第六章 二项式定理 期末复习卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦二项式定理核心考点，通过基础计算、性质探究及综合应用题型，系统覆盖展开式系数、二项式系数性质及杨辉三角应用，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|8题|展开式常数项、特定项系数计算|从二项式定理公式出发，掌握通项公式应用| |性质应用|8题|二项式系数最值、杨辉三角规律、余数问题|结合二项式系数性质，建立与杨辉三角的内在联系| |综合拓展|5题|含参数展开式、证明及实际应用|整合知识进行逻辑推理，提升模型意识与应用能力|

2025-2026年高二数学人教A版选择性必修第三册期末复习 第六章 二项式定理 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·天津·专题练习）的展开式中常数项为（    ） A．252 B．264 C．248 D．240 2．（2026高三·全国·专题练习）若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南·期末）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 4．（25-26高二下·湖南·期末）若，则（    ） A． B．0 C． D．4 5．（25-26高二下·福建·阶段检测）的展开式中的常数项为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）的展开式中，的系数为（     ） A．220 B． C．100 D． 7．（25-26高二下·重庆渝北·期中）除以64的余数为（    ） A．13 B．33 C．23 D．31 8．（25-26高二下·重庆渝北·期中）“杨辉三角”最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.如图，由“杨辉三角”下列叙述正确的是（    ） A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中相邻两个数比值的最大值为12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（   ） A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中二项式系数最大的项是第3项 10．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知，则下列描述正确的是（     ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被8除所得的余数是1 D． 11．（25-26高二下·江苏泰州·期末）我国北宋数学家贾宪有一部著作《黄帝九章算法细草》，其中有“开方作法本源”图，杨辉在《详解九章算法》一书中征引了贾宪的材料，“开方作法本源”图现称为“杨辉三角”（如图所示），则（     ） 第0行         1 第1行        1  1 第2行       1  2  1 第3行      1  3  3  1 第4行     1  4  6  4  1 第5行    1  5  10  10  5  1 第6行  1  6  15  20  15  6  1 ………… A．第10行第3个数为 B．第7行所有数的和为128 C．第16行共有12个偶数 D．若第行存在连续三项成等差数列，则的最大值为98 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）展开式中含项的系数为__________． 13．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）的计算结果精确到0.001的近似值是______. 14．（25-26高三·全国·一轮复习）在的展开式中，系数最大的项是第___________项． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）设，的展开式中所有二项式系数之和为1024． (1)求的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值． 16．（2026高三·全国·专题练习）已知的展开式中第3项与第2项的二项式系数之差为20． (1)求； (2)求展开式中第3项与第项的系数的比值； (3)求展开式中的常数项． 17．（25-26高二下·北京延庆·期中）求的展开式中， (1)含的项并说明它是展开式中的第几项； (2)常数项的值和对应的二项式系数； (3)二项式系数最大的项； (4)各项二项式系数的和及各项系数的和． 18．（25-26高二下·四川广安·期中）已知 (1)若，求实数的值. (2)已知展开式的所有二项式系数之和为128，且 （i）求展开式中含项的系数； （ii）设，求除以所得余数. 19．（25-26高二下·全国·课后作业）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高二数学人教A版选择性必修第三册期末复习 第六章 二项式定理 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·天津·专题练习）的展开式中常数项为（    ） A．252 B．264 C．248 D．240 【答案】A 【分析】由二项式展开的通项公式求解即可. 【详解】由题意可知此二项式展开的通项公式为：， 令，解得， 所以原式二项式展开式中的常数项为. 2．（2026高三·全国·专题练习）若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的各项的二项式系数和求得，结合展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】由题得，解得. 的通项为. 令，则系数为. 3．（25-26高二下·湖南·期末）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 【答案】C 【详解】由题意得，故， 则展开式的通项为 且， 令，则，所以展开式中第6项系数为. 4．（25-26高二下·湖南·期末）若，则（    ） A． B．0 C． D．4 【答案】B 【分析】令求出，再根据二项式定理求解即可. 【详解】二项式展开式中的系数为. 因此中的系数为. 令，则， 进而. 5．（25-26高二下·福建·阶段检测）的展开式中的常数项为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 其展开式的通项公式为， 令，得到，所以展开式中的常数项为. 6．（25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）的展开式中，的系数为（     ） A．220 B． C．100 D． 【答案】B 【分析】此系数由两部分组成，一部分是与中的的积的系数；另一部分是的与中的的积的系数，利用展开式求出中 、的系数，即可得答案. 【详解】要求的系数，即求的系数， 此系数由两部分组成，一部分是与中的项的积的系数； 另一部分是的与中的项的积的系数， 又因为的展开式为， 令，解得， 所以的系数为； 令，解得， 所以的系数为； 所以原式展开式中，即的系数为 7．（25-26高二下·重庆渝北·期中）除以64的余数为（    ） A．13 B．33 C．23 D．31 【答案】B 【分析】利用二项式定理得到，所求余数即为801除以64的余数，得到答案． 【详解】因为 ， 且显然能被64整除， 所以所求余数即为801除以64的余数． 因为，所以除以64的余数为33． 8．（25-26高二下·重庆渝北·期中）“杨辉三角”最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.如图，由“杨辉三角”下列叙述正确的是（    ） A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中相邻两个数比值的最大值为12 【答案】D 【分析】根据条件及组合数的运算性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由杨辉三角性质得在第10行里，有11个数，所以第10行中正中间即第6个数最大，故A错误； 第2025行中，第1012个数为，第1013个数为， 由组合数性质得，故B错误； ，故C错误； 根据对称性，只考虑后一项与前一项之比即可， 当且时，， 可得当时，相邻两个数的比值最大，最大值为12，故D正确； 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（   ） A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中二项式系数最大的项是第3项 【答案】BC 【分析】对于A，令，可得，据此可判断；对于B，利用二项式系数和性质判断；对于C，由题可得展开式通项，令指数为0，可得常数项，据此可判断；对于D，依次写出二项式系数，即可判断. 【详解】由题可得展开式通项为. 对于A，令，可得展开式各项系数和，则，则展开式共有7项，故A错误； 对于B，二项式系数和为，故B正确； 对于C，对于通项，令，则常数项为，故C正确； 对于D，由通项，可得二项式系数依次为：， 则系数最大项为，为第4项，故D错误. 10．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知，则下列描述正确的是（     ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被8除所得的余数是1 D． 【答案】ABC 【详解】令，得，再令，得， ，A选项正确. 根据二项式系数和的性质，对于二项式，所有二项式系数和为， 且奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，都为， 的展开式中，对于所有含的偶数次项的二项式系数和， 即为展开式中奇数项的二项式系数和，为，B选项正确. 而. 可得除了最后一项外，其余各项均能被8整除，故被8除所得的余数是，C选项正确. 对两边分别求导， 可得. 令，得，D选项错误. 11．（25-26高二下·江苏泰州·期末）我国北宋数学家贾宪有一部著作《黄帝九章算法细草》，其中有“开方作法本源”图，杨辉在《详解九章算法》一书中征引了贾宪的材料，“开方作法本源”图现称为“杨辉三角”（如图所示），则（     ） 第0行         1 第1行        1  1 第2行       1  2  1 第3行      1  3  3  1 第4行     1  4  6  4  1 第5行    1  5  10  10  5  1 第6行  1  6  15  20  15  6  1 ………… A．第10行第3个数为 B．第7行所有数的和为128 C．第16行共有12个偶数 D．若第行存在连续三项成等差数列，则的最大值为98 【答案】ABD 【分析】根据杨辉三角中各数与对应二项式系数的关系规律易判断A，B项；根据杨辉三角的前几行的奇偶性排列规律即可分析判断C项；设第行存在连续三项成等差数列，可得，化简推得，求出，通过换元得到或，结合计算即可判断D项. 【详解】对于A，因杨辉三角第行的数对应二项式系数， 则第10行第3个数为，故A正确； 对于B，因杨辉三角第行所有数的和为， 则第7行所有数的和为，故B正确； 对于C，第16行的数依次为， 在杨辉三角中，各数对应的二项式系数满足， 所以奇偶性满足奇+奇=偶；奇+偶=奇；偶+偶=偶. 从杨辉三角的前几行的奇偶性可见：第0行1个奇数； 第1行2个奇数；第2行2个奇数；第3行4个奇数； 第4行2个奇数；第5行4个奇数；第6行4个奇数；第7行8个奇数；第8行2个奇数；…， 可见当时，第行只有首尾两个数是奇数， 其余均为偶数，故第16行的数中只有两个奇数，其余共15个偶数，故C错误； 对于D，若第行存在连续三项成等差数列，则， 即， 化简得， 即，解得（*）， 设，为奇数，令，则由， 可得，代入（*），得或， 因，由，可知当取10时，取到最大值98， 且当时存在(或)满足条件，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）展开式中含项的系数为__________． 【答案】480 【详解】由题知：； 第项通项公式：； 的第项通项公式：; 令，则 所以项的系数为：. 13．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）的计算结果精确到0.001的近似值是______. 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合二项式定理，即可求解. 【详解】由 . 故答案为：. 14．（25-26高三·全国·一轮复习）在的展开式中，系数最大的项是第___________项． 【答案】8 【分析】设展开式中系数最大的项是第项，则，计算即可求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为且. 设展开式中系数最大的项是第项， 则，即， 即，解得，又，所以， 所以展开式中系数最大的项是第8项. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）设，的展开式中所有二项式系数之和为1024． (1)求的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二项式系数的性质计算n的值，并求出二项式系数最大项. （2）对展开式中的赋值计算即可. 【详解】（1）因为展开式中所有二项式系数之和为1024，即，所以， 故二项式系数最大的项为. （2）令， 所以，令，可得． 令，可得， 故. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知的展开式中第3项与第2项的二项式系数之差为20． (1)求； (2)求展开式中第3项与第项的系数的比值； (3)求展开式中的常数项． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由二项式系数的定义，第3项的二项式系数为，第2项的二项式系数为， 根据题意得， 即，化简得， 解得（不符合正整数要求，舍去）. （2）由（1）得，二项式的展开式通项为：， 第3项对应，系数为；第项对应，系数为， 由组合数性质，故展开式中第3项与第项的系数比值为. （3）令展开式通项中x的指数为0，即，解得， 代入通项得常数项为：. 17．（25-26高二下·北京延庆·期中）求的展开式中， (1)含的项并说明它是展开式中的第几项； (2)常数项的值和对应的二项式系数； (3)二项式系数最大的项； (4)各项二项式系数的和及各项系数的和． 【答案】(1)，展开式中的第1项． (2)240；15 (3) (4)二项式系数之和为64，所有的项的系数之和为729． 【分析】（1）根据展开式的通项令可求得含的项为，它是展开式中的第1项； （2）令可知常数项为240，其对应的二项式系数为15； （3）二项式系数最大的项为含有的项，即； （4）易知所有的二项式系数之和为，利用赋值法令可得所有的项的系数之和为. 【详解】（1）因为， 所以展开式中的第项为， 要使此项含，必须有，从而有， 因此含的项为， 它是展开式中的第1项． （2）由（1）知要得到常数项，必须有， 从而有，因此常数项为 其对应的二项式系数为． （3）因为二项式系数最大的项为含有的项， 所以． 即 （4）所有的二项式系数之和为， 令，则所有的项的系数之和为． 18．（25-26高二下·四川广安·期中）已知 (1)若，求实数的值. (2)已知展开式的所有二项式系数之和为128，且 （i）求展开式中含项的系数； （ii）设，求除以所得余数. 【答案】(1) (2)（i），（ii） 【分析】（1）利用赋值进行求解； （2）（i）由，得，由二项式的展开式的系数求解； （ii）由，分析其展开式的项，即可求解． 【详解】（1）令得，， 令得，， 则，得． （2）展开式的所有二项式系数之和为128， 得，得， 则的通项公式为：， 得， 得，得， （i）， 则展开式中含项的系数为：． （ii）由得，， 因为， 所以余数为． 19．（25-26高二下·全国·课后作业）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 【答案】(1)256 (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为； （2）利用组合数运算公式得到； （3）含项的系数为，结合（2）中性质化简计算出结果. 【详解】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 ； （2）， ， 故； （3）的展开式中，含项的系数为 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $