2027届高考数学一轮复习讲义 第6讲 一元二次方程、不等式

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次方程与不等式核心考点，以二次函数、方程、不等式的内在联系为统领，系统梳理判别式与解集关系、分式及绝对值不等式解法、恒成立问题等内容。通过知识梳理构建体系，核心题型分考点突破，结合真题讲解与跟踪训练，形成“理解-应用-巩固”的复习闭环，帮助学生夯实基础并突破难点。 讲义突出数学思维与模型意识的培养，如在“三个二次关系”考点中，通过解集反推系数特征，训练逻辑推理能力；恒成立问题中引导学生转化为函数最值问题，强化数学语言表达。设置分层练习与实际应用案例，助力学生在有限时间内提升解题效率，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供清晰路径。

2027年高考一轮复习讲义 第6讲 一元二次方程、不等式 知识梳理 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式 的解集 {x|x<x1或x>x2} R 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 常用结论 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 探究核心题型 考点一 求解一元二次不等式 命题点1 不含参数的不等式 例1 （2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 例2 (多选)下列选项中，正确的是(　　) A.不等式-2x2+x≤-3的解集为 B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R，则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 答案　ABD 解析　由-2x2+x≤-3，可得2x2-x-3≥0，即(2x-3)(x+1)≥0，解得x≤-1或x≥， 故不等式-2x2+x≤-3的解集为，故A正确； 因为 -1≤0，即≤0，即(x+3)(x-2)≤0且x-2≠0，解得-3≤x<2，所以不等式的解集为{x|-3≤x<2}，故B正确； 由|x-2|≥1，可得x-2≤-1或x-2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误； 由|x-1|<1，可得-1<x-1<1，解得0<x<2，由<0，即(x+4)(x-5)<0，可得-4<x<5，因此“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确. 命题点2 含参的不等式 例3 （2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（    ） A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0 【答案】C 【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为，所以且，设，则的零点 为 当时，则，，要使，必有，且， 即，且，所以； 当时，则，，要使，必有. 综上一定有. 故选：C 例4 已知函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3. (1)若不等式f(x)>0的解集为{x|－1<x<3}，求a，b的值； (2)若b＝－a，求不等式f(x)≤1的解集． 解　(1)由题意得，－1和3是方程ax2＋(b－2)x＋3＝0的两个根，且a<0， 则解得 (2)当b＝－a时，不等式f(x)≤1， 即ax2－(a＋2)x＋2≤0，即(ax－2)(x－1)≤0. ①当a＝0时，－2x＋2≤0，解得x≥1； ②当a<0时，不等式可化为(x－1)≥0， 解得x≤或x≥1； ③当a>0时，不等式可化为(x－1)≤0， 若1<，即0<a<2，解得1≤x≤； 若1＝，即a＝2，解得x＝1； 若1>，即a>2，解得≤x≤1. 综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥1}； 当a<0时，解集为； 当0<a<2时，解集为； 当a＝2时，解集为{x|x＝1}； 当a>2时，解集为. 例5. 设函数f(x)＝ax2－(1＋a)x＋1. (1)若a＝－2，解不等式f(x)>0； (2)若a>0，解关于x的不等式f(x)<0. 解　(1)当a＝－2时，由f(x)＝－2x2＋x＋1>0， 即(2x＋1)(x－1)<0， 解得－<x<1， 故当a＝－2时，不等式f(x)>0的解集为. (2)由f(x)<0，可得(ax－1)(x－1)<0， 所以(ax－1)(x－1)＝0的两根为x1＝1，x2＝. 当0<a<1时，>1，解得1<x<； 当a＝1时，原不等式即为(x－1)2<0，该不等式的解集为∅； 当a>1时，<1，解得<x<1. 综上所述，当0<a<1时，原不等式的解集为； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a>1时，原不等式的解集为. 跟踪训练 1 (多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 答案　ABD 解析　因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确； 因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确． 2. 解关于x的不等式mx2+(1-m)x+m-2≤m-1(m∈R). 解　不等式mx2+(1-m)x+m-2≤m-1， 即mx2+(1-m)x-1=(mx+1)(x-1)≤0， 当m=0时，x-1≤0，解得x≤1； 若m≠0，则关于x的方程mx2+(1-m)x-1=0的两根分别为1，-， 当m>0时，-<1， 解原不等式可得-≤x≤1； 当-1<m<0时，->1， 解原不等式可得x≤1或x≥-； 当m=-1时，原不等式即为-(x-1)2≤0，即(x-1)2≥0恒成立，此时不等式的解集为R； 当m<-1时，-<1， 解原不等式可得x≤-或x≥1. 综上所述，当m<-1时，原不等式的解集为； 当m=-1时，原不等式的解集为R； 当-1<m<0时，原不等式的解集为； 当m=0时，原不等式的解集为{x|x≤1}； 当m>0时，原不等式的解集为. 3. 解关于x的不等式ax2+x+1>0，a∈R. 