第3讲 不等式的性质与分式不等式高次不等式【6个核心题型归纳】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式性质、分式及高次不等式等核心考点，按比较大小、性质应用、范围求解、不等式判断、分式与高次不等式求解的逻辑层次构建知识体系，通过核心知识梳理、方法技巧提炼、真题例题精讲、分层巩固练习四个环节，帮助学生系统突破不等式难点。 讲义采用问题驱动与方法归纳相结合的教学策略，如在分式不等式教学中引导学生通过等价转化将分式化为整式不等式，在高次不等式中运用“奇穿偶不穿”数轴标根法培养数学思维，设置基础到综合的分层训练题。既提升学生符号运算与逻辑推理能力，又为教师提供清晰的复习进度把控方案。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第3讲 不等式的性质与分式不等式高次不等式 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 作差/作商法比较数（式）的大小 核心知识 作差法原理：；； 作商法原理：当时，；； 适用场景：代数式结构复杂、直接判断困难时，通过差或商的符号判断大小关系 方法技巧 1.作差法通用步骤：作差→变形（因式分解/配方/通分）→判断差的符号→得出大小关系 2.作商法适用条件：比较的两个数（式）均为正数，尤其适用于指数式、幂式比较 3.变形技巧： 因式分解：将差式分解为易判断符号的因式乘积 配方：将差式配成完全平方形式，利用非负性判断符号 通分/有理化：分式或根式作差后，通分或有理化处理 4.特殊情况处理：差式无法直接判断符号时，可代入特殊值辅助验证，再分情况讨论 【经典例题1】（2026·青海西宁·二模）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质以及特殊值求解. 【详解】选项A： 因为，，所以，错误. 选项B：. ，取，则，错误. 选项C： . 因为，，故，即，C正确. 选项D：取，满足，则左边，右边，，D错误. 【经典例题2】（2026·河北·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【详解】因圆锥与圆柱的表面积相等，则有， 整理得，因， 代入化简得 解得：，代入，可得， 因，， 则， 故. 【巩固练习1】（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，把不等式两边平方再作差即可判断；对于B，根据特殊值法即可判断；对于C，利用均值不等式即可判断；对于D，根据基本不等式即可判断. 【详解】对于A，因为，所以可得，，， 则，即， 所以，故A错误； 对于B，令，则，则，故B错误; 对于C，根据均值不等式，当且仅当时等号成立， 又因为，所以等号不成立，则，故C错误; 对于D，因为，所以，由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，而，所以等号不成立，则，故D正确. 故选：D 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则与的大小是__________． 【答案】 【分析】利用作差法求解即可 【详解】， ，， ， 故答案为： 【巩固练习3】（25-26高一上·北京·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】作差即可比较作答. 【详解】,故， 故选：C 【题型2】 不等式的性质与真假判断 核心知识 基本性质： 1.对称性： 2.传递性： 3.可加性：； 4.可乘性：；； 5.乘方/开方性：； 易错性质：（不恒成立，如）；（不恒成立，如） 方法技巧 1.性质逐一验证法：根据不等式的基本性质，逐条验证命题是否成立 2.举反例排除法：对错误命题，只需举出一个反例即可否定，适用于选择题 3.符号优先判断：判断含乘方、倒数的不等式时，先明确各数的正负，避免直接套用性质 4.等价变形法：将不等式变形为等价形式，再结合已知性质判断，如将变形为 【经典例题1】（2026·山东济宁·三模）（多选）已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】ACD 【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对 进行变形，然后利用基本不等式判断D. 【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ，将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确. 【经典例题2】（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，运用举反例的方法，逐一分析选项，判断在的条件下，各选项中的不等式是否一定成立. 【详解】选项A：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故A错误； 选项B：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故B错误； 选项C：因为函数 在上是单调递增函数，因此当 时，必有 ，该不等式恒成立，故C正确； 选项D：当 时，，不等式不成立，故D错误. 【巩固练习1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，所以， 所以由，因此选项A错误，选项D正确； 若，显然，，此时， 若，显然，，此时， 所以选项BC都不恒成立，所以选项BC都不正确. 【巩固练习2】（2026·陕西·模拟预测）（多选）如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】选项A和C，取反例求解即可；选项B，约掉即可；选项D，用作差法即可判断. 【详解】对于A：取，则，故A错误； 对于B：由，可知，所以，同除，得到，故B正确； 对于C：取，，此时，故C错误； 对于D：， 因为，所以；又，， 即，故，故D正确. 【巩固练习3】（2026·重庆·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD，举反例即可，对于C，利用不等式的基本性质即可证明. 【详解】对于A：当时，不等式不成立，故A错误； 对于B：取，则，故B错误； 对于C：因为，所以，即，故C正确； 对于D：取，则，故D错误. 【题型3】 由不等式的性质求和式/差式/商式的范围 核心知识 同向不等式可加性：； 异向不等式可减性：（等价于，再相加） 同向正数不等式可乘性：；可除性： 易错点：同向不等式只能相加，不能相减；同向正数不等式只能相乘，不能相除，需转化为加法/乘法形式 方法技巧 1.线性组合法：将目标式表示为已知不等式的线性组合，如已知，求的范围，通过设转化求解 2.分步推导法：先利用同向可加性求、的范围，再结合可乘性求目标式范围，避免直接多次相加导致范围扩大 3.变量分离法：将目标式中的变量分离，分别判断各部分的范围，再结合不等式性质推导 4.端点验证法：求出范围后，验证端点是否能取到，避免因多次使用不等式性质导致范围失真 【经典例题1】（24-25高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 【经典例题2】（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 【巩固练习1】（25-26高一下·河南商丘·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 【巩固练习2】（25-26高一下·山东德州·月考）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 【巩固练习3】（25-26高二上·北京朝阳·月考）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质求出范围. （2）将用表示出，再利用不等式的性质求出范围. 【详解】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 【题型4】 由已知不等式判断条件不等式 核心知识 已知条件不等式（如等），判断目标不等式是否成立，本质是对不等式性质的综合应用 核心逻辑：利用已知条件，结合不等式的对称性、传递性、可加性、可乘性等，推导目标不等式的符号或大小关系 方法技巧 1.性质链推导法：从已知条件出发，逐步利用不等式性质推导目标不等式，形成完整的逻辑链 2.特殊值代入法：代入符合已知条件的特殊值，验证目标不等式是否成立，快速排除错误选项 3.符号分析优先：先判断各变量的正负，再利用可乘性、倒数性质推导，如说明同号，可用于判断倒数不等式 4.等价变形法：将目标不等式变形为与已知条件相关的形式，如判断可变形为，结合已知的符号，只需判断的符号 【经典例题1】（2026·山东东营·二模）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】选项A利用函数的单调性判断；选项B余弦函数不单调，举反例；选项C根据不等式的性质确定；选项D利用函数的单调性判断. 【详解】函数在区间上单调递增， 因为，所以，选项A正确； ，时，，选项B错误； 若，，则，选项C正确； 函数在上单调递减，所以，选项D错误. 【经典例题2】（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质判断AB；取判断C；构造函数，借助函数单调性判断D. 【详解】对于A，由得，故，故，A选项错误； 对于B，由得，故，，B选项正确； 对于C，取，满足，，不满足，故错误； 对于D，令，，当时，显然成立， 当时，，亦成立，故函数在上单调递增， 故当时，，即，故D选项正确. 故选：BD 【巩固练习1】（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先根据对数的运算性质得，再根据不等式的性质和指数函数的单调性即可判断各选项. 【详解】由得， 对于A，当时，显然不成立，故A错误； 对于B，指数函数则上是减函数，由得，故B正确； 对于C，因为，所以，， 所以，， 由得，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D错误； 故选：BC. 【巩固练习2】（24-25高二下·江苏苏州·期末）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用不等式性质判断A；举反例判断B；根据比较式子的结构构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小判断CD. 【详解】对于A，因为，所以，即，正确； 对于B，当时，，错误； 对于C，设， 因为和为上的增函数， 所以函数在上递增， 因为，所以，所以， 即，正确； 对于D，设，则， 所以函数在上单调递减， 因为，所以， 所以， 即，正确. 故选：ACD 【巩固练习3】（2025·海南·三模）（多选）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于AD，可通过幂函数、指数函数的单调性判断；对于BC，可通过特殊值判断； 【详解】对于A，由函数单调递增，可知当，正确； 对于B，取，可得，错误； 对于C，取，显然不成立，错误； 对于D， 等价于，由指数函数单调递增可知：当，，所以成立，正确； 故选：AD 【题型5】 分式不等式 核心知识 定义：形如的不等式，其中 等价转化： 关键：分式不等式转化为整式不等式时，必须注意分母不为0的限制 方法技巧 1.等价转化法：将分式不等式转化为整式不等式（组）求解，注意保留分母不为0的条件 2.数轴标根法（穿针引线法）：将整式不等式的根标在数轴上，从右上方穿线，奇次根穿过，偶次根不穿过，快速写出解集 3.移项通分法：对含多个分式的不等式，先移项、通分，化为单个分式再求解，避免直接交叉相乘（易出错） 4.特殊情况处理：当分子或分母含参数时，需分类讨论分母的正负，避免直接乘除导致不等号方向错误 【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即为，故，故. 【经典例题2】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式等价于且， 解得. 即不等式的解集为. 【巩固练习1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为等价的整式不等式组求解. 【详解】由，得，即，整理得，即， 等价于，解得， 即原不等式的解集为. 【巩固练习2】（25-26高二下·江西抚州·期中）已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式不等式得或，根据图象的单调递增和递减区间，得到或的解集，分别求出两个不等式组的解集，得到原不等式的解集. 【详解】，或，即或. 由图可得，当或时，单调递增，则；当时，单调递减，则； 由，解得；由，解得. 不等式的解集为. 【巩固练习3】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式化简为，即，且. 解得或. 即不等式的解集 【题型6】 高次不等式 核心知识 定义：次数高于2次的整式不等式，形如 核心解法：因式分解+数轴标根法，将高次多项式分解为一次因式的乘积，再通过穿线法求解 关键：正确因式分解、判断各因式根的重数，以及最高次项系数的符号 方法技巧 1.因式分解法：将高次多项式分解为的形式，其中为根，为根的重数 2.数轴标根法步骤： 1.移项：将不等式化为的形式，且最高次项系数为正 2.标根：求出的所有根，标在数轴上 3.穿线：从数轴右上方开始穿线，奇次根穿过数轴，偶次根不穿过（“奇穿偶不穿”） 4.写解集：根据不等式符号，取数轴上方（）或下方（）的区间，注意时包含实根，时不包含 3.易错点规避：穿线前必须将最高次项系数化为正，否则穿线方向会错误；重根的处理要严格遵循“奇穿偶不穿” 4.含参数高次不等式：先因式分解，再根据根的大小分类讨论，画出数轴标根图求解参数范围 【经典例题1】（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得. 【详解】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 【经典例题2】（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求出不等式的解，再根据范围的包含关系判断条件关系. 【详解】即为， 故的解集为， 而为的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【巩固练习1】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）不等式的解集为______ 【答案】 【分析】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【详解】由“穿针引线法，奇穿偶不穿”作出函数的大致图象如下： 由函数图象可知，当或或时，， 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对因式分解，最后分类讨论即可求解. 【详解】由， 所以， 所以或， 解得：或， 解得：或或. 故选：A. 【巩固练习3】（25-26高一上·湖南常德·月考）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)或. (2)或 (3)或. 【分析】（1）利用因式分解求二次不等式的解集； （2）由分式不等式转化为二次不等式，然后求得解集； （3）利用因式分解求三次不等式解集. 【详解】（1）即， 则， ∴原不等式的解集为或. （2）即， 则， ∴原不等式的解集为或 （3）即， ∴， ∴， ∴， ∴原不等式的解集为或. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可. 【详解】不等式等价于，解得，即，所以原不等式的解集为，故B正确. 2．（2026·山东济宁·三模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 或， 所以. 3．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 4．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当，，时，，故A错误； 对于B，当，，时，，故B错误. 对于C，当，，时，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 5．（2026高三·全国·专题练习）设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，即； ，得，即，故A正确； 对于B，，由均值不等式得，即，，故B正确； 对于C、D ，，由均值不等式得，； ，即，故C错误，D正确. 6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形得到，即，且，，穿根法进行求解. 【详解】，即， 即， 因为恒成立，所以原不等式等价于， 即，且，， 可利用根法进行求解，如图：    解得或， 故原不等式的解集为． 故选：B． 7．（2026·山东聊城·二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可知要么都大于，要么都在内，再由分类讨论和两种情况，分别比较的大小，最后判断与的大小关系. 【详解】因为所以：若，则； 若，则，同理由可知与要么都大于，要么都在内， 因此，满足以下两种情况之一：；. 下面分类讨论： 情况一：， 此时，所以， 由得 因为，所以 又因为 ，故从而 由于时，函数单调递增，所以即 情况二：， 此时 ，所以 . 由得 因为，两边同除以 时不等号方向改变，故 又因为，所以从而 由于时，函数单调递减，所以即 综上，无论哪种情况，都有 所以正确选项是D. 8．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）下列各式大小比较中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质判断A；由三角函数的性质判断B；由对数的公式判断C；由对数函数和指数的单调性判断D. 【详解】对于A，因为， ， 由于，则， 即，故A错误； 对于B，由，则，而，则，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，， 则，故D正确. 9．（2026·北京昌平·二模）设，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用对数性质取特殊值可排除A，根据单调递减判断B不成立，再取特殊平方值否定C，最后由在上单调递增，结合得，确定D成立. 【详解】选项A：，取特殊值，，则，，原不等式不成立，故A错误. 选项B：指数函数在上单调递减，由，得，即，故B错误. 选项C：.取特殊值，，则，，，不等式不成立，故C错误. 选项D：正弦函数在上单调递增，由，得，即，不等式恒成立，故D正确. 10．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AB，利用不等式的性质可判断，对于C，使用作差法即可判断，对于D，结合余弦函数的单调性和奇偶性即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，，此时，故B错误； 对于C，， 因为，所以，即，又因为，所以， 因此，即，故C正确； 对于D，余弦函数在上单调递减，所以， 又因为函数为偶函数，所以，故D错误. 二、多选题 11．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】本题考查不等式的基本性质、幂函数的单调性，可通过性质推导或特值法验证选项. 【详解】选项A：由，两边同乘得， 结合，根据不等式性质：若，，则， 可得，即，所以选项A正确. 选项B：取特值，，，，则，， 此时，所以选项B错误. 选项C：已知，，设幂函数， 因为，所以幂函数在上单调递减， 根据幂函数的单调性，可得，所以选项C错误. 选项D：对进行通分：. 因为，所以，，，则. 所以，即，所以，所以选项D正确. 12．（2026高一·全国·专题练习）（多选题）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD； 【详解】对于A，由， 两式相加得，即，故A正确； 对于B，由，得，又， 两式相加得，即，故B正确； 对于CD，设， 所以，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，故C正确，D错误. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，不等式两边同除以，可得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C不正确； 对于D，令， 则，解得，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故D不正确. 14．（2026·贵州黔西南·二模）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先根据条件判断，再根据不等式的性质和函数的单调性比较大小. 【详解】由条件可知，，则，故A正确； ，故B正确； ，，所以，故C错误； 设，为增函数减函数=增函数，所以为增函数， 因为，所以，即，即，故D正确. 三、填空题 15．（25-26高一上·重庆·月考）不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】变形给定的不等式，再利用一元二次不等式求解. 【详解】不等式， 则，解得或，且， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 16．（24-25高一上·广西河池·期中）比较与的大小. 【答案】 【详解】 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第3讲 不等式的性质与分式不等式高次不等式 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 作差/作商法比较数（式）的大小 核心知识 作差法原理：；； 作商法原理：当时，；； 适用场景：代数式结构复杂、直接判断困难时，通过差或商的符号判断大小关系 方法技巧 1.作差法通用步骤：作差→变形（因式分解/配方/通分）→判断差的符号→得出大小关系 2.作商法适用条件：比较的两个数（式）均为正数，尤其适用于指数式、幂式比较 3.变形技巧： 因式分解：将差式分解为易判断符号的因式乘积 配方：将差式配成完全平方形式，利用非负性判断符号 通分/有理化：分式或根式作差后，通分或有理化处理 4.特殊情况处理：差式无法直接判断符号时，可代入特殊值辅助验证，再分情况讨论 【经典例题1】（2026·青海西宁·二模）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·河北·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【巩固练习1】（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则与的大小是__________． 【巩固练习3】（25-26高一上·北京·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【题型2】 不等式的性质与真假判断 核心知识 基本性质： 1.对称性： 2.传递性： 3.可加性：； 4.可乘性：；； 5.乘方/开方性：； 易错性质：（不恒成立，如）；（不恒成立，如） 方法技巧 1.性质逐一验证法：根据不等式的基本性质，逐条验证命题是否成立 2.举反例排除法：对错误命题，只需举出一个反例即可否定，适用于选择题 3.符号优先判断：判断含乘方、倒数的不等式时，先明确各数的正负，避免直接套用性质 4.等价变形法：将不等式变形为等价形式，再结合已知性质判断，如将变形为 【经典例题1】（2026·山东济宁·三模）（多选）已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 【经典例题2】（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·陕西·模拟预测）（多选）如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【巩固练习3】（2026·重庆·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 【题型3】 由不等式的性质求和式/差式/商式的范围 核心知识 同向不等式可加性：； 异向不等式可减性：（等价于，再相加） 同向正数不等式可乘性：；可除性： 易错点：同向不等式只能相加，不能相减；同向正数不等式只能相乘，不能相除，需转化为加法/乘法形式 方法技巧 1.线性组合法：将目标式表示为已知不等式的线性组合，如已知，求的范围，通过设转化求解 2.分步推导法：先利用同向可加性求、的范围，再结合可乘性求目标式范围，避免直接多次相加导致范围扩大 3.变量分离法：将目标式中的变量分离，分别判断各部分的范围，再结合不等式性质推导 4.端点验证法：求出范围后，验证端点是否能取到，避免因多次使用不等式性质导致范围失真 【经典例题1】（24-25高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·河南商丘·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·山东德州·月考）已知，则的取值范围为______ 【巩固练习3】（25-26高二上·北京朝阳·月考）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【题型4】 由已知不等式判断条件不等式 核心知识 已知条件不等式（如等），判断目标不等式是否成立，本质是对不等式性质的综合应用 核心逻辑：利用已知条件，结合不等式的对称性、传递性、可加性、可乘性等，推导目标不等式的符号或大小关系 方法技巧 1.性质链推导法：从已知条件出发，逐步利用不等式性质推导目标不等式，形成完整的逻辑链 2.特殊值代入法：代入符合已知条件的特殊值，验证目标不等式是否成立，快速排除错误选项 3.符号分析优先：先判断各变量的正负，再利用可乘性、倒数性质推导，如说明同号，可用于判断倒数不等式 4.等价变形法：将目标不等式变形为与已知条件相关的形式，如判断可变形为，结合已知的符号，只需判断的符号 【经典例题1】（2026·山东东营·二模）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【经典例题2】（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高二下·江苏苏州·期末）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2025·海南·三模）（多选）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型5】 分式不等式 核心知识 定义：形如的不等式，其中 等价转化： 关键：分式不等式转化为整式不等式时，必须注意分母不为0的限制 方法技巧 1.等价转化法：将分式不等式转化为整式不等式（组）求解，注意保留分母不为0的条件 2.数轴标根法（穿针引线法）：将整式不等式的根标在数轴上，从右上方穿线，奇次根穿过，偶次根不穿过，快速写出解集 3.移项通分法：对含多个分式的不等式，先移项、通分，化为单个分式再求解，避免直接交叉相乘（易出错） 4.特殊情况处理：当分子或分母含参数时，需分类讨论分母的正负，避免直接乘除导致不等号方向错误 【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二下·江西抚州·期中）已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【题型6】 高次不等式 核心知识 定义：次数高于2次的整式不等式，形如 核心解法：因式分解+数轴标根法，将高次多项式分解为一次因式的乘积，再通过穿线法求解 关键：正确因式分解、判断各因式根的重数，以及最高次项系数的符号 方法技巧 1.因式分解法：将高次多项式分解为的形式，其中为根，为根的重数 2.数轴标根法步骤： 1.移项：将不等式化为的形式，且最高次项系数为正 2.标根：求出的所有根，标在数轴上 3.穿线：从数轴右上方开始穿线，奇次根穿过数轴，偶次根不穿过（“奇穿偶不穿”） 4.写解集：根据不等式符号，取数轴上方（）或下方（）的区间，注意时包含实根，时不包含 3.易错点规避：穿线前必须将最高次项系数化为正，否则穿线方向会错误；重根的处理要严格遵循“奇穿偶不穿” 4.含参数高次不等式：先因式分解，再根据根的大小分类讨论，画出数轴标根图求解参数范围 【经典例题1】（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习1】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）不等式的解集为______ 【巩固练习2】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·湖南常德·月考）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济宁·三模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 4．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山东聊城·二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）下列各式大小比较中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·北京昌平·二模）设，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）若，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026高一·全国·专题练习）（多选题）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 13．（25-26高三·全国·一轮复习）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 14．（2026·贵州黔西南·二模）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（25-26高一上·重庆·月考）不等式的解集为___________. 四、解答题 16．（24-25高一上·广西河池·期中）比较与的大小. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $