3.2.2利用两边及夹角判定三角形相似（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理，承接上节AA角判定，通过“两边成比例是否相似”的问题导入，结合画图操作（给定角度和比例画三角形并测量角的大小）探究定理，构建从角到边角结合的学习支架。 其亮点在于突出易错点（如SSA不能判定相似）和解题模型（共角、对顶模型），通过分层例题（如共角模型证明、SSA反例辨析）与规范几何语言培养数学思维和推理能力。帮助学生发展几何直观，教师可依托系统资源高效开展教学。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 3.2.2利用两边及夹角判定三角形相似 第三章 图形的相似 3.2.2 利用两边及夹角判定三角形相似 同步讲义与习题 本节课是三角形相似的第二大判定定理（SAS相似），承接上一节AA角判定，从角度判定过渡到边、角结合判定。常用于题干给出线段长度、线段比例，无明显等角条件的几何题型，是中考几何计算、证明的高频考点。 一、核心知识点精讲 1. 两边及夹角相似判定定理（SAS） 定理内容：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 简称：两边成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） 关键前提（必考易错）：相等的角必须是两组对应边的夹角，非夹角相等不能判定相似！ 几何语言（考试标准书写）： 在 $$\triangle ABC$$ 和 $$\triangle A'B'C'$$ 中 $$\because \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'},\ \angle A=\angle A'$$ $$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） 2. 定理核心解读 - 需要满足两个条件缺一不可：两组对应边比值相等、夹角对应相等； - 区别于三角形全等SAS：全等是边相等，相似是边成比例； - 适用场景：题干已知线段长度、线段比值、线段乘积式，无明显两组等角时优先使用。 3. 常用夹角来源 - 公共角：最常用夹角，直接满足角相等； - 对顶角：相交线段形成的对顶角相等； - 已知角度相等、平行推导等角、垂直直角相等。 4. 必考易错禁区（高频扣分点） - SSA不能判定相似：两组边成比例，若相等的角是其中一边的对角，不是夹角，三角形不一定相似； - 对应边找错：必须是夹角的两条邻边成比例，任意两边比例无效； - 比例式写反、顶点对应错乱，导致相似结论错误； - 忽略化简比例，两组比值不相等强行证相似。 5. 本节专属解题模型 （1）共角SAS模型 两个三角形共用一个顶角，且夹这个角的两组对应边成比例，直接用SAS证相似，是考试最常见模型。 （2）对顶SAS模型 两线段相交形成对顶角，对顶角为夹角，且两组夹边对应成比例，可证8字型SAS相似。 二、经典例题精讲（满分标准步骤） 例1 共角SAS基础证明 已知：在$$\triangle ABC$$中，$$AB=6，AC=4，AD=2，AE=3$$，$$\angle A$$为公共角，求证：$$\triangle ADE \backsim \triangle ACB$$。 证明： $$\because \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2},\ \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$$ $$\therefore \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$$ 又$$\because \angle A=\angle A$$（公共角） $$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle ACB$$（两边成比例且夹角相等，两三角形相似） 例2 对顶角SAS相似 已知：线段AB、CD交于点O，$$OA=4，OB=6，OC=2，OD=3$$，求证：$$\triangle AOC \backsim \triangle BOD$$。 证明： $$\because \dfrac{OA}{OB}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3},\ \dfrac{OC}{OD}=\dfrac{2}{3}$$ $$\therefore \dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OC}{OD}$$ 又$$\because \angle AOC=\angle BOD$$（对顶角相等） $$\therefore \triangle AOC \backsim \triangle BOD$$（SAS） 例3 SSA反例（易错辨析） 判断：两组边成比例，一组非夹角相等，两三角形一定相似。（×） 解析：只有夹角相等才可以判定，对角相等为SSA，无法保证三角形形状相同，不能判定相似。 三、同步练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列能判定两个三角形相似的是（ ） A. 两组边成比例 B. 两组边成比例且夹角相等 C. 一组边成比例+一组角相等 D. 任意两组角相等 2. SAS相似判定中，相等的角必须是（ ） A. 任意角 B. 两组对应边的夹角 C. 边的对角 D. 直角 3. 在$$\triangle ABC$$和$$\triangle DEF$$中，$$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}$$，需补充哪个条件可证相似（ ） A. $$\angle A=\angle D$$ B. $$\angle B=\angle E$$ C. $$\angle C=\angle F$$ D. 任意角相等 4. 下列说法错误的是（ ） A. SAS相似需边成比例+夹角相等 B. SSA不能判定相似 C. 公共角可作为SAS的夹角 D. 两组边相等即可证相似 5. 已知$$\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OC}$$，且$$\angle AOB=\angle DOC$$，则相似三角形为（ ） A. $$\triangle AOB \backsim \triangle DOC$$ B. $$\triangle AOB \backsim \triangle COD$$ C. 无相似三角形 （二）填空题（每空3分，共30分） 1. 两边成比例且________的两个三角形相似。 2. SAS相似判定中，禁止用________角相等判定相似。 3. 共角模型中，________天然作为相等夹角，可直接用于SAS相似。 4. 若$$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}=2$$，且________，则两三角形相似。 5. 相似判定SAS与全等SAS的区别：全等是边相等，相似是________。 （三）解答题（共50分） 1.（16分）已知：在$$\triangle ABC$$中，$$AB=8，AC=6，AE=4，AD=3$$，求证：$$\triangle AED \backsim \triangle ABC$$。 2.（16分）线段AC、BD交于点O，$$OA=6，OC=4，OB=3，OD=2$$，求证：$$\triangle AOB \backsim \triangle COD$$。 3.（18分）判断：两组对应边成比例，且其中一组边的对角相等，两三角形是否相似？说明理由。 四、参考答案与详细解析 （一）选择题 1.B 解析：SAS相似核心条件：两边成比例且夹角相等。 2.B 解析：相等的角必须为两组对应边的夹角，对角无法判定。 3.B 解析：$$\angle B$$是AB、BC的夹角，$$\angle E$$是DE、EF的夹角，满足SAS条件。 4.D 解析：仅有两组边相等，无角度条件，无法判定相似。 5.A 解析：对应边成比例+对顶角相等，满足SAS相似，顶点顺序对应。 （二）填空题 1. 夹角相等 2. 对（SSA） 3. 公共角 4. $$\angle A=\angle A'$$（夹角相等） 5. 边成比例 （三）解答题 1. 证明： $$\because \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2},\ \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$$ $$\therefore \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$$ 又$$\because \angle A=\angle A$$（公共角） $$\therefore \triangle AED \backsim \triangle ABC$$（SAS） 2. 证明： $$\because \dfrac{OA}{OC}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2},\ \dfrac{OB}{OD}=\dfrac{3}{2}$$ $$\therefore \dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}$$ 又$$\because \angle AOB=\angle COD$$（对顶角相等） $$\therefore \triangle AOB \backsim \triangle COD$$（SAS） 3. 解：不相似。 理由：相似三角形SAS判定要求夹角相等，若相等的角是其中一组边的对角，属于SSA情况，无法保证两个三角形形状完全相同，因此不能判定三角形相似。 五、课时小结 1. SAS相似核心：两边成比例 + 夹角相等，二者缺一不可； 2. 绝对禁忌：SSA不能判定相似，非夹角相等无判定效力； 3. 解题套路：先算两组对应边比值，再找公共角、对顶角等夹角条件，严格对应顶点书写结论。 1.理解并掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，能够正确运用该定理进行三角形相似的证明和计算。 2.在复杂图形中识别并应用“两边成比例且夹角相等”的条件，区分该定理与其它相似判定定理的适用情境。 学习目标 2 两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗? 如图，△ABC中BC=2cm，AC=3cm；△DEF中DE=4cm，DF=6cm， △ABC与△DEF有两边成比例，但显然不相似。 C B A D E F 两边成比例的两个三角形不一定相似。 如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗? ①增加一角相等 ②增加一边成比例 先考虑增加一角相等的情况。 相等的角可以是两边的夹角，也可以是其中一组边的对角。 画△ABC与△A′B′C′， 使∠A=∠A′，都等于给定的值k。 设法比较∠B与∠B′(或∠C与∠C′)的大小。△ABC和△A′B′C′相似吗? 不妨使∠A=∠A'=60°，k=3（AB=6cm，AC=9cm，A'B'=2cm，A'C'=3cm）， ① 画∠A=∠A'=60° ② 在∠A的两边上取AB=6cm，AC=9cm；在∠A'的两边上取A'B'=2cm，A'C'=3cm ③ 连接BC，B'C'，得到△ABC和△A'B'C'； ④测量∠B与∠B'， ∠C与∠C'的度数，记录数据。 ∠B=∠B′(或∠C=∠C′)， △ABC∽△A′B′C′。 C B A C′ B′ A′ 画△ABC与△A′B′C′， 使∠A=∠A′，都等于给定的值k。 设法比较∠B与∠B′(或∠C与∠C′)的大小。△ABC和△A′B′C′相似吗? ∠B=∠B′(或∠C=∠C′)， △ABC∽△A′B′C′。 C B A C′ B′ A′ 改变k值和角的大小，再试一试。 定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言： 如图，在△ABC和△A′B′C′中， ，∠B=∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′。 知识点1 判定两个三角形相似的方法2 如图，已知：∠BAE=∠CAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40。 求证：△ABC∽△AED。 证明：∵ AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40， ∴= =1.2，= =1.2， ∴ = ， ∵ ∠BAE=∠CAD， ∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC， ∴ ∠BAC=∠EAD， ∴ △ABC∽△AED 。 例1 知识点1 判定两个三角形相似的方法2 如图，在△ABC中，D，E分别是边AC和AB上的点，AE=1.5， AC=2，BC=3，且=，求DE的长。 解：∵ AE=1.5，AC=2， ∴ =。 ∵ =，∴ = 。 ∵∠EAD=∠CAB， ∴ △ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)。 例2 知识点1 判定两个三角形相似的方法2 ∵ BC=3，∴ == ×3= 。 A E D B C ∴ = =。 如果△ABC与△A′B′C′两边成比例，且其中一组边所对的角相等，那么这 两个三角形一定相似吗?你能利用全等与相似的关系说明理由吗? 不一定相似。 如果△ABC和△A′B′C′的两边对应相等，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形不一定全等， 对于相似也有类似的结论。 知识点1 判定两个三角形相似的方法2 1.如图，每组中的两个三角形是否相似?为什么? . . 解：(1)△AEF∽△ABC。 理由：因为∠A=∠A， = =， 所以△AEF∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)。 (2)不相似。 理由：两个三角形虽然有一组角相等，但夹这个角的两边不成比例，所以这两个三角形不相似。 A E B C 1 1 3 3 4 5 2.5 3.5 35° 35° (1) (2) F 2.能判定的条件是（ ） A． B． C． D． D 3.如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ） A A. B. C. D. 知识点1 用边角关系判定两三角形相似 （第1题） 1. 如图，是的边 上一点，要 使 ，则添加的条件可以是 ( ) D A. B. C. D. 考试考法 14 利用“两边成比例且夹角相等”判定两 个三角形相似时，一定要记准相等的角是两边 的“夹角”，否则，结论不成立. （第1题） 返回 考试考法 15 2. 在三角形纸片中，，， ，下列 沿虚线剪下的阴影部分的三角形与 相似的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 16 3.如图，的三个顶点均在 网格（边长均为1）的格 点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与 有一条 公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______. （第3题） 考试考法 17 知识点2 用边角关系判定两三角形相似的应用 4. 在和中， ， ， ， 若，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 18 探索三角形相似的条件 判定定理 两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似 课堂小结 $