1.4 第2课时 充要条件-2026-2027学年高一上学期必修一人教A版课件

该高中数学课件聚焦“充要条件”核心知识点，通过整数倍数关系和三角形边角关系的情境导入，从已学的充分、必要条件自然过渡，搭建认知支架帮助学生理解概念及四种逻辑关系。 其亮点在于以情境·思考激发兴趣，探究导学结合定义与判断方法培养逻辑推理，典例精讲（如直线与圆相切的充要条件证明）强化数学思维，即时训练融入高考真题提升应用能力。学生能提升逻辑推理素养，教师可获得系统教学资源提高效率。

1.4.2 充要条件 引入1 已知 p：整数a是6的倍数， q：整数a是2和3的倍数， 那么，p是q的什么条件？ 在上述问题中， p  q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件. 另一方面， q  p，所以p也是q的必要条件，q也是p的充分条件. 引入2 “在△ABC 中，p: AB＝AC，q:  B＝ C”，那么，p是q的什么条件？ 解:p  q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件.另一方面，q  p，所以p也是q的必要条件，q也是 p的充分条件. 你发现了什么? 1. 掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系.(重点) 2．能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件.(难点) 3．培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力. 4．在充要条件的教学中，培养等价转化思想． 逻辑推理：通过充分条件、必要条件的判断与证明，培养逻辑推理的核心素养 体会课堂探究的乐趣， 汲取新知识的营养， 让我们一起 吧！ 进 走 课 堂 充分条件与必要条件的含义分别是什么？ 提示：如果“ ”，则称p是q的充分条件，且q是p的必要条件. 探究点1 充要条件的含义 6 一般地，如果既有，又有， 就记作 . 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件. 概念！ 显然，如果p是q的充要条件， 那么q也是p的充要条件. 概括地说，如果p ⇔ q， 那么p与q互为充要条件. 对于两个语句，p可能是q的充分条件，p也可能是q的必要条件，除此以外p与q之间的逻辑关系还有哪些可能？ 提示：p是q的充分条件，p不是q的必要条件； p是q的必要条件，p不是q的充分条件； 即p是q的充分不必要条件，p是q的必要不充分条件 p与q之间的四种逻辑关系： p是q的充要条件； p是q的充分不必要条件； p是q的必要不充分条件； p是q的既不充分条件，也不必要条件. 判断p是q的什么条件，并填空： (1) p： x 是整数是 q：x是有理数的 ； (2) p： ac＝bc是 q：a＝b的 ； (3) p： x＝3 或x＝-3是 q：x2＝9 的 ； (4) p：同位角相等是 q：两直线平行的 ； (5) p：(x-2)(x-3)＝0 是 q：x+2＝0 的___________ ________． 充分不必要条件 充要条件 充要条件 既不充分也不 必要不充分条件 【即时训练】 必要条件 探究点2 判断充分条件、必要条件的方法 若，且，则p是q的充分不必要条件； 若，且，则p是q的必要不充分条件； 若，且 ，则p是q的充要条件； 若 ，且，则p是q的既不充分也不必要条件. 提示一：直接用定义判断 原命题为真，逆命题为假； p是q的充分不必要条件， p是q的必要不充分条件， 原命题为假，逆命题为真； 提示二：利用命题的四种形式进行判定 p是q的既不充分也不必要条件， p是q的充要条件， 原命题、逆命题都为真； 原命题、逆命题都为假. 已知p,q都是r的必要不充分条件， s是r的充分不必要条件， q是s的充分不必要条件， 则(1)s是q的什么条件？ (2)s是p的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 充要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 【即时训练】 例1 下列各题中，p是q的什么条件． (1)p：b＝0， q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数； (2)p：x＞0,y＞0，q：xy＞0； (3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c； (4)p：两直线平行； q：两直线的斜率相等. 充要条件 充分不必要条件 充要条件 既不充分也不必要条件 【变式练习】 A 例2 已知 的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证: d = r是直线 l 与 相切的充要条件. l O 如图所示 d [分析]设p：d=r，q：直线l与相切. 要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性()和必要性()即可. 【证明】如图所示. (1)充分性()： 作OP⊥l于点P，则OP=d，若d=r，则点P在上， 在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ. 在Rt△OPQ中，OQ>OP=r. 所以，除点P外，直线l上的点都在的外部， 即直线l与仅有一个公共点P.所以直线l与相切. P Q l O (2)必要性(): 若直线 l 与相切，不妨设切点为P，则OP ⊥ l. 因此，d = OP = r . 充分条件与 必要条件 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养   (2)集合法:A⊆B, A是B的充分条件，B⊆A, A是B的必要条件. (1)判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向 (2)证明充要条件时，要分清哪个是条件，哪个是结论 逻辑推理：通过充分条件、必要条件的判断与证明，培养逻辑推理的核心素养 充分条件 必要条件 充要条件 判断与证明 应用 A 19 B 20 B 21 A 22 5.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 有一个正根和一个负根的充要条件是 ( ) A．ab＞0 B．ab＜0 C．ac＞0 D．ac＜0． D 6.已知p：-x2+6x+16≥0，q：x2-4x+4-m2≤0(m＞0)． (1)若p为真命题，求实数x的取值范围． (2)若p为q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【解析】(1)因为p：-2≤x≤8，所以p为真命题时，实数x的取值范围[-2，8]． (2)q：2-m≤x≤2+m 因为p是q的充分不必要条件，所以[-2，8]是[2-m，2+m]的真子集． 所以             所以m≥6．所以实数m的取值范围为m≥6． 在学习上不肯钻研的人是不会提出问题的；在事业上缺乏突破力的人是不会有所创新的. 设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的　(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件　　 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解题关键】根据不等式的性质及充分必要条件的定义求解. 1. (2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是 “对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1， 取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，充分性成立； 取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1， 取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，+∞)，必要性不成立； 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件. 2.(2023·全国甲卷理科)“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的(　　) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 【解析】选B.当sin2α+sin2β=1时，例如α=，β=0，但sin α+cos β≠0， 即sin2α+sin2β=1推不出sin α+cos β=0; 当sin α+cos β=0时，sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1， 即sin α+cos β=0能推出sin2α+sin2β=1. 综上可知，“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的必要条件但不是充分条件. 3.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.a2=b2,即(a+b)(a-b)=0,解得a=-b或a=b; a2+b2=2ab,即(a-b)2=0,解得a=b; 故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”,充分性不成立. “a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”,必要性成立. 故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件. 4.设点 ,则“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的　(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 $