第十一章立体几何初步期末复习卷（基础版）2025-2026学年高一数学人教B版必修第四册

**基本信息** 高一数学人教B版必修四立体几何期末复习卷，120分钟150分，覆盖空间几何体结构、表面积体积、空间位置关系等核心知识，通过旋转体、折叠问题等情境设计，考查空间想象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|棱台结构特征、圆锥表面积、线面位置关系|结合正方体展开图判断异面直线，基础概念辨析与空间想象结合| |选择题（多选）|3/18|正方体线面关系、旋转体表面积体积|以正方形剪扇形旋转设计复杂几何体，考查空间建模能力| |填空题|3/15|面面垂直判定、四棱锥体积、线面距离|长方体中直线到平面距离计算，注重空间距离转化| |解答题|5/77|旋转体表面积、圆锥侧面最短路径、线面垂直证明|16题结合圆锥侧面展开求最短路径，18题通过三棱锥证明面面垂直，综合考查空间观念与推理能力|

2025-2026年高一数学人教B版必修第四册期末复习 第十一章立体几何初步（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台 B．直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积 C．空间中，过三点有且只有一个平面 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 【答案】B 【详解】对于A，有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体， 所有侧棱不一定交于同一点，所以该六面体不一定是棱台，故A错误；    对于B，直三棱柱的底面是三角形，根据三角形三边关系定理可得两边之和大于第三边， 所以直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积，故B正确； 对于C，空间中，过不共线的三点有且只有一个平面，若三点共线，不能确定平面，故C错误； 对于D，底面是正多边形，顶点在底面的投影是正多边形的中心的棱锥是正棱锥，故D错误. 2．已知圆锥的表面积为3，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥的表面积公式结合已知，即可求出圆锥的底面半径． 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， ∵圆锥的侧面展开图是一个半圆， ∴， ∴， ∵圆锥的表面积为， ∴，即. 3．设，为不重合的平面，，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（     ） ①若，，则；    ②若，，则； ③若，，则；    ④若，，，则； A．① B．①② C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】由平行公理即可判断①；平行于同一平面的两条直线可能平行、相交、异面，可判断②错误；根据直线平行于一组平行平面中的一个平面，该直线可能平行于另一平面，也可能在另一平面内，即可判断③；根据两平行平面中的任意两条直线可能平行，也可能异面，可判断④. 【详解】解：由平行公理可知，，，则，所以①正确； 平行于同一平面的两条直线可能平行、相交、异面，所以②错误； 由，，则或，所以③错误； 由，，，则或与异面，所以④错误. 4．如图1，正三棱柱形容器中盛有水，水的体积为，侧棱，底面边长，当侧面水平放置时（如图2），水面的高度为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先算无水体积，再反推无水截面面积，利用相似三角形面积比等于高的平方比求出无水截面高度，最后利用原三角形的高减去无水截面的高，得出水面高度. 【详解】正三棱柱容器的总容积为， 则无水部分体积． 当侧面水平放置时，设无水部分的底面三角形面积为， 则．底面正三角形的高为， 设水平放置时无水部分底面的三角形高为， 则，解得， 所以水面高度为，故选B． 5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到的直观图是矩形（如图所示），其中，则原图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由四边形为矩形，，得， 则矩形的面积， 又斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的倍， 所以原图形的面积． 6．在四棱锥中，四边形 是平行四边形，点在棱上，且，点在棱上，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，由得为 中点，故，从而平面，结合已知平面，得平面 与平面 的交线，在 中由平行线分线段成比例可得 . 【详解】如图，取棱的中点H，连接，，，记，连接． 因为四边形是平行四边形，所以O是线段的中点． 因为H是线段的中点，所以． 因为，所以，则，即E是线段的中点，所以． 因为平面ACE，平面ACE，所以平面． 由平面，平面，， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 得，则． 7．如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在正三棱柱 中，， 所以异面直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角. 连接 ，在 中， 由题意可知，底面正三角形边长为 ，侧棱长为 ， 所以 . 在 中，. 同理，在 中，. 由余弦定理可得： . 因为异面直线所成角的范围是 ，且 ， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 . 8．如图，平面，为圆的直径，为圆上一点（不与，重合），点在线段上，且，若线段上存在一点满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作，交于点， 平面，平面，， ，， ，即， 在平面内，过作于，连接. ，，，平面， 平面，，此即为满足条件的点， 是圆的直径，， ， ，即，故选项B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在下列各线段中，线段所在直线是异面直线的是（     ） A．直线和直线 B．直线和直线 C．直线和直线 D．直线和直线 【答案】ABC 【分析】将正方体还原，从而得到线段所在直线是否为异面直线. 【详解】还原为正方体，如下： A选项，直线和直线是异面直线，A正确； B选项，直线和直线是异面直线，B正确； C选项，直线和直线是异面直线，C正确； D选项，直线和直线是相交直线，不是异面直线，D错误. 10．在边长为2的正方形中，剪去以为圆心，1为半径的扇形后得到的图形如图所示，以所在的直线为轴，其余边和弧旋转一周形成的面围成一个几何体，则（     ） A．该几何体的形状为圆柱中挖去个球 B．该几何体的形状为圆柱中挖去个球 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】AD 【详解】对于A，B，正方形以所在的直线为轴旋转一周，形成一个底面半径为2，高为2的圆柱；由正方形得，则扇形（圆心角为的扇形）绕所在的直线为轴旋转一周，形成一个半球（球的半径为1），因此该几何体的形状为圆柱中挖去个球，如图所示， 故A正确，B错误； 对于C，圆柱的底面半径，高，半球的半径，则，，，，得，故C错误； 对于D，圆柱的底面半径，高，半球的半径，则，，得，故D正确. 11．已知正方体，则（   ） A．与AD所成的角为30° B．与是异面直线 C． D．直线与平面所成的角为45° 【答案】BC 【分析】由异面直线的定义及性质进行判断A，B，由线面垂直性质及线面角的定义判断C，D． 【详解】如图所示： 对于A，由，则与AD所成的角为，显然，故A错误； 对于B，平面，平面，平面，， 得与是异面直线，故B正确； 对于C，因为平面， 得平面，平面，得，故C正确； 对于D，连接，记交点为，连接，易得平面， 则直线与平面所成的角为， 不妨令正方体的棱长为2，则，得，得，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图所示，已知空间图形的底面为正方形，平面，则平面、平面、平面、平面中，与平面垂直的平面有______个． 【答案】3 【详解】由平面，平面，则平面平面， 由平面，则，而底面为正方形，则， 由且都在平面中，故平面， 由平面，则平面平面， 由平面，则， 又，，平面， 故平面，平面，故平面平面， 若平面平面，且平面平面， 所以平面平面，与平面平面矛盾， 综上，与平面垂直的平面有3个． 13．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的体积为________． 【答案】 【分析】通过辅助线找到四棱锥的高，再结合锥体体积公式求解. 【详解】如图所示,取的中点，的中点，连接， 因为底面是矩形，所以. 因为，为的中点，所以 且 . 过点作平面的垂线，因为， 所以，故点在的垂直平分线上， 故平面与平面的夹角为，， 所以该四棱锥的体积为. 14．在长方体中，若， ，则直线到平面的距离是______． 【答案】/ 【分析】根据条件，易得平面，从而将线面距转化成点面距，过作于，根据条件可得平面，再根据条件，利用几何关系，即可求解. 【详解】由题意得，又平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离等于点到平面的距离， 过作于， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又，，所以， 在中，，所以， 所以直线到平面的距离为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．将边长为1的正方形绕边所在直线旋转，得到如图所示的几何体，它是圆柱的一部分． (1)求该几何体的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据几何体的表面积求法求解； (2)利用异面直线所成角和余弦定理求解. 【详解】（1）几何体的表面积为; （2）因为，所以异面直线与所成的角即或其补角， 连接, ， 所以，又， 所以， 所以异面直线与所成角的大小为. 16．一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形． (1)求该圆锥体石膏的体积； (2)若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离； (3)将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目条件求得圆锥底面圆半径和高，进而根据圆锥体积公式进行求解； （2）通过展开圆锥侧面，得到B到C的最短距离为线段BC的长度，结合弧长的公式进行求解； （3）将圆锥内切球的半径等价为圆锥轴截面三角形内切圆的半径，结合球体的表面积公式进行求解. 【详解】（1）设为底面圆的半径，为圆锥的高， 因为是边长为8的等边三角形， 所以，， 因此圆锥体石膏的体积. （2）圆锥底面圆的周长，圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， 设扇形圆心角为，扇形的半径就是圆锥的母线长为8， 所以，解得，即侧面展开图为半圆，如下图所示， ，，，， 所以到的最短距离， 即昆虫爬行的最短距离为. （3）圆锥内可打磨出的最大球体就是圆锥的内切球，此时球的半径最大，表面积也最大， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以等边三角形的内切圆半径就是圆锥内切球的半径， 设圆锥内切球的半径为，， 此时球的表面积. 17．已知正方体的棱长为，，分别为正方体的棱，的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) 取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面，所以平面，   由于，平面，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，根据题意得到平面， 平面， 从而得到平面平面即可证明； （2）连接，通过即可求解. 【详解】（1）略. （2）连接，设点到平面的距离为， 因为正方体的棱长为，所以， 所以的面积，的面积， 由于，所以，即，解得， 所以点到平面的距离为. 18．三棱锥中，平面，为直角三角形，． (1)求证：平面平面； (2)若，，，点为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)已知：平面，平面，故 ， 又 ，即 ，，平面， 由线面垂直判定定理得：平面， 又 平面，由面面垂直判定定理：平面平面 (2) 【分析】（1）通过线面垂直判定定理和面面垂直判定定理证明； （2）先找到线面角，再利用线面角的正弦值公式求解. 【详解】（1）略； （2） 过点 作 于 ，连接 由 平面 ， 平面, 得 ； ，， 平面 ，所以 平面 ， 因此 就是直线 与平面 所成的角，设为 ，即 ， ， 是 中点，， 在直角 中， 因为,,所以， 所以得， ， 为直角三角形， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 19．如图，在四面体中，是边长为的等边三角形，是线段的中点，是的中点，点在上且满足，，．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)若，求四面体的体积. 【答案】(1)证明：因为是线段的中点，是的中点， 所以，又因为， 所以，且平面；平面， 所以平面； (2)因为是边长为的等边三角形，是线段的中点， 所以，且， 又因为，， 所以，则，且，， 所以；                    (3) 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，即； （2）要证明线面垂直，转化为证明，，即可证明； （3）首先根据条件确定，再求底面面积和高，即可求解锥体的体积. 【详解】（1）略 （2）略 （3） 因为是线段的中点，，， 所以，得， 又因为， 所以， 设四面体的体积为，则. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教B版必修第四册期末复习 第十一章立体几何初步（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台 B．直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积 C．空间中，过三点有且只有一个平面 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 2．已知圆锥的表面积为3，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 3．设，为不重合的平面，，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（     ） ①若，，则；    ②若，，则； ③若，，则；    ④若，，，则； A．① B．①② C．①③ D．①④ 4．如图1，正三棱柱形容器中盛有水，水的体积为，侧棱，底面边长，当侧面水平放置时（如图2），水面的高度为（    ） A． B． C． D．1 5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到的直观图是矩形（如图所示），其中，则原图形的面积是（    ） A． B． C． D． 6．在四棱锥中，四边形 是平行四边形，点在棱上，且，点在棱上，若平面，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，平面，为圆的直径，为圆上一点（不与，重合），点在线段上，且，若线段上存在一点满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在下列各线段中，线段所在直线是异面直线的是（     ） A．直线和直线 B．直线和直线 C．直线和直线 D．直线和直线 10．在边长为2的正方形中，剪去以为圆心，1为半径的扇形后得到的图形如图所示，以所在的直线为轴，其余边和弧旋转一周形成的面围成一个几何体，则（     ） A．该几何体的形状为圆柱中挖去个球 B．该几何体的形状为圆柱中挖去个球 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 11．已知正方体，则（   ） A．与AD所成的角为30° B．与是异面直线 C． D．直线与平面所成的角为45° 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图所示，已知空间图形的底面为正方形，平面，则平面、平面、平面、平面中，与平面垂直的平面有______个． 13．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的体积为________． 14．在长方体中，若， ，则直线到平面的距离是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．将边长为1的正方形绕边所在直线旋转，得到如图所示的几何体，它是圆柱的一部分． (1)求该几何体的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 16．一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形． (1)求该圆锥体石膏的体积； (2)若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离； (3)将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值． 17．已知正方体的棱长为，，分别为正方体的棱，的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 18．三棱锥中，平面，为直角三角形，． (1)求证：平面平面； (2)若，，，点为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 19．如图，在四面体中，是边长为的等边三角形，是线段的中点，是的中点，点在上且满足，，．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)若，求四面体的体积. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $