似 3.5.1 位似多边形及其性质 同步讲义与习题 本节是相似图形的特殊进阶内容，位似是一种特殊的相似，不仅满足相似所有性质，还具备独特的位置关系。位似是中考必考考点，常考概念辨析、性质判断、坐标缩放、图形放大缩小，题型简单但概念易错，是期末、中考基础拿分重点。 一、核心知识点精讲 1. 位似多边形的定义（必考概念） 如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这两个多边形叫做位似多边形。 这个公共交点叫做位似中心，这两个图形的相似比又叫做位似比。 2. 图形成为位似图形的三大必备条件（缺一不可） - 条件一：两个图形必须相似（位似一定相似，相似不一定位似）； - 条件二：所有对应顶点的连线交于同一个位似中心； - 条件三：对应边互相平行或共线。 3. 位似的分类 - 外位似：位似中心在两个图形外侧，图形分居位似中心两侧； - 内位似：位似中心在两个图形之间或图形内部，图形位于位似中心同侧。 无论哪种位似，性质完全相同，仅位置不同。 4. 位似图形核心五大性质（考试直接用） 1. 相似性：位似图形一定是相似图形，满足相似图形一切性质（周长比=位似比、面积比=位似比平方）； 2. 共点性：所有对应顶点连线必经位似中心； 3. 平行性：对应边互相平行或在同一直线上； 4. 距离比：任意一组对应点到位似中心的距离之比 = 位似比； 5. 方向性：位似变换只改变图形位置和大小，不改变图形形状。 5. 相似与位似的终极区别（超级易错） - 位似一定相似，是特殊的相似； - 相似不一定位似，相似只满足形状大小关系，无位置约束； - 相似无公共中心点、无对应顶点共线要求；位似必须满足顶点共点、边平行。 6. 位似图形的判定步骤（标准答题） 1. 先证两个图形相似； 2. 再证对应顶点连线交于同一点； 3. 最后证对应边平行或共线，三者齐全即为位似图形。 二、经典例题精讲（满分步骤） 例1 概念辨析（高频选择题） 判断：相似图形一定是位似图形。（×） 解析：相似只保证形状大小，不保证位置关系，不满足顶点共点、边平行，所以不一定位似。 判断：位似图形一定是相似图形。（√） 例2 位似比计算 两个位似三角形，对应点到位似中心的距离分别为4和8，求位似比、周长比、面积比。 解： 位似比 = 对应点到中心距离之比 = $$4:8=1:2$$ 周长比 = 位似比 = $$1:2$$ 面积比 = 位似比的平方 = $$1:4$$ 例3 性质应用 已知两图形位似，位似比为3:1，大图形面积为90，求小图形面积。 解： 面积比 = $$9:1$$ 小图形面积 = $$90\div9=10$$ 三、高频易错点汇总 - 混淆相似和位似：位似⊂相似，位似是相似的特殊情况； - 误以为只要相似就是位似，忽略位置关系； - 对应点到中心距离之比才是位似比，不是任意线段比； - 位似图形面积比依旧是位似比的平方，和相似完全一致。 四、同步练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 相似图形一定是位似图形 B. 位似图形一定是相似图形 C. 位似图形不一定相似 D. 相似和位似无关系 2. 位似图形的位似比等于（ ） A. 面积比 B. 对应点到位似中心的距离之比 C. 周长比的平方 D. 边长平方比 3. 两图形位似比为2:3，则面积比为（ ） A. 2:3 B. 4:9 C. 3:2 D. 9:4 4. 判定位似图形不需要的条件是（ ） A. 图形相似 B. 对应顶点共点 C. 对应边平行 D. 图形全等 5. 位似变换不会改变图形的（ ） A. 位置 B. 大小 C. 形状 D. 比例 （二）填空题（每空3分，共30分） 1. 位似图形一定是________图形，相似图形________是位似图形。 2. 位似图形对应顶点连线交于同一点，该点叫做________。 3. 位似图形对应点到位似中心的距离之比等于________。 4. 位似图形周长比等于________，面积比等于________。 5. 位似图形对应边的位置关系是________或________。 （三）解答题（共50分） 1.（16分）简述位似图形与相似图形的联系与区别。 2.（16分）两个位似多边形对应点到位似中心的距离分别为6cm和9cm，求位似比、周长比、面积比。 3.（18分）已知两位似三角形位似比为1:3，小三角形周长为12，面积为5，求大三角形的周长和面积。 五、参考答案与详细解析 （一）选择题 1.B 解析：位似是特殊的相似，位似一定相似，相似不一定位似。 2.B 解析：位似比定义为对应点到位似中心的距离之比。 3.B 解析：面积比 = 位似比平方 = 4:9。 4.D 解析：位似只要求相似，不要求全等。 5.C 解析：位似只改位置、大小，不改形状。 （二）填空题 1. 相似；不一定 2. 位似中心 3. 位似比 4. 位似比；位似比的平方 5. 互相平行；在同一直线上 （三）解答题 1. 解： 联系：位似图形是特殊的相似图形，满足相似图形所有性质。 区别：相似只要求形状相同、大小成比例，无位置限制；位似除相似外，还要求对应顶点连线交于位似中心、对应边平行或共线，有严格位置关系。 2. 解： 位似比 = $$6:9=2:3$$ 周长比 = 位似比 = $$2:3$$ 面积比 = $$4:9$$ 答：位似比、周长比为2:3，面积比为4:9。 3. 解： 位似比 = $$1:3$$ 大三角形周长：$$12\times3=36$$ 面积比 = $$1:9$$ 大三角形面积：$$5\times9=45$$ 答：大三角形周长为36，面积为45。 六、课时小结 1. 核心关系：位似一定相似，相似不一定位似； 2. 位似三要素：相似、顶点共中心、对应边平行/共线； 3. 位似比 = 对应点到中心距离比 = 周长比，面积比为平方比； 4. 位似变换保形状、变位置大小，是相似的特殊位置版本。 1.结合实例了解位似多边形的有关概念。 2.能利用位似将一个图形进行放大或缩小，发展空间观念。 学习目标 2 下图是一幅宣传海报，它由一组形状相同的图片组成。在图片①和图片②上任取一组对应点A，A′，它们的连线经过镜头中心点O吗? O ① ② 直线AA′都经过镜头中心点O，且都等于一个固定值。 3 知识点1 位似多边形的有关概念 问题1 两个相似五边形的位置关系如图所示，直线AA′与BB′相交于点O， 那么直线CC′，DD′，EE′是否也都经过点O?，，，，， 什么关系?请你实际画一画、量一量。 直线CC′，DD′，EE′也都经过点O； = = = = 。 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′=k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点O叫作位似中心。 实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。 知识点1 位似多边形的有关概念 两个多边形是位似多边形应满足两个条件： ①是相似多边形；②每组对应点所在直线都经过同一个点。 注意： 两个位似图形的位似中心有且只有一个； 位似多边形是相似多边形，但相似多边形不一定是位似多边形。 知识点1 位似多边形的有关概念 下面三幅图中的两个五边形都是位似五边形。 知识点1 位似多边形的有关概念 位似中心与位似图形之间的常见位置关系： 位似中心可能位于两个图形的同侧，也可能位于两个图形之间，还可能位 于两个图形的内部或边上，还可以是顶点。 同侧 之间 内部 边上 顶点 知识点1 位似多边形的有关概念 位似多边形的性质： 具有相似图形的一切性质。 位似多边形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 位似多边形上任意一组对应点所在的直线都相交于同一点，该点即位似中心。 位似多边形的对应边互相平行或在同一直线上。 知识点1 位似多边形的有关概念 在4×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是( ) A.2 ׃ 1 B.1 ׃ 2 C.4 ׃ 1 D.1 ׃ 4 例1 B 知识点1 位似多边形的有关概念 如图，已知△ABC，以点Q为位似中心画一个△DEF， 使它与△ABC位似，且相似比为2。 如图，画射线OA，OB，OC； 在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F，使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC； 用线段依次连接点D，E，F，D， 则△DEF与△ABC位似，相似比为2。 知识点2 位似图形的画法 如图，已知△ABC，以点Q为位似中心画一个△DEF， 使它与△ABC位似，且相似比为2。 思考：满足条件的△DEF可以在点O的另一侧吗? 知识点2 位似图形的画法 如图，已知△ABC，以点Q为位似中心画一个△DEF， 使它与△ABC位似，且相似比为2。 满足条件的△DEF可以在点O的另一侧。 知识点2 位似图形的画法 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形放大或缩小叫作位似变换。 知识点2 位似图形的画法 画位似图形的一般步骤： (1)定心：确定位似中心，并找出原图形的关键点，通常是多边形 (2)连线：分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长; (3)定点：根据已知的相似比，确定所画新图形中关键点的位置; (4)构图：顺次连接各关键点，即可得到所求作的图形。 知识点2 位似图形的画法 利用下面的方法可以近似地将一个图形放大。 1. 如图，将两根长短相同的橡皮筋系在一起， 连接处形成一个结点。 2. 选取一个图形，在图形外适当位置取一个定点。 3. 将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一支铅笔固定在橡皮筋的另一端。 4. 拉动铅笔，使两根橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形。 这个新图形与已知图形形状相同。 知识点2 位似图形的画法 1.如图，指出下列各图中的两个图形是不是位似图形。如果是位似图形，请指出其位似中心；如果不是位似图形，请说明理由。 解：(1)两个图形是位似图形，位似中心是点P。 (2)两个图形不相似，故它们不是位似图形。 (3)两个图形是位似图形，位似中心是点O。 (4)两个图形对应顶点所在的直线不相交于同一点，故它们不是位似图形。 随堂练习 2.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（　　） A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置 D 随堂练习 3.已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似， 且相似比为 。 . . 解：如图所示，连接OA，OB，OC； 分别取OA，OB，OC的中点A′，B′，C′； 连接A′B′，B′C′，C′A′， 则△A′B′C′即要求作的三角形。 A B C A′ B′ C′ O 随堂练习 知识点1 位似图形的相关概念 1. 下列不是位似图形的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 20 （第2题） 2. 如图的两个位似图形的位似中心是 ( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 D 返回 考试考法 知识点2 位似图形的性质 3. 如图，以点为位似中心，把 放大为原图形的2倍得 到 .以下说法中错误的是( ) D （第3题） A. B. 点，， 在同一直线上 C. D. 返回 考试考法 22 （第4题） 4. 《墨子·天文志》记载：“执规 矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学 之美.如图，正方形 的周长为4，以它 的对角线的交点为位似中心，作它的位似图 形，若 ，则四边形 的周长为___. 8 返回 考试考法 23 5. 如图，与 是位似图形，位似中心为 点，且，若 的面积为3，则阴影部分的面 积是____. 24 （第5题） 返回 考试考法 24 位似多边形的概念 两个多边形是相似多边形 其中任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一点O OP′=k·OP(k≠0) 任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 任意一组对应点所在的直线相交于同一点 ； 对应边互相平行或在同一直线上； 位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的所有性质 性质 图形的 位似 课堂小结 $