2025-2026学年高一下学期数学人教B版期末复习卷必修第三册和必修第四册全册02

**基本信息** 高一数学人教B版期末复习卷，涵盖必修第三、四册，120分钟150分，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，考查复数、三角函数、立体几何等核心知识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、三角函数平移、直观图面积|基础题占比高，注重概念辨析| |多选|3/18|空间线面关系、函数图象性质|选项分层，考查逻辑推理| |填空|3/15|立体几何面积最值、向量数量积|小切口深挖掘，关联多知识点| |解答|5/77|立体几何证明、解三角形与向量、欧拉公式应用|分层设问（如16题三问逐步深入），创新题融入数学文化（欧拉公式），综合考查空间想象与运算能力|

2025-2026年高一数学人教B版期末复习 必修第三册和必修第四册全册02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数，则的虚部为（     ） A．1 B．4 C． D．5 2．（    ） A． B． C． D． 3．水平放置的的直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，且，设，的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 5．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，四棱锥中，平面，，，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．在侧面积为的正四棱台中，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 8．已知面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，，角A的平分线交于点O，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则且 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数关于直线对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数是奇函数 D．不等式的解集为 11．中，角，，所对的边分别为，，，且，则（    ） A． B．若且有两解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在矩形中，，，点E为中点，点F在边上，若，则__________． 13．在锐角三角形中，，则______________. 14．在直三棱柱中，已知，，．该三棱柱的底面的面积的最大值为______；当底面的面积最大时，直线与平面所成角的正弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，分别为，的中点． (1)若平面平面，求证：； (2)若，求证：平面平面． 16．已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长； (3)若，且，求的面积． 17．已知函数. (1)时，求的值域； (2)若，，求的值； (3)设，求在上的最值. 18．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，D为的中点，. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求与所成角的余弦值. 19．著名数学家欧拉发现并证明了欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位），从而建立了三角函数和指数函数的关系，已知复数． (1)若，将复数表示成（）的形式； (2)若是关于的实系数方程的一个根，求，的值； (3)求的最大值． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教B版期末复习 必修第三册和必修第四册全册02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数，则的虚部为（     ） A．1 B．4 C． D．5 【答案】A 【详解】由， 所以的虚部为． 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 原式= . 3．水平放置的的直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在直观图中求得的长，然后利用直观图性质得出原图形中三角形边长，再由勾股定理可得. 【详解】如图，作于，，则，所以， 在原图形中，， 所以. 4．已知向量，满足，，且，设，的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂直向量的数量积为零及向量夹角公式可得，再借助二倍角公式计算即可得. 【详解】由，得， 故，则， 故. 5．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得平移后的函数解析式，再由函数为上的奇函数列方程，结合即可求得的最小值. 【详解】由向右平移个单位长度后，即得函数： ， 由于该函数为上的奇函数，则，则， 解得 ，因为，取时，得到的最小正值为 . 6．如图，四棱锥中，平面，，，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交于点，求出的长，以、为邻边作平行四边形，连接，求出、的长，可知为三棱锥外接球的球心，求出球的半径，结合球体体积公式计算即可. 【详解】过点作交于点， 因为，，，故四边形为矩形， 所以，且，，故， 由勾股定理可得， ，又因为，故，则， 以、为邻边作平行四边形，连接， 则四边形为菱形，所以， 又因为，则为等边三角形，于是得出， 所以为的外心， 又因为平面，平面，且， 由勾股定理可得， 所以，故为三棱锥外接球的球心，且该球的半径为， 所以三棱锥外接球的体积为. 7．在侧面积为的正四棱台中，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合余弦定理，利用定义法可得线线角的余弦值. 【详解】 如图所示，分别取，中点，，连接 则，， 由正四棱台可知，， 又， 所以，且， 即四边形为平行四边形， 所以， 又正四棱台的侧面积为， 即，解得， 又四边形为等腰梯形， 所以， 又，分别是棱，的中点，所以， 所以异面直线与所成角为或其补角， 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值是. 8．已知面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，，角A的平分线交于点O，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用余弦定理得出，再结合向量的数量关系应用数量积公式得出边长，最后应用角分线定理计算面积. 【详解】因为，所以，所以，所以，所以， 又因为，所以，且， 所以，所以，所以，所以， 在中，，所以，所以，所以， 由角平分线定理得，所以，所以， 所以 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则且 【答案】ABD 【详解】对于A，两个平面垂直于同一个平面，它们的位置关系不一定是平行，也可能是相交，A错误； 对于B，两条直线平行于同一个平面，它们的位置关系可以是平行､相交或异面，B错误； 对于C，因为，且，过直线与平面的交点，在内作，由，得，又，根据面面垂直的判定定理，可得，C正确； 对于D，当时，即使，也不能说，同理，当时，也不能说，D错误．故选ABD． 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数关于直线对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数是奇函数 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意可知，最小正周期， 由，，得，故A正确； 对于B，由题意可知，当，时， 解得函数的对称轴为，， 当，解得，不成立， 所以函数不关于直线对称，故B错误； 对于C，由题意可知，将的图象向左平移个单位长度得到，， 此时函数是奇函数，故C正确； 对于D，由，得，， 所以的解集为，故D正确． 故选：ACD． 11．中，角，，所对的边分别为，，，且，则（    ） A． B．若且有两解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 【答案】BCD 【分析】先由正弦定理及三角恒等变换求出判断A，应用解的个数列式计算求解判断B，应用正弦定理及余弦定理计算判断C，利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用面积公式计算判断D即可. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 得，由， ，又，则， 对于A， ，故错误； 对于B，因为有两解，则，得，得，故正确； 对于C，因为，所以， 由余弦定理得，得， 所以，故正确； 对于D，由余弦定理得，，得， 所以，当且仅当时等号成立， 则的面积为，故正确； 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在矩形中，，，点E为中点，点F在边上，若，则__________． 【答案】 【分析】建立如图所示的坐标系，得到点坐标，结合向量的数量积的坐标运算，列出方程，即可求解. 【详解】建立如图所示的坐标系，可得，，，， 设， ∴，， ∴，解得，即， ∴，， ∴. 13．在锐角三角形中，，则______________. 【答案】 【分析】根据两角和差的正弦公式及同角的三角函数关系化简求解即可. 【详解】 . 因为锐角三角形中，，所以，. 14．在直三棱柱中，已知，，．该三棱柱的底面的面积的最大值为______；当底面的面积最大时，直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【分析】第一空借助余弦定理结合基本不等式求的最大值，代入三角形面积公式得结果；第二空先确定底面为等边三角形，根据线面角的定义，计算点到平面的距离与线段长度的比值即可。 【详解】第一空：在中，，， 由余弦定理得： ， 代入已知得.由基本不等式， 代入上式可得， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 的面积，故底面面积的最大值为. 第二空：当底面面积最大时，， 结合，可知为边长为的等边三角形. 直三棱柱中，平面平面，交线为，取中点，连接， 则，又因为在直三棱柱中，，所以 平面， 即点到平面的距离为。. 因为，平面，平面， 故平面，因此点到平面的距离等于。. 又底面，故，因此. 设直线与平面所成角为，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，分别为，的中点． (1)若平面平面，求证：； (2)若，求证：平面平面． 【答案】(1)证明：如图，取的中点为，连接，， 因为为的中点，所以，， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 又为的中点，所以，， 所以，，则四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 由平面，平面平面，则； (2)因为平面平面，平面平面， 又四边形为正方形，所以，平面， 所以平面，平面，则， 因为，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【分析】（1）取的中点为，连接，，利用三角形的中位线定理结合棱柱的性质可证得四边形是平行四边形，则，利用线面平行的判定和性质定理即可证； （2）根据四边形为正方形，平面平面，得出，再结合（1）中的平行关系得出，从而得出平面，根据平面与平面垂直的判定定理得出平面平面． 【详解】（1）略 （2）略 16．已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两角和的正弦公式结合已知条件化简求出，再结合三角形内角范围求解； （2）利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，进而求出，得出的周长； （3）由已知条件得出是中点，利用向量平方和余弦定理构造方程求出，进而求出的面积． 【详解】（1）， 故， ，则，解得． （2），解得， 由余弦定理， 则，解得， ， ． （3）由可知是中点，是中线， 则， 则，故， 由余弦定理， 两式相减得，解得， 故． 17．已知函数. (1)时，求的值域； (2)若，，求的值； (3)设，求在上的最值. 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用辅助角公式和倍角公式化简，结合三角函数求值域； （2）利用同角关系以及两角和差的正弦公式求出； （3）化简函数表达式结合导函数判断单调性即可. 【详解】（1） ，的值域为 （2）因为，所以， ，，   = （3），       则， ， 则，且时，时， 故当时，单调递增； 当时，单调递减； 因为，，， 故在上的最大值为，最小值为 18．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，D为的中点，. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明：如图，连接，设与相交于点O，连接. ∵四边形是平行四边形，∴点O为的中点. ∵D为的中点，∴为的中位线，∴. ∵平面，平面，∴平面. (2)4 (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，即可证明； （2）确定四棱锥的高，利用棱锥体积公式即可求得答案； （3）找到与所成角，利用余弦定理解三角形，即可求得答案. 【详解】（1）（1）略 （2）因为侧棱底面，，所以底面，底面， 所以，又，所以平面， 又平面，所以是四棱锥的高， 所以四棱锥的体积. （3）由（1）可知，为与所成的角或其补角， ∵，∴，， 在中，D为的中点，则， ， 在中，， ∴AB1与BD所成角的余弦值为. 19．著名数学家欧拉发现并证明了欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位），从而建立了三角函数和指数函数的关系，已知复数． (1)若，将复数表示成（）的形式； (2)若是关于的实系数方程的一个根，求，的值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）代入给定角度，利用欧拉公式将其展开为三角函数形式，合并实部与虚部完成化简； （2）法一：将复数的三角形式转换回，结合复数的运算即可求解，法二：利用实系数一元二次方程“虚数根成对共轭出现”的性质找出另一根，随后通过韦达定理即可求解； （3）法一：将复数的三角形式转换回，结合正弦函数的取值范围即可求解，法二：将复数模长的最值问题转化为复平面内单位圆上的动点到定点的几何距离求最大值即可. 【详解】（1）； （2）法一 ，则， 即，故且， 所以，； 法二 为虚数根，所以方程还有另一个根为， 根据韦达定理：， 所以，； （3）法一 ， ， 故． 法二 ，令，， 则可视为单位圆上的点到点的距离， 到圆心的距离，即在单位圆外， 所以，其中为单位圆的半径. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $