第34讲直线与圆的方程、位置关系（知识清单+9典例精讲+6方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与圆的方程及位置关系核心考点，按“直线基础—位置关系—圆的性质—综合应用”逻辑梳理11个知识点，通过知识清单系统梳理、9类典例精讲、6大方法技巧总结及分层训练，构建完整复习体系，助力学生突破考点难点。 资料以“数学思维”和“数学眼光”为导向，创新设计解题大招如几何法判定位置关系、垂径定理求弦长等技巧，结合近3年真题变式训练，分层设置基础、拔高、错题复盘练习，确保学生高效掌握高考题型解法，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

第34讲直线与圆的方程、位置关系 （知识清单+9典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 直线与圆的位置关系、弦长最值计算 单选/多选题 5分/6分 直线与圆的方程、位置关系判定、参数求解 单选/填空/解答题 5分/12分 直线与圆的位置关系、距离最值问题 单选/解答题 5分/12分 直线与圆的位置关系、圆的几何性质应用 单选/解答题 12分 直线的方程、直线的倾斜角与斜率 单选题 5分 圆的标准方程、直线与圆的位置关系 单选/多选/解答题 5分/6分/12分 【知识点01】直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量 【例1】求过点，的直线的一个方向向量，并写出该直线斜率对应的标准方向向量。 解：由两点坐标求向量：，该向量即为直线一个方向向量； 计算直线斜率：； 根据斜率写标准方向向量：，也可同乘3化为整数。 【知识点02】直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 【例2】判断下列直线倾斜角大小：①水平直线；②竖直直线；③从左下到右上的直线。 解：①直线平行于x轴，倾斜角； ②直线垂直于x轴，倾斜角； ③从左下到右上的直线，倾斜角为锐角，即。 【知识点03】直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.(α≠90°)  (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. 【例3】已知直线倾斜角为135°，求直线斜率；直线过，求直线斜率。 解：倾斜角求斜率：； 两点求斜率：。 【知识点04】直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 【例4】已知直线倾斜角为135°，求直线斜率；直线过，求直线斜率。 解：倾斜角求斜率：； 两点求斜率：。 【知识点05】两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0) 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 【例5】判断直线与的位置关系。 解：提取斜率：； 斜率乘积：； 结论：两条直线互相垂直。 【知识点06】三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 【例6】求点到直线的距离。 解：对应参数：； 代入公式：。 【知识点07】圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 【例7】求圆的圆心坐标和半径。 解：配方变形：，； 整理标准式：； 得出结果：圆心，半径。 【知识点08】点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 【例8】判断点与圆的位置关系。 解：代入点坐标：； 对比半径平方：，； 结论：点在圆内。 【知识点09】直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 【例9】判断直线与圆的位置关系。 解：提取参数：圆心，半径； 求圆心到直线距离：； 大小对比：； 结论：直线与圆相交。 【知识点10】圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 【例10】圆，圆，判断两圆位置关系。 解：提取参数：；； 计算圆心距：； 半径和差：； 对比得：，两圆外切。 【知识点11】直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 【例11】求直线被圆截得的弦长。 解：基础参数：圆心，半径； 求圆心到直线距离：； 代入弦长公式：； 结论：弦长为4。 【题型一】直线方向向量、倾斜角与斜率综合题 【例1】（2026·宁夏吴忠·二模）已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解. 【详解】直线的斜率为，又因为直线的一个方向向量为，所以该直线的斜率也为，故. 故选：C. 【变式1】（多选）已知直线，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线的斜率为 C．直线不经过第三象限 D．直线的一个方向向量为 【答案】CD 【分析】由直线，可以得到直线的斜率和倾斜角，从而判断A和B的正误；通过计算直线的斜率和截距，从而判断是否经过第三象限，判断C选项的正误；取直线上两点，得到直线的一个方向向量，从而判断D选项的正误. 【详解】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误； 因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确； 取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确. 故选：CD 【变式2】（2026·广西柳州·二模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为_____. 【答案】 【分析】根据方向向量计算出直线的斜率，再由可求倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以斜率 ， 设倾斜角为，则，所以. 故答案为： 【变式3】（2025·上海静安·一模）已知直线与，则直线与的夹角大小是___________． 【答案】/ 【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线倾斜角的大小求出两条直线的夹角. 【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 所以直线与的夹角. 故答案为：. 【题型二】直线方程五种形式 【例2】已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得直线的方程，代入点的坐标，可求的值. 【详解】因为直线在轴上的截距是1，所以过点， 又直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：，即直线方程为， 又直线过点，所以，解得． 故选：D. 【变式1】（2026·江西宜春·一模）已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】分析充分性： 已知，设直线的方程为：， 当时，，在轴上的截距为， 当时，，在轴上的截距为， 所以直线在两坐标轴上的截距相等，即充分性成立； 分析必要性： 已知直线在两坐标轴上的截距相等，分两种情况： （1）截距不为0时，设两截距均为，则直线方程为，即，此时斜率； （2）截距为0时，直线过原点，此时斜率不一定为. 所以必要性不成立. 【变式2】△ABC中，A（3，－1），AB边上的中线CM所在直线方程为：6x＋10y－59=0，∠B的平分线方程BT为：x－4y＋10=0，求直线BC的方程. 【答案】. 【详解】试题分析：设则的中点在直线上和点在直线上,得,求得,再根据到角公式，求得，进而求得直线的方程． 试题解析： 设则的中点在直线上,则 ,即…………………①, 又点在直线上,则…………………②联立①②得,, 有直线平分,则由到角公式得,得 的直线方程为:. 【变式3】已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． 【详解】（1）由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. （3）由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【题型三】两条直线位置关系判定 【例3】（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】是的充要条件. 【变式1】（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【详解】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 【变式2】若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为______. 【答案】1 【分析】由题得，再利用基本不等式求解. 【详解】解：依题意得，所以， 即，，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1. 故答案为：1 【变式3】“”是“直线和直线平行”的______条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分又不必要”) 【答案】充分不必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义以及直线平行的性质，即可得到结论． 【详解】若“”则直线和直线平行，即充分性成立， 若，直线和直线平行为和直线不平行， 若，若直线和直线平行，则， 即，解得或 ，经检验或均满足，即必要性不成立， 故“”是直线和直线平行的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键． 【题型四】三类距离公式计算题 【例4】在中，设点，利用二次函数知识可确定出到的3个顶点距离的平方和最小的点为的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】A 【分析】设点，根据两点间的距离公式，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设点，其中， 则 当且时，取得最小值， 此时点为重心. 故选：A. 【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【答案】 【详解】，， 因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上， 设中位线的方程为， 根据平行线间的距离公式可得到的距离为，到的距离为， ，解得，即， 当时，代入可得，即到直线和的距离相等. 【变式2】（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为_____． 【答案】/0.08 【分析】设整点，由点到线的距离公式，得到是5的倍数，进而可求解. 【详解】设整点，则， ，，， ，是5的倍数， ，，． 故答案为： 【变式3】已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点. (1)求AB边所在的直线方程； (2)求中线AM的长 (3)求AB边的高所在直线方程. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程； （2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得； （3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】（1）法一：由两点式写方程得，即； 法二：直线的斜率为， 直线的方程为，即； （2）设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故， 所以； （3）直线AB的斜率为， 所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为， 故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：. 【题型五】圆的方程求解（一般式与标准式互化） 【例5】（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【详解】由， 得， 可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 【变式1】（2025·北京海淀·一模）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而得出圆心坐标，将其代入直线中得出，从而将目标转化为求二次函数的最小值. 【详解】可化为，故圆心为， 因直线经过圆心，则， 则，此二次函数开口朝上，对称轴方程为， 故其最小值为. 故选：B 【变式2】（多选）设O为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】BC 【分析】对于A，整理圆的方程为标准方程，明确圆心与半径，可得答案； 对于B，由题意，将圆心代入直线方程，求得参数，可得答案； 对于C，利用点到直线的距离公式求得三角形的高，结合三角形的面积公式，可得答案； 对于D，根据两点求得斜率，利用垂直直线斜率的关系，可得答案. 【详解】由圆的方程， 则，所以圆心，半径， 易知，故A错误； 将代入直线方程，则，解得，故B正确； 将代入直线方程，整理可得直线方程， 原点到直线的距离，且此为底上的高， 所以，故C正确； 由与，则直线的斜率， 由直线方程，则直线斜率， 由，则与不垂直，故D错误. 故选：BC. 【变式3】（2025·上海浦东新·二模）设圆方程为，则圆的半径为____________． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆的半径. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，故圆的半径为. 故答案为：. 【题型六】点与圆的位置关系判断 【例6】（2026·吉林·二模）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 【变式1】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 【变式2】（多选）（2026·河南·三模）已知点，，为圆：上一点，则（    ） A．点在圆外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】由点与圆的位置关系以及两点间的距离求解即可. 【详解】对于A， ，所以在圆外，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，当时，，，，C错误； 对于D，设，则，故 ， ，所以 ， 当且仅当 时取等，D正确． 【变式3】（2024·广西南宁·二模）若过点可作圆的两条切线，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由方程表示圆可得，由题意可得点在圆外，可得，可求的取值范围. 【详解】由表示圆，则，所以， 又过点可作圆的两条切线， 所以点在圆外，所以，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【题型七】直线与圆位置关系判定 【例7】（2024·河北衡水·模拟预测）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 【变式1】（2026·广东清远·二模）（多选）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可得直线的斜率， 设直线方程为， 因为直线与圆相切，所以， 所以直线的方程为或. 【变式2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知集合，，则的子集个数为_________. 【答案】4 【分析】根据直线与圆的位置关系求出集合的元素个数，再求解子集个数即可. 【详解】集合表示直线上点的集合，集合表示圆上点的集合. 圆的圆心坐标为，半径为3， 点到直线的距离为, 所以直线与圆相交， 所以共有2个元素，所以的子集个数为. 故答案为：4. 【变式3】已知直线l：，圆C：，写出一个与直线l和圆C都相切且半径为的圆的标准方程______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合题意，判定该直线与圆相切，找到满足与该直线和该圆外切和内切的圆即可. 【详解】易知圆C：的圆心为，半径为， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l和圆C相切． 易知过圆心C且与l垂直的直线方程为，联立方程得，解得， 所以直线l与圆C的切点的坐标为， 易得点关于圆心的对称点的坐标为，于是符合条件的一个圆的标准方程为；（此时两圆相内切）. 点关于点的对称点的坐标为，因此符合条件的另一个圆的标准方程为；（此时两圆外切，且在直线l的两侧）. 过点且与直线l：平行的直线方程为， 设所求圆的圆心为，由，解得， 所以圆心为或， 于是得符合条件的圆的标准方程为或．（此时两圆外切，且在直线l的同侧）. 故答案为：，或， 或，或． （答案不唯一，只需写出一个圆的标准方程即可）. 【题型八】圆与圆位置关系判定 【例8】（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【答案】B 【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可. 【详解】圆即，圆心为，半径为； 圆即，圆心为，半径为； 圆心距为，因为，所以两个圆外离. 故选：B 【变式1】（2024·山西阳泉·三模）（多选）已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BD 【分析】由题意可得以为直径的圆与圆相内切或外切，得出该圆圆心与半径后，结合圆与圆的位置关系计算即可得. 【详解】若圆上仅存在一点使，则以为直径的圆与圆相内切或外切， 由，则以为直径的圆的圆心为，半径为， 则有或， 分别解得或，故或， 故B、D正确，A、C错误. 故选：BD. 【变式2】已知圆的圆心在直线上，点与都在圆上，圆，则与的位置关系是___________. 【答案】相交 【分析】利用待定系数法求得圆的标准方程，求出圆心距，与两圆的半径和、差比较即可得出结论. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，且该圆经过与两点， 列方程组，解得， 即圆的标准方程为，圆心，半径， 又圆，圆心，半径， ∴，又，，而， ∴与的位置关系是相交. 故答案为：相交. 【变式3】已知圆，点，. (1)若圆上存在点满足，求半径的取值范围； (2)对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系可得以为直径的圆的方程为，即可根据两圆位置关系求解. （2）根据中点坐标公式得到，，再将两点的坐标代入圆方程，建立方程组，根据方程组有解转化为圆与圆的位置关系进行求解． 【详解】（1）的中点为，所以以为直径的圆的方程为， 由于圆上存在点满足， 则P在以为直径的圆上，故该圆与有交点即可， 所以,解得 （2）由题可知，圆，所以圆心， 直线， 因为为线段上的任意一点，所以设，，， 因为为的中点， 所以， 又因为，都在以点为圆心的圆上， 所以，即， 所以方程组有解，即为圆心为半径的圆与为圆心为半径的圆有公共点，两圆圆心距离为， 所以对恒成立， 因为时，，所以，解得， 又因为在圆外，所以恒成立，所以，，所以， 所以， 【题型九】直线截圆弦长计算 【例9】（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆，圆. 展开圆：，即. 两圆方程相减得公共弦：. 圆心到直线的距离：. 圆半径，弦长. 【变式1】（2026·天津滨海新区·三模）圆与圆的公共弦长为__________． 【答案】 【分析】两圆的方程相减，求得公共弦所在的直线方程为，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆与圆， 两圆的方程相减，可得，即， 即圆与的公共弦所在的直线方程为， 又由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 【变式2】（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 【变式3】已知圆：和： (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由圆心距与两圆半径的和、差比较可得； （2）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，由勾股定理求弦长． 【详解】（1）标准方程是，，， 标准方程是，，， ，显然， 所以两圆相交． （2）两圆方程相减得，即为公共弦所在直线方程， 到直线的距离为， 所以公共弦长． 【解题大招01】斜率快速解题法（直线倾斜角、位置关系通用） 倾斜角与斜率对应关系：，斜率为正且单调递增；，斜率为正且单调递增；斜率不存在。 两直线垂直速判：斜率存在时；一条斜率为0、一条斜率不存在，两直线直接垂直。 避坑关键：所有直线题型，优先讨论斜率不存在的特殊情况，避免漏解。 【例题01】求过点，且与直线垂直的直线方程。 解：已知直线斜率，所求直线与它垂直，故所求直线斜率； 直线斜率存在，代入点斜式：； 整理为一般式：； 【解题大招02】直线方程巧设技巧（减少计算量） 过定点：常设，务必单独验证x=x₀这条竖直线； 与已知直线平行：直接设； 与已知直线垂直：直接设，无需算斜率。 【例题02】求与直线平行，且过点的直线方程。 解：平行直线直接设方程：； 代入点坐标：，解得； 直线方程：。 【解题大招03】三类距离公式速算技巧 点到直线距离：永远带绝对值，分母恒为根号下x、y系数平方和； 两平行线距离硬性前提：必须先将两条直线x、y系数化为完全一致，再代入公式； 选择填空口算技巧：结果必须分母有理化，不可保留根号在分母。 【例题03】求两条平行线，之间的距离。 解：统一系数：将同乘2，变为； 代入平行线距离公式：； 【解题大招04】圆的方程快速求法（待定系数法+配方法） 已知圆心、半径：优先用标准方程； 已知圆上三点：优先用一般方程； 一般式转标准式：分组配方，x、y分别配方，常数移到右侧。 【例题04】求圆的圆心与半径。 解：分组：； 配方：； 整理标准式：； 结果：圆心，半径。 【解题大招05】位置关系几何判定法（首选，秒杀代数联立） 方法核心（考试万能优先级：几何法>代数法） 点与圆：直接代点，比较点到圆心距离d和半径r； 直线与圆：算圆心到直线距离d，相离，相切，相交； 圆与圆：算圆心距d，对比两圆半径和、半径差。 【例题05】判断直线与圆的位置关系。 解：提取参数：圆心，半径； 求圆心到直线距离：； 对比大小：，即，直线与圆相交。 【解题大招06】垂径定理求弦长（必考核心方法） 直角三角形模型：圆心、弦中点、弦端点构成直角三角形，半径为斜边 弦长万能公式：（d为圆心到直线距离，r为圆半径） 【例题06】直线截圆，求所得弦长。 解：基础参数：圆心，半径； 求距离：，直线过圆心，为直径； 代入公式：； 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】先根据点与圆的位置关系得出，再根据点到直线距离公式判断出直线与圆的位置关系． 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为， 因为点在圆外， 所以，则， 到直线的距离， 所以直线与圆相交． 2．（2026·湖南·二模）过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】过点且倾斜角为的直线，即． ∵圆，即， ∴圆心坐标为，圆心到直线l的距离， ∴直线被圆截得的弦长. 3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线的方向向量与垂直求出，再由点到直线的距离求解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 又与直线垂直，所以， 解得，所以直线， 所以到直线的距离为. 二、多选题 4．（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 三、填空题 5．（2026·江西·模拟预测）直线的倾斜角为________． 【答案】 【分析】根据给定方程，求出该直线斜率，结合诱导公式求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 而，所以. 故答案为： 6．（2026·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为__________． 【答案】 【分析】先由直线的法向量推导直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围，根据斜率与倾斜角的对应关系求解倾斜角. 【详解】已知是直线的一个法向量，可设直线的一般式方程为（为常数）， 将其化为斜截式即，因此直线的斜率， 设直线的倾斜角为，其中，由斜率的定义可得， 因为，故，因此. 四、解答题 7．已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【详解】（1）由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 8．已知圆. (1)若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若圆与圆C相切，求实数m的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况； （2）分内切和外切，结合公式，列式求值. 【详解】（1）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C相切，符合题意. 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即， 则，解得，所以直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. （2）圆的方程可化为. 若圆与圆C外切，则，解得. 若圆与圆C内切，则，解得. 综上，或. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 2．（2026·河南开封·模拟预测）过点的直线与曲线（）有两个交点，则直线斜率的最大值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线， 曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示）， 设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点， 则应位于直线和切线之间，所以， 所以斜率的最大值为 3．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先由圆方程得圆心与半径，借助垂径定理用圆心到直线距离表示弦长，进而写出的面积解析式；利用基本不等式得到面积最大时，设过原点直线斜截式方程，代入点到直线距离公式列方程，求解得到直线斜率． 【详解】由题意得圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 若的斜率不存在，则的方程为，， 若的斜率存在，设的方程为，即， 所以，即， 整理得，解得，， 综上，直线的斜率为或． 二、多选题 4．（2026·山西忻州·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆，．直线与两个圆均有公共点．记直线被，截得的弦长分别为，．则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若，则或 D．存在直线，使得 【答案】ABCD 【分析】由题意可将，到直线的距离分别表示出来，从而得到弦长，，再逐一分析四个选项即可. 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为．直线化为． 两个圆心到直线的距离分别为，． 两圆的半径均为1，故弦长满足． 对于A，当时，，所以．故A正确； 对于B，当时，，所以．故B正确； 对于C，若，则，即，化简得． 所以或．故C正确； 对于D，若取直线，则该直线经过两个圆的圆心，此时， 故．故D正确． 三、填空题 5．（2026·四川资阳·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy中，直线过定点A，以原点为圆心的圆O过点A，不与x轴垂直的直线与圆O交于B，C两点，若，则直线的纵截距为________． 【答案】 【分析】求出点坐标，再由正三角形性质求出弦中点坐标并求出直线的方程即可. 【详解】直线，即，则，    由，得是圆的内接正三角形，连接并延长交于， 则，即点，直线的斜率为，且， 因此直线的斜率为，方程为，即， 所以直线的纵截距为. 四、解答题 6．已知圆. (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； (2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，且有（为坐标原点），求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由圆的方程可确定圆心和半径，设切线方程为，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得的值，由此可得切线方程； （2）设，根据，利用勾股定理和两点间距离公式可构造方程求得点轨迹为，则可确定所求最小值即为点到直线的距离，由此可得结果. 【详解】（1）由圆的方程可知：圆心，半径， 由题意可设圆的切线为：，即， 圆心到直线的距离，解得：或， 所求切线方程为：或. （2）设， 切线与半径垂直，， 又，， 整理可得：，则点在直线上， 的最小值即为点到直线的距离， . 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·内蒙古赤峰·三模）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】过原点且倾斜角为的直线方程为，即. 由，得，其圆心为，半径. 故圆心到直线的距离为， 则弦长为． 2．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知是的等差中项，若圆上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．2或-2 D．或 【答案】D 【分析】先根据等差中项性质得到的关系，再由圆上点到直线距离为1的点的个数确定圆心到直线距离，最后结合点到直线距离公式求出直线斜率. 【详解】 因为是的等差中项，所以，即， 由题意可得圆的圆心为，半径， 若圆上到直线距离为的点恰好有个， 则圆心到直线的距离， 根据点到直线的距离公式，圆心到的距离： ，又因为， 所以，整理得，即，， 所以 直线的斜率，因此，即. 二、多选题 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）记圆，圆，点，已知圆和圆相内切，且圆的半径大于圆的半径，是圆上两点，直线与圆相切，设与圆的另一个交点分别为，则（    ） A． B．​ C．当且仅当 D． 【答案】BCD 【分析】对A直接由两圆相内切得，所以A错误；对B由圆的弦长公式及三角形的中位线定理可得；对D由圆心角与圆周角的关系可得；对C由正弦定理并结合BD选项解析可得. 【详解】对于A，圆，圆心，半径， 整理圆， 圆心，半径. 两圆相内切且半径大于半径，圆心距，得， 因此，解得，故选项A 错误； 对于B，由A选项分析知时，圆方程为，点在圆上， 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 则圆到直线的距离，所以， 则圆到直线的距离，， 所以，即为的中点， 同理得为的中点，得，所以. 若直线的斜率不存在，则，点仍为的中点， 同理得为的中点，得，所以. 综上所述，，所以B正确； 对于D，根据圆周角与圆心角的关系，且（当直线过圆心时，）， 所以，故D正确； 对于C，当时，由B选项解析知， 在中，由正弦定理得， 得或， 由D选项解析可知，所以. 当时，在中由正弦定理|， 得，故，故C正确. 三、填空题 4．（2026·河北沧州·一模）已知过原点的直线与圆交于两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 【答案】 【分析】先求得圆的圆心和半径，然后求得弦中点的轨迹，进而求得轨迹的长度. 【详解】圆，即， 所以圆心，半径， 设，， 由，得， ， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，在圆内部的部分， ，所以圆与圆相交， 由两式相减并化简得， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆（右半圆）， 所以轨迹长度为. 故答案为： 四、解答题 5．已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程． (2)过直线：上的点作圆的切线，，切点分别为，． ①求四边形面积的最小值； ②当四边形的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设圆心和半径得出标准方程，再利用已知两点在圆上及圆心所在直线列方程组，求出圆心坐标及半径，进而求出圆的方程； （2）利用圆的几何性质，结合点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系求出面积最小值；当四边形面积最小是，求出所在直线方程，进而求出点坐标，从而求出为直径的圆的方程，联立两圆方程求出交点所在直线方程． 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，则圆的标准方程为（）， 圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上， ，解得 圆的标准方程为． （2） ①圆心到直线的距离， 由（1）可知圆的半径，则， 四边形的面积， 四边形面积的最小值为； ②当四边形的面积最小时，直线的方程为， 由，得，即的坐标为， ，， ，在以为直径的圆上， ，， 设为直径的圆的圆心为，半径为，则标准方程为， ， 为直径的圆的方程为， ，在圆上， 直线的方程为，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第34讲直线与圆的方程、位置关系 （知识清单+9典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 直线与圆的位置关系、弦长最值计算 单选/多选题 5分/6分 直线与圆的方程、位置关系判定、参数求解 单选/填空/解答题 5分/12分 直线与圆的位置关系、距离最值问题 单选/解答题 5分/12分 直线与圆的位置关系、圆的几何性质应用 单选/解答题 12分 直线的方程、直线的倾斜角与斜率 单选题 5分 圆的标准方程、直线与圆的位置关系 单选/多选/解答题 5分/6分/12分 【知识点01】直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量 【例1】求过点，的直线的一个方向向量，并写出该直线斜率对应的标准方向向量。 【知识点02】直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 【例2】判断下列直线倾斜角大小：①水平直线；②竖直直线；③从左下到右上的直线。 【知识点03】直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.(α≠90°)  (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. 【例3】已知直线倾斜角为135°，求直线斜率；直线过，求直线斜率。 【知识点04】直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 【例4】已知直线倾斜角为135°，求直线斜率；直线过，求直线斜率。 【知识点05】两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0) 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 【例5】判断直线与的位置关系。 【知识点06】三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 【例6】求点到直线的距离。 【知识点07】圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 【例7】求圆的圆心坐标和半径。 【知识点08】点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 【例8】判断点与圆的位置关系。 【知识点09】直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 【例9】判断直线与圆的位置关系。 【知识点10】圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 【例10】圆，圆，判断两圆位置关系。 【知识点11】直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 【例11】求直线被圆截得的弦长。 【题型一】直线方向向量、倾斜角与斜率综合题 【例1】（2026·宁夏吴忠·二模）已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1】（多选）已知直线，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线的斜率为 C．直线不经过第三象限 D．直线的一个方向向量为 【变式2】（2026·广西柳州·二模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为_____. 【变式3】（2025·上海静安·一模）已知直线与，则直线与的夹角大小是___________． 【题型二】直线方程五种形式 【例2】已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江西宜春·一模）已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】△ABC中，A（3，－1），AB边上的中线CM所在直线方程为：6x＋10y－59=0，∠B的平分线方程BT为：x－4y＋10=0，求直线BC的方程. 【变式3】已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【题型三】两条直线位置关系判定 【例3】（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【变式2】若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为______. 【变式3】“”是“直线和直线平行”的______条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分又不必要”) 【题型四】三类距离公式计算题 【例4】在中，设点，利用二次函数知识可确定出到的3个顶点距离的平方和最小的点为的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【变式2】（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为_____． 【变式3】已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点. (1)求AB边所在的直线方程； (2)求中线AM的长 (3)求AB边的高所在直线方程. 【题型五】圆的方程求解（一般式与标准式互化） 【例5】（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·北京海淀·一模）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 【变式2】（多选）设O为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【变式3】（2025·上海浦东新·二模）设圆方程为，则圆的半径为____________． 【题型六】点与圆的位置关系判断 【例6】（2026·吉林·二模）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【变式2】（多选）（2026·河南·三模）已知点，，为圆：上一点，则（    ） A．点在圆外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【变式3】（2024·广西南宁·二模）若过点可作圆的两条切线，则的取值范围是______． 【题型七】直线与圆位置关系判定 【例7】（2024·河北衡水·模拟预测）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【变式1】（2026·广东清远·二模）（多选）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知集合，，则的子集个数为_________. 【变式3】已知直线l：，圆C：，写出一个与直线l和圆C都相切且半径为的圆的标准方程______． 【题型八】圆与圆位置关系判定 【例8】（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【变式1】（2024·山西阳泉·三模）（多选）已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知圆的圆心在直线上，点与都在圆上，圆，则与的位置关系是___________. 【变式3】已知圆，点，. (1)若圆上存在点满足，求半径的取值范围； (2)对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求的取值范围. 【题型九】直线截圆弦长计算 【例9】（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·天津滨海新区·三模）圆与圆的公共弦长为__________． 【变式2】（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【变式3】已知圆：和： (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 【解题大招01】斜率快速解题法（直线倾斜角、位置关系通用） 倾斜角与斜率对应关系：，斜率为正且单调递增；，斜率为正且单调递增；斜率不存在。 两直线垂直速判：斜率存在时；一条斜率为0、一条斜率不存在，两直线直接垂直。 避坑关键：所有直线题型，优先讨论斜率不存在的特殊情况，避免漏解。 【例题01】求过点，且与直线垂直的直线方程。 【解题大招02】直线方程巧设技巧（减少计算量） 过定点：常设，务必单独验证x=x₀这条竖直线； 与已知直线平行：直接设； 与已知直线垂直：直接设，无需算斜率。 【例题02】求与直线平行，且过点的直线方程。 【解题大招03】三类距离公式速算技巧 点到直线距离：永远带绝对值，分母恒为根号下x、y系数平方和； 两平行线距离硬性前提：必须先将两条直线x、y系数化为完全一致，再代入公式； 选择填空口算技巧：结果必须分母有理化，不可保留根号在分母。 【例题03】求两条平行线，之间的距离。 【解题大招04】圆的方程快速求法（待定系数法+配方法） 已知圆心、半径：优先用标准方程； 已知圆上三点：优先用一般方程； 一般式转标准式：分组配方，x、y分别配方，常数移到右侧。 【例题04】求圆的圆心与半径。 【解题大招05】位置关系几何判定法（首选，秒杀代数联立） 方法核心（考试万能优先级：几何法>代数法） 点与圆：直接代点，比较点到圆心距离d和半径r； 直线与圆：算圆心到直线距离d，相离，相切，相交； 圆与圆：算圆心距d，对比两圆半径和、半径差。 【例题05】判断直线与圆的位置关系。 【解题大招06】垂径定理求弦长（必考核心方法） 直角三角形模型：圆心、弦中点、弦端点构成直角三角形，半径为斜边 弦长万能公式：（d为圆心到直线距离，r为圆半径） 【例题06】直线截圆，求所得弦长。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 2．（2026·湖南·二模）过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题 4．（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 三、填空题 5．（2026·江西·模拟预测）直线的倾斜角为________． 6．（2026·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为__________． 四、解答题 7．已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 8．已知圆. (1)若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若圆与圆C相切，求实数m的值. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 2．（2026·河南开封·模拟预测）过点的直线与曲线（）有两个交点，则直线斜率的最大值为（   ） A． B．2 C． D．4 3．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 4．（2026·山西忻州·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆，．直线与两个圆均有公共点．记直线被，截得的弦长分别为，．则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若，则或 D．存在直线，使得 三、填空题 5．（2026·四川资阳·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy中，直线过定点A，以原点为圆心的圆O过点A，不与x轴垂直的直线与圆O交于B，C两点，若，则直线的纵截距为________． 四、解答题 6．已知圆. (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； (2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，且有（为坐标原点），求的最小值． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·内蒙古赤峰·三模）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．1 D． 2．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知是的等差中项，若圆上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．2或-2 D．或 二、多选题 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）记圆，圆，点，已知圆和圆相内切，且圆的半径大于圆的半径，是圆上两点，直线与圆相切，设与圆的另一个交点分别为，则（    ） A． B．​ C．当且仅当 D． 三、填空题 4．（2026·河北沧州·一模）已知过原点的直线与圆交于两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 四、解答题 5．已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程． (2)过直线：上的点作圆的切线，，切点分别为，． ①求四边形面积的最小值； ②当四边形的面积最小时，求直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $