2025-2026年高一下学期数学人教B版必修第四册期末复习卷第十章复数

**基本信息** 聚焦复数核心知识，分层设计基础概念与综合应用题型，适配高一期末复习，强化逻辑推理与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|虚部、复数运算、复平面象限|基础概念辨析，如虚部判断、方程求解| |多选|3/18|命题真假、复数几何意义|综合判断，如纯虚数条件、共轭复数存在性| |填空|3/15|共轭复数模、纯虚数参数|简洁计算，如纯虚数参数求解| |解答|5/77|复数分类、三角形式、三倍角公式推导|梯度设计，从基础分类到公式推导，如利用三角形式推导三倍角公式|

2025-2026年高一数学人教B版必修第四册期末复习 第十章复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于， 故，，即的虚部为. 2．已知复数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求根公式求出，进而求即可. 【详解】由，得，即， 解得，所以. 3．若复数z满足，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据复数的除法运算求解后，根据共轭复数的定义即可求解. 【详解】解：由题意得： 所以 所以其共轭复数 故复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限 故选：D 4．已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【答案】C 【分析】根据复数相等公式，列式求解. 【详解】由条件可知，，解得. 5．已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义，由复数对应点代入直线方程可求得，即可得出结果. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 代入直线，可得，即， 则，在复平面内对应的点为. 故选：C 6．已知是关于的实系数方程的一个根，则复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用实系数一元二次方程虚根共轭的性质，结合韦达定理求出p、q的值，代入目标复数化简后求解． 【详解】已知是关于的实系数方程的一个根， 则其共轭复数是另一个根， 由韦达定理，解得， ， ， 复数的虚部为． 7．已知复数（为虚数单位），则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数三角形式的乘法法则求出，再相减结合三角函数值化简结果. 【详解】由，， ，， 所以. 8．已知复数．若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】复数表示的点在第四象限，且，且，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（ ） A．复数的虚部为; B．若为虚数单位，则; C．在复数集中，方程有两个解，依次为; D．已知是虚数单位，若，则实数; 【答案】BCD 【分析】根据复数虚部的定义可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；根据复数方程的根可判断C；根据复数的乘法和复数相等的条件求出的值可判断D. 【详解】对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，若为虚数单位，则，故B正确； 对于C，， 所以在复数集中，方程有两个解，依次为， 故C正确； 对于D，已知是虚数单位，若，则， 有，解得，故D正确. 故选：BCD. 10．已知复数，，则下列说法正确的是（    ） A．若在复平面对应的点位于第二象限，则 B．若为纯虚数，则 C．的最小值为2 D．存在，使与互为共轭复数 【答案】AC 【分析】对于A，由复数几何意义可判断选项正误；对于B，由纯虚数概念可判断选项正误；对于C，由复数模计算公式可得答案；对于D，由共轭复数概念结合题意可判断选项正误. 【详解】对于A，，若在复平面对应的点位于第二象限，则解得，选项A正确； 对于B，若为纯虚数，则解得，选项B错误； 对于C，，当时取等号，选项C正确； 对于D，若与互为共轭复数，则无解，选项D错误． 故选：AC． 11．已知复数，则（    ） A． B． C．存在正整数，使得为正实数 D．为实数 【答案】BCD 【详解】选项：因为，所以，则，故不正确； 选项：因为，所以，，， 则，，即，故正确； 选项：因为，所以， 当时，， 当时，是正实数， 所以存在正整数，使得为正实数，故正确； 选项：因为，所以， 所以， ， 则是实数，故正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是虚数单位，则复数的共轭复数的模为______. 【答案】 【分析】首先根据复数的代数形式的除法运算求出复数，即可得到复数的共轭复数，再用模的计算公式计算可得； 【详解】解：因为，即，则，所以共轭复数的模为. 故答案为： 【点睛】本题考查复数的代数形式的运算以及复数模的计算，属于基础题. 13．若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 【答案】0 【分析】根据纯虚数的定义，令复数的实部为0且虚部不为0，联立方程与不等式求解即可. 【详解】根据纯虚数的定义：对于复数，当且仅当且时，该复数为纯虚数， 因为复数为纯虚数，m为实数， 所以，即，解得. 14．若复数满足，则________． 【答案】或 【分析】设复数的代数形式为，利用复数模的定义列方程组求解的值即可 【详解】设，其中， 根据复数模的定义可知： ， ， 由题意得：，即，解得或， 所以或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知是虚数单位，复数． (1)当复数为实数时，求的值； (2)当复数为纯虚数时，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据复数为实数得出方程解出即可； （2）根据复数为纯虚数得出方程组解出即可. 【详解】（1）由复数， 当复数为实数时，，解得：或. （2）由复数， 当复数为纯虚数时，，解得：. 16．已知复数，，． (1)当时，若，求； (2)当时，若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用复数模的定义可得，计算求解即可； （2）利用复数对应的点在第一象限，可得所满足的条件，进而求解即可. 【详解】（1） 得 解得或 （2）当时，可得， 由在复平面内对应的点在第一象限得， 解得或，所以a的取值范围是. 17．已知复数． (1)若，求m，n的值； (2)若z是方程的一个复数根，求m，n的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据复数相等的条件，列出关于的二元一次方程组求解； （2）解一元二次方程求出复数根，分两个根分别讨论，分别利用复数相等构造方程组求解． 【详解】（1）已知复数，则 ，解得． （2）,解得， 若，则，解得； 若，则，解得． 18．已知复数.为虚数单位. (1)若，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据共轭复数的概念及复数的模列出方程求解； （2）利用复数的除法化简后，根据复数为实数列方程求解； （3）根据复数的乘法运算化简后，根据复数对应点所在的象限列出不等式组求解. 【详解】（1）因为，所以， 即，解得. （2）因为为实数， 所以  ，解得； （3）， 因为在复平面上对应的点在第二象限， 所以，即，解得， 所以. 19．已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. (1)若，试将复数写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 【答案】(1) (2)最大值为3，最小值为0 (3)答案见解析 【分析】（1）提取复数的模长，将其代数形式转化为标准三角形式； （2）利用，设，代入并通过模长公式、三角恒等变换化简，结合余弦函数值域求最值； （3）设单位复数，分别用乘积运算公式和多项式乘法计算，对比实部、虚部推导三倍角公式. 【详解】（1）设. （2）因为，故设. 故 ， 故，故的最大值为3，最小值为0. （3）设， 则， 但 ， 故，. 【点睛】本题综合考查复数的三角形式及相应运算，核心方法是利用单位复数的三角表示，将复数问题转化为三角运算问题，实现复数与三角学的联动应用. 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教B版必修第四册期末复习 第十章复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（     ） A． B． C． D． 3．若复数z满足，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 5．已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 6．已知是关于的实系数方程的一个根，则复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 7．已知复数（为虚数单位），则（    ）． A． B． C． D． 8．已知复数．若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（ ） A．复数的虚部为; B．若为虚数单位，则; C．在复数集中，方程有两个解，依次为; D．已知是虚数单位，若，则实数; 10．已知复数，，则下列说法正确的是（    ） A．若在复平面对应的点位于第二象限，则 B．若为纯虚数，则 C．的最小值为2 D．存在，使与互为共轭复数 11．已知复数，则（    ） A． B． C．存在正整数，使得为正实数 D．为实数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是虚数单位，则复数的共轭复数的模为______. 13．若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 14．若复数满足，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知是虚数单位，复数． (1)当复数为实数时，求的值； (2)当复数为纯虚数时，求的值. 16．已知复数，，． (1)当时，若，求； (2)当时，若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围． 17．已知复数． (1)若，求m，n的值； (2)若z是方程的一个复数根，求m，n的值． 18．已知复数.为虚数单位. (1)若，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 19．已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. (1)若，试将复数写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $