3.1.1 比例线段及相似多边形（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦图形的相似，核心涵盖线段的比、比例线段、比例性质、黄金分割及相似多边形等知识点。通过生活中形状相同图形的观察导入，衔接后续三角形相似学习，以定义分层引入、例题练习递进为学习支架。 其亮点在于融合几何直观与推理意识，如通过等高线实例理解比例尺，用比例性质证明培养逻辑思维。采用精讲+例题+分层练习模式，小结提炼关键要点，助力学生发展抽象能力，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 3.1.1比例线段及相似多边形 第三章 图形的相似 3.1.1 比例线段及相似多边形 同步讲义与习题 本章是图形相似板块的开篇基础，本节课重点学习线段的比、比例线段、比例的基本性质、黄金分割及相似多边形的定义与性质。是后续学习三角形相似、相似图形判定与应用的核心铺垫，属于中考基础必考考点，侧重概念辨析与公式计算。 一、核心知识点精讲 1. 线段的比 在同一长度单位下，两条线段长度的比值叫做这两条线段的比。 若线段$$a$$、$$b$$的长度分别为$$m、n$$，则两条线段的比为：$$a:b=m:n$$（或$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{m}{n}$$）。 - 求比时必须统一长度单位； - 线段的比有顺序，$$a:b eq b:a$$。 2. 比例线段（四条线段成比例） 对于四条线段$$a、b、c、d$$，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即 $$\boldsymbol{\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}}$$，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 相关概念： - $$a、d$$：比例外项 - $$b、c$$：比例内项 - $$d$$：$$a、b、c$$的第四比例项 特殊情况（比例中项）： 若$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$$，则$$b^2=ac$$，称$$b$$为$$a、c$$的比例中项。 3. 比例的基本性质（必考公式） - 基本性质：$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \iff ad=bc$$（交叉相乘） - 合比性质：$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \implies \dfrac{a\pm b}{b}=\dfrac{c\pm d}{d}$$ - 等比性质：若$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dots=\dfrac{m}{n}(b+d+\dots+n eq0)$$，则$$\dfrac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\dfrac{a}{b}$$ 4. 黄金分割 点$$C$$把线段$$AB$$分成两条线段$$AC、BC$$（$$AC>BC$$），若$$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{AC}$$，则称线段$$AB$$被点$$C$$黄金分割，点$$C$$为黄金分割点。 黄金比值：$$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$$ 一条线段有两个黄金分割点。 5. 相似多边形定义 两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 核心判定双条件（缺一不可）： - 对应角相等 - 对应边成比例 6. 相似多边形性质 - 相似多边形的对应角相等，对应边成比例； - 相似多边形对应边的比叫做相似比； - 相似比有顺序，多边形A∽多边形B，相似比与B∽A互为倒数。 7. 高频易错点 - 四条线段成比例有顺序要求，随意调换顺序不成立； - 仅有对应角相等或仅有对应边成比例，多边形不相似； - 求线段比忘记统一单位，导致计算错误； - 混淆比例中项与第四比例项概念。 二、经典例题精讲 例1 比例基本性质计算：已知$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}$$，求$$\dfrac{a+b}{b}$$的值。 解：由合比性质得：$$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{3+4}{4}=\dfrac{7}{4}$$。 例2 比例中项求解：求线段4和9的比例中项。 解：设比例中项为$$x$$，则$$x^2=4\times9=36$$。 ∵线段长度为正，∴$$x=6$$。 例3 相似多边形判定：判断下列说法正确的是（） A. 所有矩形都相似 B. 所有正方形都相似 C. 所有菱形都相似 解：选B。正方形对应角均为90°，对应边成比例，全部相似；矩形边不一定成比例，菱形角不一定相等，均不相似。 三、同步练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 已知线段$$a=2\mathrm{cm}$$，$$b=4\mathrm{mm}$$，则$$a:b$$为（ ） A. 1:2 B. 2:1 C. 5:1 D. 1:5 2. 若$$\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{2}$$，则$$2x=$$（ ） A. $$3y$$ B. $$2y$$ C. $$6y$$ D. $$5y$$ 3. 下列图形一定相似的是（ ） A. 平行四边形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形 4. 线段2和8的比例中项是（ ） A. 4 B. ±4 C. 6 D. 16 5. 黄金分割的比值约为（ ） A. 0.518 B. 0.618 C. 0.816 D. 0.318 （二）填空题（每空3分，共30分） 1. 比例的基本性质：$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\iff$$________。 2. 四条线段成比例必须同时满足________、________。 3. 相似多边形的必备条件：________、________。 4. 若$$\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{6}$$，则$$\dfrac{a+b+c}{b}=$$________。 5. 一条线段有________个黄金分割点，黄金比为________。 （三）解答题（共50分） 1.（16分）已知$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}$$，求$$\dfrac{a-b}{a+b}$$的值。 2.（16分）已知四条线段$$a=3、b=6、c=2、d=4$$，判断这四条线段是否成比例。 3.（18分）已知多边形ABCDEF∽多边形A'B'C'D'E'F'，对应边比为2:3，若多边形ABCDEF的最短边长为4，求多边形A'B'C'D'E'F'的最短边长。 四、参考答案与详细解析 （一）选择题 1.C 解析：统一单位$$a=20\mathrm{mm}$$，$$a:b=20:4=5:1$$。 2.A 解析：交叉相乘得$$2x=3y$$。 3.B 解析：所有正方形对应角相等、对应边成比例，一定相似。 4.A 解析：设比例中项$$x^2=16$$，线段为正，取$$x=4$$。 5.B 解析：黄金比$$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$$。 （二）填空题 1. $$ad=bc$$ 2. 对应线段成比例；有顺序关系 3. 对应角相等；对应边成比例 4. 3 解析：等比性质，设比值为$$k$$，原式$$=\dfrac{15k}{5k}=3$$。 5. 2；$$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$$ （三）解答题 1. 解：设$$a=2k，b=3k(k eq0)$$ 原式$$=\dfrac{2k-3k}{2k+3k}=\dfrac{-k}{5k}=-\dfrac{1}{5}$$ 2. 解：从小到大排序：$$c=2、a=3、d=4、b=6$$ $$\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}$$，$$\dfrac{d}{b}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$$ $$\dfrac{c}{a}=\dfrac{d}{b}$$，∴四条线段成比例。 3. 解：设所求边长为$$x$$，相似比$$2:3$$ $$\dfrac{4}{x}=\dfrac{2}{3}$$，解得$$x=6$$ 答：最短边长为6。 五、课时小结 1. 比例线段核心：统一单位、有序对比、活用交叉相乘、合比、等比性质； 2. 黄金分割牢记比值与两个分割点，是填空常考点； 3. 相似多边形判定必须边角双满足，缺一不可，只有正方形、正多边形一定相似。 1.了解线段的比及成比例线段的概念及表示，渗透抽象能力及几何直观。 2.认识图形的相似，了解相似多边形、相似比的概念及表示方法，掌握相似多边形的性质及相关计算。 3.结合相似多边形了解比例的基本性质，能运用比例的相关性质分析问题。 学习目标 2 在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图形。 你能在图中找出形状相同的图形吗?这些形状相同的图形有什么不同? 大小不同 形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图 形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的。 知识点1 两条线段的比 思考：它们的线段长度会有怎样的关系？ 对应线段的长度可能存在固定的比例关系 对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系。 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 AB﹕CD=m﹕n，或写成。 其中，线段AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项。 知识点1 两条线段的比 注意：计算时必须统一长度单位。 思考：线段的比的本质是什么? 线段的比，本质是两个数的比。 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 AB﹕CD=m﹕n，或写成。 其中，线段AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项。 知识点1 两条线段的比 如果把表示成比值k，那么=k或AB=k·CD。 如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，AB=5cm，A′B′=3cm， AB﹕A′B′=5﹕3，就是线段AB与线段A′B′的比，这个比值刻画了这两个五 边形的大小关系。 A B E A′ B′ E′ C D C′ D′ 知识点1 两条线段的比 在地图或工程图纸上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺。比例尺也是两条线段比的一种。 知识点1 两条线段的比 图中的曲线是地形图中等高线(同一条曲线上的海拔相同)，如果量得两地点A，B的图上距离是3cm，那么A，B间的实际距离为 m。 解析：∵3cm=0.03m，比例尺为1׃50 000， ∴A，B间的实际水平距离为0.03÷ =1 500(m)。 ∵A，B间的垂直距离为900-100=800(m)， ∴由勾股定理知A，B间的实际距离为=1 700(m)。 例1 1 700 知识点1 两条线段的比 如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的顶点都在格点上。 (1)AB，BC，A′B′，B′C′的长度分别是多少? 解：(1)AB=2，BC=2，A′B′=1，B′C′=。 知识点2 成比例线段 E A E′ A′ B D B′ D′ C′ C 如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的顶点都在格点上。 (2)分别计算，，的值，你发现了什么? (2)=2=2，= ，= 发现=2 = =。 知识点2 成比例线段 E A E′ A′ B D B′ D′ C′ C 在四条线段a，b，c，d 中，如果a与b的比等于c与d的比， 即=，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段， 简称比例线段。 AB，A′B′，BC，B′C′是成比例线段， AB，BC，A′B′， B′C′也是成比例线段。 知识点2 成比例线段 判断四条线段是不是成比例线段的步骤： 一化：将四条线段的长度单位化统一； 二排：将四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列； 三算：计算前两条线段长度的比和后两条线段长度的比； 四判断：若比值相同，则四条线段是成比例线段； 否则，不是成比例线段。 知识点2 成比例线段 下列各组线段中，能构成成比例线段的是( ) A.3 cm，7 cm，6 cm，9 cm B.2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm C.3 cm，9 cm，18 cm，6 cm D.1 cm，2 cm，3 dm，4 dm 解析：一化；二排；三算；四判断。 例2 C 知识点2 成比例线段 如果a，b，c，d四个数成比例，即=，那么ad=bc吗？ 反过来，如果ad=bc，那么a，b，c，d四个数成比例吗? 由于且0，两边同乘(等式性质) 得，化简后ad=bc； 反过来，由于，且0，利用等式的性质， 等式两边同时除以cd，即可得=，即a，b，c，d四个数成比例。 知识点3 比例的基本性质 比例的基本性质： 如果=，那么ad=bc。 如果ad=bc(a，b，c，d都不等于0)，那么=。 知识点3 比例的基本性质 外项积=内项积 已知4x=3y(x，y都不等于0)，那么下列各式正确的是( ) A. = B. C. = D. = 例3 C 知识点3 比例的基本性质 观察下图，你认为五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的形状相同吗? (1)在这两个五边形中，是否有对应相等的内角?你是怎么知道的? (2)在这两个五边形中，夹相等内角的两边是否成比例? 解：图中的五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是形状相同的多边形。 (1)∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′，∠D 与∠D′，∠E与∠E′分别相等，称为对应角。 (2)AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′， DE与D′E′，EA与E′A′的比都相等， 称为对应边。 知识点4 相似多边形 E A E′ A′ B D B′ D′ C′ C 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形。 例如，在图中，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，记作五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，“∽”读作“相似于”。 在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的 字母写在对应的位置上。 知识点4 相似多边形 相似多边形对应边的比叫作相似比。 例如，六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′， 对应边的比 = = = = =。 则六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′的相似比k1=， 六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比k2= 注意：两个全等三角形相似比为1。 知识点4 相似多边形 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 相似多边形的判定(定义法)：若两个多边形的各角分别相等，各边成比例，则这两个多边形相似。 知识点4 相似多边形 知识点4 相似多边形 如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求x，y，α的值。 解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴=，∠C′=∠C=83°。 ∵AB=6，A′B′=4，D′C′=5，B′C′=6， ∴ ，解得x=7.5， y= 9。 在四边形A′B′C′D′中，α=360°-∠A′-∠B′-∠C′ =360°-134°-60°-83°=83°。 例4 1.你知道地图比例尺的含义吗?生活中还有哪些利用线段比的事例? . . 解：地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，如1׃10 000，意为图上距离是1 cm，实际距离为10 000 cm。 例如，工件图纸比例表示工件缩小或放大，如1׃2，意为工件缩小2倍画在图纸上。 2.a，b，c，d是成比例线段，其中a=3 cm，b=2 cm，c=6 cm，求线段d的长。 . . 解：因为a，b，c，d是成比例线段， 所以a ׃ b=c ׃ d，即3 ׃ 2=6 ׃ d。 所以d=4 cm。 3.图中每组两个矩形相似吗?说说你的理由。 . . 解：(1)相似。理由：两个矩形各角分别相等，各边成比例。 (2)不相似。理由：两个矩形的各边不成比例。 3 3 2 2 3 2.5 4 4.5 (1) (2) 4. 如图，点G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F，求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似。 . 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠DAC=∠BAC=45°。 ∵GE⊥AD，GF⊥AB，∠BAD=90°， ∴四边形AFGE是矩形。 易知EG=GF，∴四边形AFGE是正方形，∴ AF=FG=GE=AE， ∴==，且∠EAF=∠DAB，∠AFG=∠ABC，∠FGE=∠BCD， ∠AEG=∠ADC， ∴四边形AFGE与四边形ABCD相似。 知识点1 两条线段的比 1. 延长线段到点,使得,则 ( ) C A. B. C. D. 2. 近年来，我国航天事业发展迅猛，取得了惊 艳世界的成绩．海洋四号01星运转的轨道高度距离地表 ，则在比例尺是 的大屏幕上显示 为____ ． 35 返回 考试考法 27 3.若三角形三个内角的比为 ，则它的最长边与最短边的 比为_____. 返回 考试考法 28 知识点2 成比例线段 4. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) B A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 考试考法 29 返回 考试考法 30 5. 已知三个数1，2， ，请你再添上一个数，使这四 个数成比例，则这个数是_ ____________. 或或 成比例线段有顺序性 ，注意不要漏解. 返回 考试考法 31 知识点3 比例的基本性质 6. 若 ，则下列等式成立的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 32 7. 如图，在中，， 分别是，上的点，且 .若 ，， ， 则 ( ) A. B. C. D. B 返回 考试考法 知识点4 相似多边形的相关概念及性质 8. 下列图形中一定是相似图形的是( ) D A. 两个矩形 B. 两个等腰三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个正方形 返回 考试考法 34 两条线段长度的比 形状相同的图形 两条线段的比 比例的性质 线段a与b的比等于线段c与d的比，即= = ad=bc a，b，c，d都不等于0 成比例线段 各角分别相等、 各边成比例的两个多边形叫作相似多边形 相似多边形 概念 性质 相似多边形对应边的比 对应角相等、对应边成比例 相似比 课堂小结 $