解　当a=0时，x+1>0，得x>-1； 当a<0时，Δ=1-4a>0， 关于x的方程ax2+x+1=0的两个根分别为x1=， x2=，x1<x2， 此时不等式的解集为； 当a>0时，则当Δ=1-4a<0， 即a>时，不等式的解集为R， 当Δ=1-4a=0，即a=时，不等式的解集为{x|x≠-2}， 当Δ=1-4a>0，即0<a<时， 关于x的方程ax2+x+1=0的两个根分别为x1=， x2=，x1>x2， 此时不等式的解集为， 综上可知，当a=0时，不等式的解集为{x|x>-1}； 当a<0时，不等式的解集为； 当a>时，不等式的解集为R； 当a=时，不等式的解集为{x|x≠-2}； 当0<a<时，不等式的解集为. 考点二 三个二次之间的关系 例1. (多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－4或x≥5}，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－5} C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D．a＋b＋c>0 答案　AC 解析　由题意得，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，即a>0，故A正确； 因为－4,5是方程ax2＋bx＋c＝0的根， 所以解得 所以 bx＋c>0，即－ax－20a>0，解得x<－20，故B错误； 不等式cx2－bx＋a<0等价于－20ax2＋ax＋a<0，即20x2－x－1>0， 即(5x＋1)(4x－1)>0， 解得x<－或x>，故C正确； 因为1∉{x|x≤－4或x≥5}，所以a＋b＋c<0，故D错误． 例2. (多选)(2026·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-∞，1)∪(5，+∞)，则下列结论正确的是(　　) A.a>0 B.a+b+c>0 C.bx+c>0的解集是 D.cx2-bx+a<0的解集是 答案　CD 解析　由题意可得1和5是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0， 由根与系数的关系可得1+5=-，1×5=， 得b=-6a，c=5a， 对于A，因为a<0，故A错误； 对于B，a+b+c=a-6a+5a=0，故B错误； 对于C，不等式bx+c>0， 即-6ax+5a>0，即6x-5>0，得x>， 所以不等式bx+c>0的解集是，故C正确； 对于D，由不等式cx2-bx+a<0， 得a(5x2+6x+1)<0，即5x2+6x+1>0， 则(5x+1)(x+1)>0，得x>-或x<-1， 即解集为，故D正确. 例3. 若关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，则实数a的取值范围是(　　) A.-<a< B.a> C.a<- D.-<a<0 答案　D 解析　方法一　显然a≠0. 令f(x)=ax2+(a+2)x+9a， 则由题意得当a>0时，f(1)<0， 当a<0时，f(1)>0， 故af(1)<0，即a(11a+2)<0， 解得-<a<0. 方法二　显然a≠0. 因为方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2， 所以 因为x1<1<x2， 所以(x1-1)(x2-1)<0， 即x1x2-(x1+x2)+1<0， 则9++1<0，解得-<a<0. 跟踪训练 1. 若方程x2－4x＋a＝0的两根都在区间(1，＋∞)内，则实数a的取值范围是________． 答案　(3,4] 解析　设方程x2－4x＋a＝0的两根为x1，x2， 则x1>1，x2>1， 所以Δ＝(－4)2－4a≥0，x1＋x2>2，(x1－1)(x2－1)>0， 由Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4； 由x1＋x2>2，得4>2显然成立； 由(x1－1)(x2－1)>0， 得x1x2－(x1＋x2)＋1>0， 即a－4＋1>0，解得a>3， 综上可得，3<a≤4， 所以实数a的取值范围是(3,4]． 2. (2025·苏州模拟)下列命题正确的是(　　) A.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x>1或x<-3}，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点为A(-3，0)，B(1，0) B.若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x>3或x<-1}，则cx2+bx+a>0的解集为 C.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则a>0且b2-4ac<0 D.若关于x的不等式ax2+bx+c>0(abc≠0)的解集与不等式a1x2+b1x+c1>0(a1b1c1≠0)的解集都是R，则== 答案　C 解析　A选项，由函数零点的定义知，A选项错误； B选项，若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x>3或x<-1}，则a<0，且其对应的方程ax2+bx+c=0有两个解x1=3，x2=-1，且x1+x2=2=-，x1x2=-3=，即b=-2a，c=-3a， 所以cx2+bx+a=-3ax2-2ax+a>0，又a<0，即3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)>0，解得x<-1或x>，所以不等式的解集为，B选项错误； C选项，若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则a>0且其对应的方程ax2+bx+c=0无解，即b2-4ac<0，C选项正确； D选项，若关于x的不等式ax2+bx+c>0(abc≠0)的解集为R， 则a>0，且b2-4ac<0， 关于x的不等式a1x2+b1x+c1>0(a1b1c1≠0)的解集是R， 则a1>0，且-4a1c1<0，无法确定其比例关系，D选项错误. 3. (多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3 C．－1<x1<x2<3 D．x2－x1>4 答案　ABD 解析　由题意得，a<0，且x1，x2是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的两根， 所以x1＋x2＝－＝2，故A正确； x1x2＝＝－3<－3，故B正确； x2－x1＝＝＝2>4，故D正确； 由x2－x1>4，可得－1<x1<x2<3是错误的，故C错误． 考点三 一元二次不等式恒成立、能成立问题 例1. 已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立，求x的取值范围． 解　(1)不等式f(x)<1， 即mx2－(m－1)x＋m－2<0， 当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意； 当m≠0时， 有 解得m<， 综上所述，m的取值范围为. (2)不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立， 即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立， 因为x2－x＋1＝2＋>0， 则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立， 由x∈， 得＝＝＝≤＝1， 当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立， 所以max＝1， 所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞)． (3)不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立， 即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0,2)恒成立， 令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3， 因为x2－x＋1＝2＋>0， 所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0,2)上单调递增， 则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3， 所以x的取值范围为[3，＋∞)． 例2. 已知函数f(x)=mx2-(m-1)x+m-1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R，求实数m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求实数m的取值范围； (3)若存在m∈(0，2)，使不等式f(x)>2成立，求x的取值范围. 解　(1)不等式f(x)<1， 即mx2-(m-1)x+m-2<0， 当m=0时，x-2<0，解得x<2，不符合题意； 当m≠0时，有 解得m<， 综上所述，实数m的取值范围为. (2)不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立， 即m(x2-x+1)≥1-x对一切x∈恒成立， 因为x2-x+1=+>0， 则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立， 由x∈，1-x∈， 得== =≤=1， 当且仅当1-x=，即x=0时等号成立， 所以=1， 所以m≥1，即m的取值范围是[1，+∞). (3)若∃m∈(0，2)，使不等式f(x)>2成立， 即∃m∈(0，2)，(x2-x+1)m+x-3>0成立， 令h(m)=(x2-x+1)m+x-3， 因为x2-x+1=+>0， 所以函数h(m)=(x2-x+1)m+x-3在(0，2)上单调递增， 则h(2)=2x2-x-1>0，所以x<-或x>1， 所以x的取值范围为∪(1，+∞). 跟踪训练 1. 已知y=x2+2(a-2)x+4. (1)如果存在x∈R，y<0成立，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得对任意x∈{x|-3≤x≤1}，y<0恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. 解　(1)由题意知，只有当二次函数y=x2+2(a-2)x+4的图象与x轴有两个交点时，才能满足题意， ∴Δ=4(a-2)2-16>0，解得a<0或a>4， ∴实数a的取值范围为(-∞，0)∪(4，+∞). (2)若对任意x∈{x|-3≤x≤1}，y<0恒成立，则满足题意的函数y=x2+2(a-2)x+4的图象如图所示， 由图象可知，此时a应该满足则 ∴不等式组无解， ∴不存在实数a，使得对任意x∈{x|-3≤x≤1}，y<0恒成立. 2. 已知函数f(x)＝x2－3x＋a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若f(x)<0在x∈(－1,2)上恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)f(x)＝x2－3x＋a＝2＋a－， 则f(x)min＝f ＝a－， f(x)>0在x∈R上恒成立，即f(x)min＝a－>0，故a>. 故实数a的取值范围是. (2)f(x)＝x2－3x＋a＝2＋a－， f(x)在[－1,2]上的最大值为f(x)max＝f(－1)＝2＋a－＝4＋a， 故f(x)在x∈(－1,2)上满足f(x)<4＋a，故4＋a≤0，解得a≤－4. 故实数a的取值范围是(－∞，－4]． 考点四 一元二次不等式实际运用 例1. (北师大版必修第一册P39例6)为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500. (1)设袁阳每月获得的利润为w(单位：元)，写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系. (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果袁阳想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 解　(1)依题意可知每件的销售利润为(x-10)元，每月的销售量为(-10x+500)件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w=(x-10)(-10x+500)(10≤x≤50). (2)由每月获得的利润不小于3 000元，得(x-10)(-10x+500)≥3 000. 化简，得x2-60x+800≤0. 解得20≤x≤40. 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p=(12-10)(-10x+500)=-20x+1 000. 由20≤x≤25，得500≤-20x+1 000≤600. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[500，600]元. 跟踪训练 1. 某化学试剂生产厂以x kg/h的速度运输生产某种产品(生产条件要求边生产边运输，且1≤x≤10)，每小时可获得利润100元. (1)要使运输生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围. (2)要使运输生产900 kg该产品获得的利润最大，该工厂应该选取何种运输生产速度？并求最大利润. 解　(1)依题意可得2×100≥3 000， 即5x-14-≥0. 因为1≤x≤10，所以5x2-14x-3≥0，即(x-3)(5x+1)≥0，解得x≥3或x≤-.结合1≤x≤10知，x的取值范围为3≤x≤10. (2)设利润为y元，则依题意可得 y=×100 =90 000 =90 000. 因此，当=，即运输生产速度为6 kg/h时，该工厂获得的利润最大，最大利润为457 500元. 2. 某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C=500+30x，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是(　　) A.[20，30] B.[20，45] C.[15，30] D.[15，45] 答案　B 解析　设该厂每天获得的利润为y元， 则y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500(0<x<80). 由题意知-2x2+130x-500≥1 300，即x2-65x+900≤0，解得20≤x≤45， 所以日销量x的取值范围是[20，45]. 课时对点精练 一、单项选择题 1．(2026·南昌模拟)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，则A∩B等于(　　) A．{x|－1<x≤3} B．{x|x≤3或x>4} C．{x|－2≤x≤4} D．{x|－2≤x≤－1} 答案　A 解析　因为不等式x2－x－6≤0的解集为{x|－2≤x≤3}， 又不等式≤0的解集为{x|－1<x≤4}， 所以A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－1<x≤4}， 所以A∩B＝{x|－1<x≤3}． 2．(2025·南昌模拟)设x∈R，则“|2x-1|≤x”是“x2+x-2≤0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由|2x-1|≤x，得或解得≤x≤1. 由x2+x-2≤0，解得-2≤x≤1， 当≤x≤1时，-2≤x≤1一定成立，反之，不一定成立， 所以“|2x-1|≤x”是“x2+x-2≤0”的充分不必要条件. 3．（2020·全国I卷·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果. 【详解】由解得， 所以， 又因为，所以， 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目. 4．设p：实数m满足-1<m<0，q：一元二次方程x2+3x+m+1=0有两个负数根，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　q：一元二次方程x2+3x+m+1=0有两个负数根， 所以解得-1<m≤， 所以p是q的充分不必要条件. 5．若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2} C．{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2} 答案　B 解析　当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R； 当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2. 综上，－1<a≤2，故a的取值范围为{a|－1<a≤2}． 6．(2026·济南模拟)若∃x∈R，mx2+2(m-3)x+4≤0，则实数m的取值范围为(　　) A.(1，9) B.(-∞，0) C.(-∞，1)∪(9，+∞) D.(-∞，1]∪[9，+∞) 答案　D 解析　由题意知，当m=0时，不等式为-3x+2≤0，即x≥，显然-3x+2≤0在R上有解，符合题意； 当m<0时，抛物线y=mx2+2(m-3)x+4的开口向下， 显然mx2+2(m-3)x+4≤0在R上有解，符合题意； 当m>0时，要使mx2+2(m-3)x+4≤0在R上有解， 只需Δ=[2(m-3)]2-4×4×m≥0， 解得m≤1或m≥9， 又m>0，所以0<m≤1或m≥9， 综上，实数m的取值范围是(-∞，1]∪[9，+∞). 二、多项选择题 7．(2026·常州模拟) 对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为(　　) A．∅ B．(－1，a) C．(a，－1) D．(a，＋∞) 答案　ABC 解析　根据题意，易知a≠0. 当a>0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(a，＋∞)． 当a<0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为∅； 若－1<a<0，则不等式的解集为(－1，a)； 若a<－1，则不等式的解集为(a，－1)． 8．关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-1，2)，则下列结论正确的是(　　) A.a<0 B.关于x的不等式bx+c>0的解集为(-∞，-2) C.4a-2b+c>0 D.关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为 答案　BC 解析　由已知可得a>0且-1，2是方程ax2+bx+c=0的两根，所以A选项不正确； 由根与系数的关系可得 解得b=-a，c=-2a，则不等式bx+c>0可化为-ax-2a>0，即x+2<0， 所以x<-2，所以B选项正确； 因为4a-2b+c=4a+2a-2a=4a>0，所以C选项正确； 不等式cx2-bx+a>0可化为-2ax2+ax+a>0，即2x2-x-1<0，解得-<x<1， 故不等式cx2-bx+a>0的解集为，所以D选项不正确. 9. 下列命题正确的是(　　) A.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小，则实数a的取值范围是(-2，1) B.若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1，2)上恒成立，则实数k的取值范围是(-∞，3) C.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则关于x的不等式>0的解集是{x|x>2或x<-1} D.若+=1(a>0，b>0)，则+的最小值为 答案　ACD 解析　对于A，二次函数f(x)=x2+(a2-1)x+a-2的图象开口向上， 若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小， 则f(1)=1+(a2-1)+a-2=a2+a-2<0，解得-2<a<1，故A正确； 对于B，若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1，2)上恒成立， 则只需k(x-1)>x2-1，即k>x+1在(1，2)上恒成立即可，则k≥3，故B错误； 对于C，若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则a>0，a=b， 所以关于x的不等式>0⇔>0⇔x<-1或x>2，故C正确； 对于D，若+=1(a>0，b>0)，则+=1≥2，解得≤，当且仅当a=2，b=4时等号成立， 所以+=-=1-≥1-=，当且仅当a=2，b=4时等号成立，故D正确. 10. 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　) A．a>0 B．c<0 C．a＋b>0 D．关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为{x|－3<x<－1} 答案　BC 解析　由题意得，a<0，和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， 由根与系数的关系可得 解得a＝3c，b＝－4c，则c<0， 故A错误，B正确；a＋b＝－c>0，故C正确； 不等式cx2＋bx＋a>0可化为cx2－4cx＋3c>0， 即x2－4x＋3<0，解得1<x<3， 故不等式解集为{x|1<x<3}，故D错误． 三、填空题 11．甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(-3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(-3，4).那么原不等式的解集为　　　　.  答案　(-2，3) 解析　依题意知，c=-3×2=-6，-b=-3+4=1，即b=-1，因此不等式x2+bx+c<0， 即x2-x-6<0，解得-2<x<3， 所以原不等式的解集为(-2，3). 12. 不等式≥2的解集为________． 答案　 解析　因为≥2， 则－2＝≥0， 等价于(1－2x)(x＋2)≥0(x≠－2)， 解得－2<x≤， 即不等式≥2的解集为. 13．(2025·南昌模拟)已知p：<0，q：x2-(a+1)x+a<0(a∈R)，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为　　　　　　.  答案　[-3，4] 解析　由<0，解得-3<x<4， 即p：-3<x<4，记解集为A=(-3，4)； 记关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0(a∈R)的解集为B， 因为p是q的必要不充分条件，所以BA. 由x2-(a+1)x+a<0(a∈R)， 得(x-1)(x-a)<0， 当a=1时，解集为∅，即B=∅，符合题意； 当a>1时，解得1<x<a，即B=(1，a)，此时要使BA，则1<a≤4； 当a<1时，解得a<x<1，即B=(a，1)，此时要使BA，则-3≤a<1， 综上可得-3≤a≤4， 即实数a的取值范围为[-3，4]. 四、解答题(共28分) 14．(苏教版必修第一册P69习题3.3 T13)如图，某房地产开发公司要在矩形地块ABCD上规划出一块矩形地块PQCR建造住宅区.为了保护文物，住宅区不能超越文物保护区△AEF的界线EF.由实地测量知，AB=200 m，AD=160 m，AE=60 m，AF=40 m.问：怎样设计矩形住宅区的长和宽，才能使其面积最大？最大面积是多少？ 解　设CR=x m，矩形CRPQ的面积为y m2， 作EN⊥PQ于点N(图略)， 则=，∴EN=， ∴QC=160-=， ∴y=x·=-(x-190)2+， ∴当矩形住宅区的长为x=190 m，宽为= m时，才能使其面积最大，最大面积为 m2. 15．已知函数f(x)＝ax2＋3x－2，且f(x)>0的解集为{x|b<x<2}(b<2)． (1)求a，b的值； (2)若对于任意的x∈[－1,2]，不等式f(x)≥2＋m恒成立，求实数m的取值范围． 解　(1)由题意得，a<0，且b,2为方程ax2＋3x－2＝0的两根， 所以解得 (2)由(1)可得，不等式f(x)≥2＋m可化为－x2＋3x－2≥2＋m， 所以m≤－x2＋3x－4. 因为对于任意的x∈[－1,2]，不等式f(x)≥2＋m恒成立， 所以对于任意的x∈[－1,2]，不等式m≤－x2＋3x－4恒成立， 即m≤(－x2＋3x－4)min，x∈[－1,2]， 因为y＝－x2＋3x－4＝－2－，x∈[－1,2]， 所以当x＝－1时，y＝－x2＋3x－4取最小值，最小值为－8， 所以m≤－8， 故实数m的取值范围为(－∞，－8]． 16. (2025·天津北辰区模拟)已知关于x的不等式(a-1)x2-2bx-2<0的解集为{x|-1<x<2}. (1)求实数a，b的值；(4分) (2)若m≤0，求关于x的不等式amx2+(m-a)x-1≥0的解集；(7分) (3)若对任意实数x∈[1，2]，amx2+(m-a)x-1≥mx恒成立，求实数m的取值范围.(6分) 解　(1)由题意可得(a-1)x2-2bx-2=0的两根为-1和2， 所以 解得 (2)由(1)知amx2+(m-a)x-1≥0可化为2mx2+(m-2)x-1≥0， 即(2x+1)(mx-1)≥0， 当m=0时，不等式为2x+1≤0，解得x≤-； 当m≠0时，(2x+1)(mx-1)=0的两根为-和. 当m<0时， ①当-=，即m=-2时，(2x+1)(mx-1)≥0的解集为； ②当-<，即m<-2时，(2x+1)(mx-1)≥0的解集为； ③当->，即-2<m<0时，(2x+1)(mx-1)≥0的解集为， 综上，当m=0时，原不等式的解集为； 当m=-2时，原不等式的解集为； 当m<-2时，原不等式的解集为； 当-2<m<0时，原不等式的解集为. (3)由(1)知amx2+(m-a)x-1≥mx可化为2mx2-2x-1≥0， 即m≥+，对任意1≤x≤2恒成立， 令t=，则t∈，可得m≥t2+t， 易知y=t2+t的图象的对称轴为直线t=-1， 则y=t2+t在上单调递增， 所以当t=1时，ymax=， 所以m≥. 所以实数m的取值范围为. 17. (2026·曲靖模拟) 已知函数f(x)＝mx2＋mx＋3，m∈R. (1)若关于x的不等式f(x)>0在实数集R上恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式f(x)>(3m－1)x＋5. 解　(1)依题意，mx2＋mx＋3>0在实数集R上恒成立． ①当m＝0时，3>0，成立； ②当m≠0时，要使原不等式恒成立， 则解得0<m<12. 综上，0≤m<12， 故实数m的取值范围是{m|0≤m<12}． (2)不等式f(x)>(3m－1)x＋5， 等价于mx2＋(1－2m)x－2>0， 即(x－2)(mx＋1)>0. ①当m>0时，解得x>2或x<－； ②当m＝0时，不等式整理为x－2>0，解得x>2； ③当m<0时，方程(x－2)(mx＋1)＝0的两根为x1＝－，x2＝2. (ⅰ)当－>2，即－<m<0时，解得2<x<－； (ⅱ)当－＝2，即m＝－时，原不等式的解集为∅； (ⅲ)当－<2，即m<－时，解得－<x<2， 综上所述，当m<－时，原不等式的解集为； 当m＝－时，原不等式的解集为∅； 当－<m<0时，原不等式的解集为； 当m＝0时，原不等式的解集为{x|x>2}； 当m>0时，原不等式的解集为. 18. 受芯片制约的影响，中国自主创新的爆发力被激发．某企业原有500名技术人员，年人均投入a万元(a>0)，现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员x名(x∈N*)，调整后研发人员的年人均投入增加2x%，维护人员的年人均投入调整为a万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)若对任意100≤x≤200(x∈N*)，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数m的取值范围． 解　(1)调整后研发人员的年人均投入为(1＋2x%)a万元， 则(500－x)(1＋2x%)a≥500a(a>0)， 整理得0.02x2－9x≤0，解得0≤x≤450， 又因为x∈N*， 所以要使这(500－x)名研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为50. (2)(500－x)(1＋2x%)a≥xa，两边同时除以ax得≥m－， 整理得m≤＋＋9； 由a≥a， 解得m≥＋1， 故＋1≤m≤＋＋9(100≤x≤200，x∈N*)恒成立， ＋＋9≥2＋9＝19， 当且仅当＝， 即x＝100时等号成立，所以m≤19， 因为100≤x≤200，x∈N*， 所以当x＝200时，＋1取得最大值15， 所以m≥15， 所以15≤m≤19， 即实数m的取值范围为[15,19]． 19. 关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪ 答案　A 解析　不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R， 即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立， 即a≥max， 当x＝0时，a≥0， 当x≠0时，a≥＝， 因为≤＝，当且仅当|x|＝，即|x|＝，即x＝±时，等号成立， 所以a≥，综上所述，a∈. 20. (2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时，f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1] B.[-2，1] C.[-1，2] D.[-1，+∞) 答案　B 解析　f(x)=x|x-a|-2a2= 若a>2，当2<x<a时，f(x)=-x2+ax-2a2，此时关于x的方程-x2+ax-2a2=0的Δ=a2-4×2a2=-7a2<0， 所以f(x)<0，不符合题意； 若0<a≤2，当x>2时，f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0，解得x>2a， 则2a≤2，即0<a≤1； 若a=0，当x>2时，f(x)=x2>0恒成立，符合题意； 若a<0，当x>2时，f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0，解得x>-a， 则-a≤2，即-2≤a<0. 综上，-2≤a≤1，故实数a的取值范围是[-2，1]. 21. (多选)(2026·芜湖模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>0的解集为A={x|m<x<n}(其中m<n)，关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>-2的解集为B={x|p<x<q}(其中p<q)，则(　　) A.A∩B=B B.(A∪B)⊆B C.m+n=p+q D.当b<-2时，+的最小值为3 答案　BC 解析　因为关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>0的解集为A={x|m<x<n}(其中m<n)， 所以二次函数y1=ax2-2ax+b与x轴有两个交点且a<0，交点坐标分别为(m，0)，(n，0)(m<n)， 又关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>-2的解集为B={x|p<x<q}(其中p<q)， 所以二次函数y2=ax2-2ax+b+2与x轴有两个交点且a<0，交点坐标分别为(p，0)，(q，0)(p<q)， 又二次函数y2=ax2-2ax+b+2的图象是由y1=ax2-2ax+b的图象向上平移2个单位长度得到的， 且y1=ax2-2ax+b的图象开口向下，对称轴为直线x=1， 由于无法确定b的值，故只能得到y1=ax2-2ax+b与y2=ax2-2ax+b+2的大致图象，如图(这里只列出其中一种)， 所以p<m<1<n<q， 则A⊆B，所以A∩B=A，A∪B=B， 所以A∪B=B⊆B，故A错误，B正确； 又m+n=2，p+q=2，所以m+n=p+q，故C正确； 因为p，q为关于x的方程ax2-2ax+b+2=0(a<0)的两根， 所以p+q=2，pq=， 又b<-2，所以b+2<0，所以pq=>0， 所以p>0，q>0， 所以+=+=++1≥2+1=3，当且仅当=，即p=q=1时取等号， 又p<q，所以+>3，故D错误. 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第6讲 一元二次方程、不等式 知识梳理 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式 的解集 {x|x<x1或x>x2} R 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 常用结论 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 探究核心题型 考点一 求解一元二次不等式 命题点1 不含参数的不等式 例1 （2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 例2 (多选)下列选项中，正确的是(　　) A.不等式-2x2+x≤-3的解集为 B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R，则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 命题点2 含参的不等式 例3 （2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（    ） A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0 例4 已知函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3. (1)若不等式f(x)>0的解集为{x|－1<x<3}，求a，b的值； (2)若b＝－a，求不等式f(x)≤1的解集． 例5. 设函数f(x)＝ax2－(1＋a)x＋1. (1)若a＝－2，解不等式f(x)>0； (2)若a>0，解关于x的不等式f(x)<0. 跟踪训练 1 (多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 2. 解关于x的不等式mx2+(1-m)x+m-2≤m-1(m∈R). 3. 解关于x的不等式ax2+x+1>0，a∈R. 考点二 三个二次之间的关系 例1. (多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－4或x≥5}，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－5} C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D．a＋b＋c>0 例2. (多选)(2026·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-∞，1)∪(5，+∞)，则下列结论正确的是(　　) A.a>0 B.a+b+c>0 C.bx+c>0的解集是 D.cx2-bx+a<0的解集是 例3. 若关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，则实数a的取值范围是(　　) A.-<a< B.a> C.a<- D.-<a<0 跟踪训练 1. 若方程x2－4x＋a＝0的两根都在区间(1，＋∞)内，则实数a的取值范围是________． 2. (2025·苏州模拟)下列命题正确的是(　　) A.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x>1或x<-3}，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点为A(-3，0)，B(1，0) B.若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x>3或x<-1}，则cx2+bx+a>0的解集为 C.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则a>0且b2-4ac<0 D.若关于x的不等式ax2+bx+c>0(abc≠0)的解集与不等式a1x2+b1x+c1>0(a1b1c1≠0)的解集都是R，则== 3. (多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3 C．－1<x1<x2<3 D．x2－x1>4 考点三 一元二次不等式恒成立、能成立问题 例1. 已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立，求x的取值范围． 例2. 已知函数f(x)=mx2-(m-1)x+m-1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R，求实数m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求实数m的取值范围； (3)若存在m∈(0，2)，使不等式f(x)>2成立，求x的取值范围. 跟踪训练 1. 已知y=x2+2(a-2)x+4. (1)如果存在x∈R，y<0成立，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得对任意x∈{x|-3≤x≤1}，y<0恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. 2. 已知函数f(x)＝x2－3x＋a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若f(x)<0在x∈(－1,2)上恒成立，求实数a的取值范围． 考点四 一元二次不等式实际运用 例1. (北师大版必修第一册P39例6)为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500. (1)设袁阳每月获得的利润为w(单位：元)，写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系. (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果袁阳想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 跟踪训练 1. 某化学试剂生产厂以x kg/h的速度运输生产某种产品(生产条件要求边生产边运输，且1≤x≤10)，每小时可获得利润100元. (1)要使运输生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围. (2)要使运输生产900 kg该产品获得的利润最大，该工厂应该选取何种运输生产速度？并求最大利润. 2. 某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C=500+30x，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是(　　) A.[20，30] B.[20，45] C.[15，30] D.[15，45] 课时对点精练 一、单项选择题 1．(2026·南昌模拟)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，则A∩B等于(　　) A．{x|－1<x≤3} B．{x|x≤3或x>4} C．{x|－2≤x≤4} D．{x|－2≤x≤－1} 2．(2025·南昌模拟)设x∈R，则“|2x-1|≤x”是“x2+x-2≤0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．（2020·全国I卷·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 4．设p：实数m满足-1<m<0，q：一元二次方程x2+3x+m+1=0有两个负数根，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2} C．{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2} 6．(2026·济南模拟)若∃x∈R，mx2+2(m-3)x+4≤0，则实数m的取值范围为(　　) A.(1，9) B.(-∞，0) C.(-∞，1)∪(9，+∞) D.(-∞，1]∪[9，+∞) 二、多项选择题 7．(2026·常州模拟) 对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为(　　) A．∅ B．(－1，a) C．(a，－1) D．(a，＋∞) 8．关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-1，2)，则下列结论正确的是(　　) A.a<0 B.关于x的不等式bx+c>0的解集为(-∞，-2) C.4a-2b+c>0 D.关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为 9. 下列命题正确的是(　　) A.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小，则实数a的取值范围是(-2，1) B.若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1，2)上恒成立，则实数k的取值范围是(-∞，3) C.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则关于x的不等式>0的解集是{x|x>2或x<-1} D.若+=1(a>0，b>0)，则+的最小值为 10. 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　) A．a>0 B．c<0 C．a＋b>0 D．关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为{x|－3<x<－1} 三、填空题 11．甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(-3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(-3，4).那么原不等式的解集为　　　　.  12. 不等式≥2的解集为________． 13．(2025·南昌模拟)已知p：<0，q：x2-(a+1)x+a<0(a∈R)，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为　　　　　　.  四、解答题(共28分) 14．(苏教版必修第一册P69习题3.3 T13)如图，某房地产开发公司要在矩形地块ABCD上规划出一块矩形地块PQCR建造住宅区.为了保护文物，住宅区不能超越文物保护区△AEF的界线EF.由实地测量知，AB=200 m，AD=160 m，AE=60 m，AF=40 m.问：怎样设计矩形住宅区的长和宽，才能使其面积最大？最大面积是多少？ 15．已知函数f(x)＝ax2＋3x－2，且f(x)>0的解集为{x|b<x<2}(b<2)． (1)求a，b的值； (2)若对于任意的x∈[－1,2]，不等式f(x)≥2＋m恒成立，求实数m的取值范围． 16. (2025·天津北辰区模拟)已知关于x的不等式(a-1)x2-2bx-2<0的解集为{x|-1<x<2}. (1)求实数a，b的值；(4分) (2)若m≤0，求关于x的不等式amx2+(m-a)x-1≥0的解集；(7分) (3)若对任意实数x∈[1，2]，amx2+(m-a)x-1≥mx恒成立，求实数m的取值范围.(6分) 17. (2026·曲靖模拟) 已知函数f(x)＝mx2＋mx＋3，m∈R. (1)若关于x的不等式f(x)>0在实数集R上恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式f(x)>(3m－1)x＋5. 18. 受芯片制约的影响，中国自主创新的爆发力被激发．某企业原有500名技术人员，年人均投入a万元(a>0)，现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员x名(x∈N*)，调整后研发人员的年人均投入增加2x%，维护人员的年人均投入调整为a万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)若对任意100≤x≤200(x∈N*)，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数m的取值范围． 19. 关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪ 20. (2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时，f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1] B.[-2，1] C.[-1，2] D.[-1，+∞) 21. (多选)(2026·芜湖模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>0的解集为A={x|m<x<n}(其中m<n)，关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>-2的解集为B={x|p<x<q}(其中p<q)，则(　　) A.A∩B=B B.(A∪B)⊆B C.m+n=p+q D.当b<-2时，+的最小值为3 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $