3.2.1 利用两角判定三角形相似（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“利用两角判定三角形相似（AA）”核心知识点，从相似多边形定义类比引出相似三角形，通过“两三角形满足何条件相似”的问题链引导，结合画图测量验证定理，构建从定义到判定的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于提炼“五大等角来源”“三大相似模型”，以平行A型等实例培养几何直观与推理意识，规范几何语言书写。同步练习分层设计，助力学生掌握考点，教师可直接用于教学，提升效率与学生数学思维。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 3.2.1 利用两角判定三角形相似 第三章 图形的相似 3.2.1 利用两角判定三角形相似 同步讲义与习题 本节课是三角形相似判定的第一个、也是最常用的判定定理。两角分别相等判定相似（AA）是中考几何证明、线段求值、面积计算的核心考点，方法简单、识别度高，绝大多数相似题型优先使用本定理解决。 一、核心知识点精讲 1. 三角形相似判定定理（AA 两角型） 定理内容：如果两个三角形的两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。 简称：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 几何语言（考试标准书写）： 在 $$\triangle ABC$$ 和 $$\triangle A'B'C'$$ 中 $$\because \angle A=\angle A',\ \angle B=\angle B'$$ $$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$$ 2. 定理核心解读 - 只需找两组对应角相等，无需证明边的关系； - 三角形内角和固定180°，两组角相等，第三组角必然相等； - 是所有相似判定中使用率最高、步骤最简的方法。 3. 五大常用等角来源（做题直接套用） - 公共角：两个三角形共用同一个角，天然相等； - 对顶角：相交直线形成的对顶角相等； - 平行线同位角、内错角：平行出等角，秒证相似； - 同角（等角）的余角、补角相等； - 直角三角形的直角：所有直角均为90°。 4. 三大必考相似模型（AA模型专属） （1）平行A型（正A模型） 三角形内一条底边平行线，截出小三角形与原三角形相似。 原理：平行线同位角相等 + 公共角 → AA相似。 （2）平行X型（8字模型） 两直线平行相交形成8字形，上下两个三角形相似。 原理：对顶角相等 + 内错角相等 → AA相似。 （3）垂直子母型（射影基础模型） 直角三角形作斜边上的高，分出两个小直角三角形与原三角形两两相似。 原理：公共角 + 直角 → AA相似。 5. 高频易错点（扣分重点） - 找角相等但对应关系错乱，写反相似顶点顺序； - 只找一组角相等，误以为可以证相似； - 忽略公共角、对顶角等隐藏等角，无法找到第二组角； - 相似三角形书写顶点必须对应，顺序错直接扣分。 二、经典例题精讲（满分标准步骤） 例1 公共角证相似（A型模型） 已知：如图，$$DE\parallel BC$$，求证：$$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$$。 证明： $$\because DE\parallel BC$$ $$\therefore \angle ADE=\angle ABC,\ \angle AED=\angle ACB$$ $$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle ABC$$（两角分别相等的两个三角形相似） 例2 对顶角证相似（X型模型） 已知：$$AB\parallel CD$$，AC、BD交于点O，求证：$$\triangle AOB \backsim \triangle COD$$。 证明： $$\because AB\parallel CD$$ $$\therefore \angle OAB=\angle OCD,\ \angle OBA=\angle ODC$$ $$\therefore \triangle AOB \backsim \triangle COD$$（AA） 例3 直角子母型相似 在Rt$$\triangle ABC$$中，$$\angle BAC=90^\circ$$，$$AD\perp BC$$，求证：$$\triangle ABD \backsim \triangle CBA$$。 证明： $$\because \angle BAC=90^\circ,\ AD\perp BC$$ $$\therefore \angle ADB=\angle BAC=90^\circ$$ 又$$\because \angle B=\angle B$$（公共角） $$\therefore \triangle ABD \backsim \triangle CBA$$（AA） 三、同步练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 判定两个三角形相似，最简单常用的方法是（ ） A. 一组角相等 B. 两组角分别相等 C. 两组边成比例 D. 三边成比例 2. 任意两个直角三角形，一定可以证相似的条件是（ ） A. 一个锐角相等 B. 斜边相等 C. 直角边相等 D. 任意条件都可以 3. $$DE\parallel BC$$，则相似三角形为（ ） A. $$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$$ B. $$\triangle BDE \backsim \triangle ABC$$ C. 无相似三角形 4. 8字形相似模型的核心等角是（ ） A. 公共角 B. 对顶角+内错角 C. 直角 D. 补角 5. 下列说法正确的是（ ） A. 所有等腰三角形都相似 B. 所有等边三角形都相似 C. 所有直角三角形都相似 （二）填空题（每空3分，共30分） 1. ________的两个三角形相似（AA判定定理）。 2. 平行A型相似的核心条件是________。 3. 相似三角形书写时，________必须一一对应。 4. 直角三角形斜边上的高，可分出________组相似三角形。 5. 证明AA相似，除已知角外，优先找________、________隐藏等角。 （三）解答题（共50分） 1.（16分）如图，在$$\triangle ABC$$中，$$\angle B=\angle ADE$$，求证：$$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$$。 2.（16分）已知AB、CD交于点O，$$\angle A=\angle C$$，求证：$$\triangle AOB \backsim \triangle COD$$。 3.（18分）在Rt$$\triangle ABC$$中，$$\angle C=90^\circ$$，$$DE\perp AB$$，求证：$$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$$。 四、参考答案与详细解析 （一）选择题 1.B 解析：两角分别相等（AA）是最简便的相似判定方法。 2.A 解析：一个锐角相等+直角相等，满足两组角相等，三角形相似。 3.A 解析：平行线出同位角，结合公共角，A型相似。 4.B 解析：8字模型依靠对顶角+平行线内错角证AA相似。 5.B 解析：所有等边三角形三角均为60°，两两相似；等腰、直角三角形角度不固定，不一定相似。 （二）填空题 1. 两角分别相等 2. 三角形内一边平行于底边 3. 顶点 4. 3 5. 公共角；对顶角 （三）解答题 1. 证明： $$\because \angle B=\angle ADE，\angle A=\angle A$$（公共角） $$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle ABC$$（两角分别相等的两个三角形相似） 2. 证明： $$\because \angle A=\angle C，\angle AOB=\angle COD$$（对顶角相等） $$\therefore \triangle AOB \backsim \triangle COD$$（AA） 3. 证明： $$\because \angle C=90^\circ，DE\perp AB$$ $$\therefore \angle AED=\angle C=90^\circ$$ 又$$\because \angle A=\angle A$$（公共角） $$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle ABC$$（AA） 五、课时小结 1. AA相似判定：两组对应角相等即可证相似，是相似证明首选方法； 2. 三大必考模型：A型、8字型、直角子母型，考试直接识别套用； 3. 解题关键：找隐藏等角（公共角、对顶角、平行等角），严格对应顶点书写。 1.类比相似多边形，了解相似三角形的定义。 2.经历探索三角形相似的条件的过程，了解三角形相似的判定定理，并能利用其解决简单的问题。 学习目标 2 相似多边形的定义是什么? 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形。 根据相似多边形的定义，说一说什么是相似三角形。 3 知识点1 相似三角形的定义 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。 几何语言：如图，在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， k， ∴△ABC∽△A′B′C′。 相似比为k 三角形全等与相似的区别与联系：   形状 大小 对应边 对应角 符号 相似比 联系 全等三 角形 相似三 角形   相同 相等 相等 相等 不一定相等 成比例 1 正实数 全等三角形是特殊的相似三 角形 ∽ ≌ 知识点1 相似三角形的定义 如图所示，已知△ABC∽△ADE，则 ∠B=∠ADE，且∠A= ，∠C= ，= = 。 例1 ∠AED ∠A 知识点1 相似三角形的定义 问题 两个三角形至少满足哪些条件就相似呢?类比探索三角形全等的条件的思路，寻找判定两个三角形相似的条件。 如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗?如果有两个角分别相 等呢? 一个含 30°角的直角三角形，和一个含 30°角的等腰三角形，它们只有 30°角相等，但形状明显不同。 如果两个三角形只有一个角相等，它们不一定相似； 知识点2 判定两个三角形相似的方法1 问题 两个三角形至少满足哪些条件就相似呢?类比探索三角形全等的条件的思路，寻找判定两个三角形相似的条件。 如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗?如果有两个角分别相 等呢? 如果两个三角形有两个角分别相等，它们一定相似。 知识点2 判定两个三角形相似的方法1 你能想办法验证吗？ 分别画△ABC和△A′B′C′， 使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，此时，∠C与∠C′相等吗?三边的比，相等吗?这样的两个三角形相似吗? 合作分工： (1) 1人画△ABC，1人画△A'B'C'。 (2)① 测量∠C与∠C′角度；  ② 测量△ABC的三边和△ A'B'C'的三边； ③ 计算对应边的比值，并记录结果 知识点2 判定两个三角形相似的方法1 C B A C′ B′ A′ 分别画△ABC和△A′B′C′， 使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，此时，∠C与∠C′相等吗?三边的比，相等吗?这样的两个三角形相似吗? ∠C与∠C′相等， 三边的比，相等， 这样的两个三角形相似。 知识点2 判定两个三角形相似的方法1 C B A C′ B′ A′ 改变∠α，∠β的大小，再试一试。 因为∠C=180°-∠α - ∠β ，∠C'=180°-∠α - ∠β ， 所以∠C=∠C'。 三边的比 相等，即无论∠α，∠β取何值，只要两个三角形的两角对应相等， 它们的第三个角必然相等，且对应边成比例。 知识点2 判定两个三角形相似的方法1 C B A C′ B′ A′ α β 定理 两角分别相等的两个三角形相似。 符号语言： 如图，在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′。 知识点2 判定两个三角形相似的方法1 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB和AC上的点，且DE∥BC， AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。 解：∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE= ∠B， ∠AED= ∠C。 ∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)。 ∴ 。 ∴BC= = =14. 例2 知识点2 判定两个三角形相似的方法1 A D E B C 1.有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似?为什么? . . 解：相似。 理由：两个直角三角形有直角相等，且有一个锐角相等，即有两角分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可知这两个三角形相似。 随堂练习 2.顶角相等的两个等腰三角形是否相似?为什么? . . 解：相似。 理由：因为两个等腰三角形的顶角相等，所以它们的两个底角也分别相等，所以这两个三角形相似。 随堂练习 3.如图，D是△ABC的边AB上一点，若∠ACD=______，则△ADC∽△ACB，若∠ADC=_________，则△ADC∽△ACB。 ∠B ∠ACB A D B C 随堂练习 4.如图，在锐角三角形ABC中，BE，CD分别是边AC，AB上的高，它们相交于点O，则图中与△BOD相似的三角形(不含△BOD)有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 . 解析：①∵∠BDO=∠BEA=90°，∠DBO=∠EBA， ∴△BOD∽△BAE。 ②∵ ∠BDO=∠CDA=90°，易得∠OBD=∠ACD， ∴△BOD∽△CAD。 ③∵∠BDO=∠CEO=90°，∠BOD=∠COE， ∴△BOD∽△COE。 共有3个。 C 随堂练习 5.如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的点，且∠DCE=90°。 求证：△ACD∽△BEC。 . 证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB， ∴∠DAC=∠EBC=90°， ∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°， ∵∠DCE=90°， ∴∠DCA+∠ECB=90°， ∴∠D=∠ECB， ∴△ACD∽△BEC。 随堂练习 6.在△ABC中，D是AB上的点，且∠ACD＝∠B，AD=4，AC=6，求AB。 . . 解：在△ABC和△ACD中， ∵ ∠A=∠A，∠ACD=∠B， ∴ △ABC∽△ACD， ∴ ∴ AB = 9。 A B C D 随堂练习 知识点1 相似三角形的定义 1. 已知，，若，则 的长为( ) C A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 返回 考试考法 20 （第2题） 2. 如图， ，若 ， ，则 的度数 为( ) A. B. C. D. A 返回 考试考法 （第3题） 3. 如图，在平面直角坐标系 中，，且，若点 的 坐标为，则点 的坐标为______. 【点拨】,且, 点 的坐标为,, , ,, 点的坐标为 . 返回 考试考法 22 知识点2 用两角分别相等判定两三角形相似 4. 下列判断中，正确的有( ) ①全等三角形是相似三角形 ②顶角相等的两个等腰三角形相似 ③所有的等边三角形都相似 ④所有的直角三角形都相似 C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 考试考法 23 5. 在中， ，用直尺和圆规在 上确定点 ，使 ，根据作图痕迹判断，正确的是 ( ) B A. B. C. D. 利用“两角分别相等”判定两个三角形相似时，注意 挖掘题中的隐含条件：公共角、对顶角、同角（等角）的余 角（补角）等. . . . . 返回 考试考法 24 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形 探索三角形相似的条件 相似三角形 判定定理 两角分别相等的两个三角形相似 课堂小结 $