2025-2026年高一下学期数学人教B版期末复习卷必修第三册和必修第四册全册01

**基本信息** 这份高一数学期末复习卷覆盖人教B版必修第三、四册全册内容，通过选择、填空、解答题的梯度设计，融合文化传承与实际应用，全面考查数学核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、三角函数性质、解三角形、向量投影、立体几何体积|第6题以《九章算术》“方亭”为背景考查棱台体积，体现文化传承| |填空题|3题15分|纯虚数概念、奇函数性质、三棱锥外接球表面积|第14题结合二面角求外接球表面积，考查空间想象能力| |解答题|5题77分|复数综合、三角函数单调性与求值、解三角形应用、立体几何证明与距离计算|第18题分层证明线面平行、线面垂直及求点面距离，注重逻辑推理与空间观念|

2025-2026年高一数学人教B版期末复习 必修第三册和必修第四册全册01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 2．已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦（型）函数对称性分析求解即可. 【详解】根据题意，令，，解得函数的对称轴为：， 令，得，令，得，令，得，令，得， 所以函数的图象离直线最近的对称轴方程为． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式和商数关系求得，然后由二倍角公式变形，再结合齐次式变形计算. 【详解】由题意，所以， ， 4．面积为S的△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则C＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式化简求解. 【详解】在中，由及余弦定理、三角形面积公式，得， 解得，而，所以。 5．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，那么在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平行四边形性质求出、，再利用投影向量定义计算即可得解. 【详解】由题意可得，， 则， 故在上的投影向量是. 6．《九章算术》中将正四棱台称为“方亭”．现有一方亭，上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该方亭的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合正四棱台的图形特征得出正四棱台的高，再根据正四棱台的体积公式即可求解. 【详解】已知正四棱台上底面边长为，其对角线长，中心到顶点的距离为， 下底面边长为，其对角线长，中心到顶点的距离为，半对角线之差， 根据正四棱台的性质，半对角线之差，高，侧棱长构成一个直角三角形，， 所以高， 因此正四棱台的体积，故A正确. 7．一艘船从处出发，以的速度向正北方向航行．从处看灯塔位于船北偏东的方向上，后船航行至处，从处看灯塔位于船北偏东的方向上，则灯塔与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算的长度，确定的各内角度数，再利用正弦定理求解灯塔与的距离可得. 【详解】因为船的航行速度为，航行时间为，因此（）. 如图，，由处看灯塔为北偏东，所以， . 在中，由正弦定理得，所以，即. 因此灯塔与之间的距离为. 8．如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，点在正方形内，若，平面AEF，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出平面截正方体所得的截线，再过点作平面平行于平面，找到点的运动轨迹，再计算出的最小值. 【详解】连接,则,所以平面截正方体所得的截线为梯形,分别取中点，连接，那么 所以，,平面, 由于四边形为平行四边形，故,平面, 又平面, 所以，平面平面, 因为平面AEF，点P在正方形内 所以，点的运动轨迹为除了点， ，由于边最长，且, 故为锐角三角形，则的最小值是边上的高，设为，那么 ,故为锐角， ， ，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】应用辅助角公式、二倍角正余弦公式及正切公式、和角正切公式依次判断各项的正误. 【详解】A：，正确； B：，正确. C：因为，所以，正确； D：因为，所以，错误. 10．在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则是锐角三角形 D．若，则一定是等边三角形 【答案】ACD 【分析】结合三角形边角关系，利用正弦定理、余弦定理、三角函数性质对各选项逐一分析判断. 【详解】选项A：因为在中，由可得，由正弦定理（为外接圆半径），得，，因此，即，A正确； 选项B：由正弦定理，得，则无解，B错误； 选项C：由可知为最大边，故为最大角，假设，由余弦定理，， 两边同乘以，得，因为所以，，则， 这与矛盾，假设不成立，即是锐角三角形，C正确； 选项D：由和正弦定理，可得，即， 因为，所以，D正确. 11．正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内（含边界）一动点，则下列结论正确的为（    ） A．存在唯一的点，使得平面 B．过三点的平面截正方体所得截面面积是 C．动点到平面的距离的最大值为 D．若直线与平面所成角的正弦值为，则动点的轨迹长度为 【答案】BC 【分析】利用面面平行的性质，找几何体的截面，等体积转换以及找出动点的轨迹等进行求解. 【详解】对于A，如图，取中点，连接，，，. 在中，，分别是，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 在正方形中，，分别是，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面平面. 所以只要点在线段上，即有平面，所以平面.故A错误； 对于B，如图，因为，所以四点共面，则过三点的平面截正方体所得截面是梯形. 因为正方体的棱长为2， 所以，，， 所以四边形为等腰梯形.如下图过作于点. 所以. 所以梯形面积为，故B正确； 对于C，由选项B可得. 设动点到平面的距离为.当点在线段上时，. 当点不在线段上时，，即. 所以，即. 因为点是正方形内（含边界）一动点，则当点与重合时，取得最大值， 此时面积最大值为.所以.故C正确； 对于D，如图，连接，. 因为平面，所以直线与平面所成的角为. 又因为平面，所以.所以 所以.所以. 所以点在正方形的轨迹为以为圆心，半径为的圆的四分之一. 所以动点的轨迹长度为，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数是纯虚数，则实数______. 【答案】2 【详解】由复数是纯虚数， 可得，解得. 13．已知函数，是奇函数且在上单调递减，则__________. 【答案】 【分析】根据函数为奇函数得出或，然后对或进行分类讨论，分析可知，由可得，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得的值. 【详解】因为函数是奇函数，则， 因为，所以或. 因为，若，则为常值函数，不符合题意，所以， （1）若，则，当时，， 因为正弦函数在上单调递增， 故函数在上不可能单调递减，不符合题意； （2）若，则， 当时，， 因为函数在上单调递减，且函数在上单调递减， 则，所以，解得， 因为，所以，符合题意. 综上所述，. 14．如图，在三棱锥中，和均为边长为的正三角形，二面角的大小为90°，则三棱锥外接球的表面积为_____ 【答案】 【详解】取的中点为，连接， 因为和均为边长为的正三角形，所以， 又二面角的大小为90°，所以平面平面， 又平面平面，所以平面，平面， 设与的外心分别为， 过分别作所在平面的垂线，相交于， 则为三棱锥外接球的球心，连接，则为外接球的半径， 因为，， 所以外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数，在复平面上对应的点分别为，，且在第一象限． (1)若，两点关于虚轴对称，且为纯虚数，求实数的值： (2)若，是关于的方程的两个根，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据关于虚轴对称确定两个复数，计算，再利用纯虚数实部为零求出， （2）利用实系数方程的非实根互为共轭，结合韦达定理列出关于的方程，解方程并结合 取值. 【详解】（1）由题意得， 因为，两点关于虚轴对称，所以，即，则， ， 因为为纯虚数，所以，解得或 因为，故舍去，综上. （2）实数系方程的虚根为共轭复数，则， 由韦达定理得， ， 即，将其代入两根之积得，解得或， 因为，故舍去，综上，. 16．已知函数. (1)求函数在上的单调递增区间； (2)求使成立的的取值集合； (3)若，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简，由单调性求解； （2）由三角不等式进行求解； （3）由二倍角公式进行求解． 【详解】（1）, 由，得， 而，则取，得， 故函数在上的单调递增区间为． （2）由，得，得， 得， 得， 故使成立的的取值集合． （3）若，，得， 得，， 则． 17．已知锐角三个内角，，的对边分别是，，，若． (1)求的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解. （2）由正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，结合，计算即可求解. 【详解】（1）在锐角中，由及正弦定理， 得， 整理得，而，则， 因此，又，则，解得， 所以. （2）由正弦定理可得，即， 因为，所以， 则， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以，， 所以， 即的取值范围. 18．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面是菱形，，平面平面，E，H分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)取的中点，连接， 因为在中，是的中点，是的中点， 所以是的中位线， 所以，且， 因为底面是菱形，所以，且， 因为是的中点，所以，所以，且， 所以四边形是平行四边形，从而， 因为平面，平面， 所以. (2)因为是边长为2的正三角形，为的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面是菱形，，所以是等边三角形， 又是的中点，所以， 因为，所以， 由于，，且，所以平面， 因为平面，所以， 由（1）知，所以， 在中，，，且，所以是等腰直角三角形， 因为是斜边的中点，所以， 又因为，所以， 因为，且平面，所以平面. (3) 【分析】（1）取的中点，连接、，利用线面平行的判定定理证出即可； （2）利用线面垂直的判定定理证明即可； （3）使用等体积转换法，计算核心：，可求解出点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设点到平面的距离为。 在中，，， 所以， 因为平面，为中点，且， 所以点到平面的距离就是线段的长度，即， 所以， 在中，，，， ， 所以， 故， 所以， 由得： 解得：. 19．如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交． (1)求证： (2)若，，． （i）证明：平面； （ⅱ）求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明：直线和直线相交，故A，B，F，E四点共面， 四棱锥中，，平面， 平面，故平面， 因为平面平面，平面， 故． (2)（i）证明：，，故， 故， 所以，故， 因为平面，平面， 故，且，，平面， 故平面． （ⅱ） 【分析】（1）证明线线平行可转化为线面平行，根据线面平行的性质进行证明，过一个平面的平行线的平面与这个平面的交线与这条直线平行，由此进行证明即可； （2）（i）根据题干中所给的线面垂直和线段长度，可利用线面垂直的性质以及勾股定理找到两条相交直线与垂直，根据线面垂直的判定定理证明即可； （ⅱ）先证明平面，可得是直线与平面所成的角，进而可得结论. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ⅱ）因为，E为的中点， 故F为的中点，且，故， 因为平面，平面， 故，且，，平面， 故平面， 故是直线与平面所成的角， 因为，， 所以，， 所以，即， 故直线与平面所成的角为． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教B版期末复习 必修第三册和必修第四册全册01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．面积为S的△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则C＝（    ） A． B． C． D． 5．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，那么在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中将正四棱台称为“方亭”．现有一方亭，上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该方亭的体积为（   ） A． B． C． D． 7．一艘船从处出发，以的速度向正北方向航行．从处看灯塔位于船北偏东的方向上，后船航行至处，从处看灯塔位于船北偏东的方向上，则灯塔与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，点在正方形内，若，平面AEF，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 10．在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则是锐角三角形 D．若，则一定是等边三角形 11．正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内（含边界）一动点，则下列结论正确的为（    ） A．存在唯一的点，使得平面 B．过三点的平面截正方体所得截面面积是 C．动点到平面的距离的最大值为 D．若直线与平面所成角的正弦值为，则动点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数是纯虚数，则实数______. 13．已知函数，是奇函数且在上单调递减，则__________. 14．如图，在三棱锥中，和均为边长为的正三角形，二面角的大小为90°，则三棱锥外接球的表面积为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数，在复平面上对应的点分别为，，且在第一象限． (1)若，两点关于虚轴对称，且为纯虚数，求实数的值： (2)若，是关于的方程的两个根，求实数的值． 16．已知函数. (1)求函数在上的单调递增区间； (2)求使成立的的取值集合； (3)若，，求的值. 17．已知锐角三个内角，，的对边分别是，，，若． (1)求的大小； (2)求的取值范围． 18．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面是菱形，，平面平面，E，H分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求点到平面的距离. 19．如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交． (1)求证： (2)若，，． （i）证明：平面； （ⅱ）求直线与平面所成的角． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $