3.2.3利用三边判定三角形相似（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“三边成比例的两个三角形相似”判定定理，通过回顾AA、SAS等旧知，结合动手画图测量的操作探究，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生发现定理。 其亮点在于以操作探究培养几何直观，通过计算对应边比值的例题和网格、实际截取等练习发展推理意识与运算能力，总结区分SSS与其他判定定理，帮助学生构建知识体系，教师可直接用于课堂训练，提升教学效率。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 3.2.3利用三边判定三角形相似 第三章 图形的相似 3.2.3 利用三边判定三角形相似 同步练习题（含解析） 本次练习题适配九年级3.2.3课时内容，聚焦三边对应成比例（SSS）三角形相似判定定理，重点考查定理概念辨析、三边比例计算、有序对应边判断、相似三角形判定与基础证明，区分SSS、SAS、AA判定的不同适用场景，规避无序比、找错对应边等高频易错点，题型循序渐进，贴合课堂同步训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 三边（ ）的两个三角形相似。 A. 对应相等 B. 对应成比例 C. 任意成比例 D. 长度相近 2. △ABC三边长为3、4、5，△DEF三边长为6、8、10，则两个三角形（ ） A. 相似 B. 不相似 C. 无法判定 D. 全等 3. 判定两个三角形三边相似的关键是（ ） A. 三边长度大致相同 B. 三组对应边比值相等 C. 两组边成比例即可 D. 有一组边相等即可 4. 已知△ABC三边为2、3、4，△A'B'C'三边为4、6、8，则相似比为（ ） A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1 5. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个等腰三角形三边成比例 B. 三边成比例的三角形一定相似 C. 两边成比例即可用SSS判定相似 D. 相似三角形三边长度相等 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 三角形相似的SSS判定定理：________的两个三角形相似。 7. 若△ABC与△DEF三边对应比值都为$$\frac{3}{5}$$，则两三角形________。 8. △ABC三边为5、7、8，△A'B'C'三边为10、14、16，两组三角形对应边的比为________。 9. 用SSS判定相似时，必须将两个三角形的边按________顺序排列，再计算比值。 10. 三边长为$$\sqrt{2}、2、\sqrt{6}$$与$$2、2\sqrt{2}、2\sqrt{6}$$的两个三角形________相似（填“一定”或“不一定”）。 三、解答题（共60分） 11.（18分）判断下列两组三角形是否相似，并用SSS定理说明理由。 （1）△ABC：3cm，4cm，6cm；△DEF：6cm，8cm，12cm （2）△ABC：2cm，5cm，6cm；△MNP：4cm，10cm，12cm 12.（20分）已知△ABC的三边长为4、6、8，△A'B'C'的三边长为2、3、4。（1）将两组边长从小到大排序；（2）计算三组对应边的比值；（3）求证：△ABC∽△A'B'C'。 13.（22分）已知△ABC三边为5、10、12，△DEF三边为2.5、5、6。（1）求三边对应比例；（2）判断两三角形是否相似并写出判定依据；（3）总结SSS相似判定的解题步骤。 四、参考答案与详细解析 选择题 1. B 解析：三边对应成比例（SSS）是三角形相似的重要判定定理。 2. A 解析：边长排序后比值均为1:2，三边对应成比例，两三角形相似。 3. B 解析：SSS相似核心条件：三组对应边比值全部相等，缺一不可。 4. A 解析：$$\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$，相似比为1:2。 5. B 解析：三边对应成比例是SSS相似的充要条件，可直接判定三角形相似。 填空题 6. 三边对应成比例 7. 相似 8. 1:2 9. 大小（长短） 10. 一定 解答题 11.（1）相似。排序后边长：3、4、6 和 6、8、12，对应比值均为$$\frac{1}{2}$$，三边对应成比例，满足SSS相似；（2）相似。排序后边长：2、5、6 和 4、10、12，对应比值均为$$\frac{1}{2}$$，符合SSS相似判定。 12.（1）△ABC：4、6、8；△A'B'C'：2、3、4；（2）对应比值：$$\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=2$$；（3）证明：∵两个三角形三边对应成比例，∴△ABC∽△A'B'C'（SSS）。 13.（1）对应边比值：$$\frac{5}{2.5}=\frac{10}{5}=\frac{12}{6}=2$$；（2）相似，依据：三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）；（3）解题步骤：①将两个三角形边长统一从小到大排序；②计算三组对应边的比值；③判断比值是否全部相等，相等即可判定相似。 本节核心知识点总结 1. SSS相似判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，无需角度条件。 2. 解题关键：先排序边长，再算比值，必须保证三组对应边比值完全相等。 3. 定理区分：AA找两角相等、SAS找两边成比例+夹角相等、SSS直接看三边成比例，三种定理独立通用。 4. 易错点：未排序直接对比边长、只计算两组边比值，会导致判定错误。 1. 理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法，（重点） 2. 会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题.（难点） 学习目标 问题1：在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？ 1.定义法 2.两角分别相等的两个三角形相似 3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 问题2： 如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？ 【操作·交流】 B A C B' A' C' (1) 任意画 △ABC . (2) 再画△A′B′C′，使 ， ， 都等于给定的值 k. (3) 量出∠A 和 ∠A' (∠B 与∠B' 或 ∠C 与∠C′ ) 的大小. ∠A＝∠A' 吗？△ABC 和 △A'B'C' 相似吗？ (4) 改变 k 值的大小，△ABC 和 △A'B'C' 还相似吗？ 探究点：三边成比例的两个三角形相似 通过测量不难发现 ∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例， 所以 △ABC∽△A′B′C′. B A C B' A' C' 探究点：三边成比例的两个三角形相似 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 【知识要点】 探究点：三边成比例的两个三角形相似 例1 (1)判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由. A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 解：在 △ABC 中，AB > BC > CA， 在 △DEF 中， DE > EF > FD. ∴ △ABC ∽ △DEF. ∵ ， ， ， ∴ . 探究点：三边成比例的两个三角形相似 ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. ∵ ， ， ∴ (2) 解： 探究点：三边成比例的两个三角形相似 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 【归纳总结】 探究点：三边成比例的两个三角形相似 例2 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD = 20°，求∠CAE的度数. A B C D E ∴ △ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似). 解：∵ ∴∠BAC =∠DAE， 找出图中相等的角 ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC. 即∠BAD =∠CAE. ∵∠BAD = 20°，∴∠CAE = 20°. 探究点：三边成比例的两个三角形相似 例3 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得 AB = 2A′B′，AC = 2A′C′， ∴ BC2 = AB2－AC2 = (2A′B′)2－(2A′C′)2 = 4A′B′2－4A′C′2 = 4(A′B′2－A′C′2) = 4B′C′ 2 = (2B′C′)2. ∴ BC = 2B′C′， ∴ △A′B′C′∽△ABC. 探究点：三边成比例的两个三角形相似 如图，△ABC 与 △A'B'C' 相似吗？你有哪些判断方法？ △ABC∽△A′B′C′ 【尝试·交流】 探究点：三边成比例的两个三角形相似 1. 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD，下列结论正确的是 ( ) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA A C B P D C ∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选 C. 解析：设 AP = PB = BC = CD = 1，∵∠APD=90°，∴AB = ，AC = ，AD = . 【练一练】 探究点：三边成比例的两个三角形相似 2. 如图，△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD． ∴ △ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点， ∴ ∴ 探究点：三边成比例的两个三角形相似 知识点1 用三边关系判定两三角形相似 1. 若把的各边分别缩小为原来的，得到 ， 下面结论正确的是( ) D A. 与 不一定相似 B. 与的相似比为 C. 与 各对应角不等 D. 与的相似比为 返回 考试考法 15 2. 若各边长分别为 ， ，，的两边长为 ， ，则当___时，与 相似. 3 3. 如图，已知在 与 中，， ， ，则 的大小为____. 返回 考试考法 16 4.如图，在 中， ,点在 上. （1）已知, , ,求 的长； 【解】, , . ，即 . 在中， . 考试考法 17 （2）取,的中点,,连接, , ,求证： . 【证明】，分别是 ， 斜边上的中点， ,， . . . 返回 考试考法 18 知识点2 网格中相似三角形的判定 5. 如图，下列四个三角形，与图中的三角形相似的是 ( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 19 6. 在如图所示的象棋 盘（各个小正方形的边长均相等） 中，根据“马走日”的规则，使“马” “车”“炮”所在位置的格点构成的三 B A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，“马” 应落在 ( ) 考试考法 20 【点拨】设各个小正方形的边长为 1，由题图可得，“帅”“相”“兵”所 在位置的格点构成的三角形的三边 长分别为2，， .当“马”落 在①处时，“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形的三 边长分别为1，3， .因为三边对应不成比例，所以①处不 符合；当“马”落在②处时，“马”“车”“炮”所在位置的格点构 考试考法 21 成的三角形的三边长分别为 1，，.因为 ， 所以②处符合；当“马”落在③处时， “马”“车”“炮”所在位置的格点构成 的三角形的三边长分别为1， ， .因为三边对应不成比例， 所以③处不符合；当“马”落在④处 考试考法 时，“马” “车”“炮”所在位置的格点 构成的三角形的三边长分别为1， 5， .因为三边对应不成比例， 所以④处不符合，故选B. 返回 考试考法 7. 一个三角形木架的三边长分别是，， ， 现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为 和 的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两 段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有( ) B A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种 考试考法 24 8. 定义：我们知道， 凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了 两个三角形，如果这两个三角形相似 （不全等），我们就把这个凸四边形叫作“自 D A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 相似四边形”.如图，点，， 是正方形网格中的格点，在 网格中确定格点，使以，，， 为顶点的四边形是“自 相似四边形”，则符合条件的格点 有( ) 考试考法 25 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 相似三角形的判定定理 3 的运用 课堂小结 $