2025-2026学年下学期高一数学期末限时小卷（十七）（人教B版必修第四册第十一章 立体几何）

**基本信息** 聚焦立体几何核心内容，通过多样化题型系统考查空间位置关系、空间角及几何体性质，强化空间观念与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间位置关系|4单选+2多选|线面平行垂直判断、充要条件分析|从线线关系推导线面、面面关系，构建空间位置逻辑链| |空间角计算|2单选+1填空|结合中点、正方体模型求异面直线所成角余弦值|基于空间角定义，通过平移转化为平面角计算| |几何体性质|1填空+2解答|鳖臑外接球表面积、直三棱柱/长方体线面证明与体积|从几何体结构特征（如直角三角形、直棱柱）推导外接球直径、体积公式应用|

2025-2026学年高一数学下学期限时小卷（十七） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，是异面直线，，，，，则 【答案】D  【解析】解：选项：若，，则与可能平行或相交如平行于两平面交线时，与相交，故A错误； 选项：若，，则可能平行于，也可能，故B错误； 选项：若，，，则，与可能异面，不一定平行，故 C错误； 选项：，，，，且，异面，内存在直线与相交，并且 ，则，根据面面平行判定：若一个平面内有两条相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，可知，故D正确． 故选：． 2.在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：如图所示，取的中点，连接，， 则，， 则为异面直线与所成的角或补角， 因为，， 所以， 所以异面直线与所成角为． 故选：． 3.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则“”是“”的 A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查充分、必要、充要条件的判断、空间中平面与平面的位置关系、线面垂直的性质，属于基础题． 根据充分条件、必要条件的定义直接判定即可． 【解答】 解：因为， 若，则与也有可能相交，不满足充分性； 因为， 若，则，则，满足必要性； 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选B． 4.如图，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线和所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了求异面直线所成角，主要考查学生的数学运算能力，属于基础题． 找平行线，把异面直线转化为相交直线，再用解三角形的知识即可得解． 【解答】 解：设，的中点分别为，，连接，，，易证，， 所以或其补角为异面直线和所成的角，如图 设正方体的棱长为， 易求得，， 所以． 故选B． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，则下列结论正确的是(    ) A. B. 平面 C. D. 平面平面 【答案】ABC  【解析】由，分别是，的中点可知，在三棱柱中，平面平面，由两个平面平行的性质可得，而经过的重心，所以，所以，且，平面，平面，所以平面因为且，所以直线与有交点，所以平面与平面相交故A、、C正确，D错误． 6.有以下四种说法，其中正确的有(    ) A. “且”是“”的充要条件 B. 直线，，平面，若，则“”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 设，，则“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查充要条件的判定，考查空间直线与平面的垂直，一元二次方程的解法，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 利用充分、必要、充要条件的定义逐个判断即可． 【解答】 解：对于：由且可得，但由，不能推得且，所以“且”是“”的充分不必要条件，故A错误， 对于：若，，则，反之，若，，则不一定成立，是的充分不必要条件，故B正确， 对于：或，则是的充分不必要条件，故C错误， 对于：若，，则，反之，若，则或，是的既不充分也不必要条件，故D正确， 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，为垂足，则三棱锥的外接球的表面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了简单组合体及其结构特征和球的表面积，是基础题． 首先根据几何体的特征找出球的直径，然后求出球的半径，根据球的面积公式得出答案． 【解答】 解：因为，故AC为三棱锥的外接球的直径，记为， 且在中，故， 故三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为． 8.如图，正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了异面直线的夹角，考查了学生的空间想象能力，是基础题． 取的中点，连接，，，所以，所以异面直线与所成角为或其补角，再利用余弦定理求解即可． 【解答】 解：取的中点，连接，，，如图所示， ，，且，， 所以且， 四边形为平行四边形， ， 异面直线与所成角为或其补角， 设正方体的棱长为，则，，， 在中，由余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值是． 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的动点． 当是的中点时，证明：平面； 若，证明：平面平面． 【答案】证明：证明：如图，连接，交于，连接，则是的中点， 是的中点， ， 又平面，平面， 平面． 平面，平面， ， 又，，平面， 平面， 又平面， 平面平面． 【解析】本题主要考查证明线面平行，证明面面垂直，熟记判定定理即可，属于基础题． 连接，交于，连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立； 先由线面垂直的判定定理，证明平面，进而可得面面垂直． 10.本小题分 如图，已知在长方体中，，，点是的中点． 求证：平面； 求三棱锥的体积． 【答案】解：证明：连接，设，则为的中点，连接， 又是的中点，， 又面，面， 平面； 在长方体中， ，，是的中点， ．   【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是基础题． 连接，设，连接，可得，再由直线与平面平行的判定可得平面； 利用等体积法求三棱锥的体积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期限时小卷（十七） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第四册第十一章立体几何。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，是异面直线，，，，，则 2.在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为(    ) A. B. C. D. 3.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则“”是“”的 A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.如图，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线和所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，则下列结论正确的是(    ) A. B. 平面 C. D. 平面平面 6.有以下四种说法，其中正确的有(    ) A. “且”是“”的充要条件 B. 直线，，平面，若，则“”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 设，，则“”是“”的既不充分也不必要条件 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，为垂足，则三棱锥的外接球的表面积为          ． 8.如图，正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的动点． 当是的中点时，证明：平面； 若，证明：平面平面． 10.本小题分 如图，已知在长方体中，，，点是的中点． 求证：平面； 求三棱锥的体积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期限时小卷（十七） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第四册第十一章立体几何。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，是异面直线，，，，，则 2.在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为(    ) A. B. C. D. 3.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则“”是“”的 A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.如图，在正方体中，，分别是，的中点， 则异面直线和所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，则下列结论正确的是(    ) A. B. 平面 C. D. 平面平面 6.有以下四种说法，其中正确的有(    ) A. “且”是“”的充要条件 B. 直线，，平面，若，则“”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 设，，则“”是“”的既不充分也不必要条件 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，为垂足，则三棱锥的外接球的表面积为          ． 8.如图，正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的动点． 当是的中点时，证明：平面； 若，证明：平面平面． 10.本小题分 如图，已知在长方体中，，，点是的中点． 求证：平面； 求三棱锥的体积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $