第九章解三角形期末复习卷（基础版）----2025-2026学年高一数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦解三角形核心知识，以基础巩固为主，融入航海、救援、台风等真实情境，适配高一期末复习，覆盖定理应用与实际问题解决。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|正弦/余弦定理（1-3题）、多解问题（4题）、航海应用（5题）|基础公式直接应用，梯度从简单计算到情境转化| |多选|3题18分|等腰三角形判定（9题）、边角关系（10题）|多角度辨析三角形性质，考查知识迁移能力| |填空|3题15分|救援时间计算（12题）、面积公式（13题）|简洁考查定理工具性，数据贴近现实场景| |解答题|5题77分|角平分线（16题）、台风侵袭（19题）|综合应用正弦定理与实际距离计算，如19题结合台风路径，贴近高考应用命题趋势|

2025-2026年高一数学人教B版必修第四册期末复习 第九章解三角形（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在△ABC中，已知，，，则AB边的长为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】由条件可知，， 根据正弦定理，得. 2．已知的内角 ，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得：，所以， 所以. 3．在等腰中，，，则的值为（   ） A． B．-2 C．2 D． 【答案】C 【详解】根据余弦定理得， 由，得. 4．满足，，的恰有两解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形解的个数的确定方法，确定当有两个解时，需满足，由此得到的范围. 【详解】若三角形有两个解，则，即， 所以的取值范围是. 5．如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°方向且与该港口相距30海里的处，正在沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的速度匀速行驶，经过1.5小时后与轮船相遇.则小艇的航行方向为（   ） A．沿正北方向 B．北偏东45°方向 C．北偏东60°方向 D．北偏东75°方向 【答案】B 【详解】设小艇沿直线方向以海里/小时的速度航行1.5小时后，到达点， 路程为海里，即海里， 由题意得海里，， 在中，由正弦定理得， 即，， 又，故，故， 即小艇的航行方向为北偏东45°方向. 6．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】使用余弦定理角化边求解. 【详解】由，得， 即，由余弦定理，， 因为，所以， 由，得，整理得，所以是等边三角形 7．在非直角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理结合三角变换公式可求三角函数式的值. 【详解】由正弦定理可得，由余弦定理可得， 故 . 8．已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】B 【分析】利用正弦面积公式表示出：，化简可得，即，再结合基本不等式中“1”的妙用求解. 【详解】如图，为角平分线，， 即， 化简得，则， 当且仅当时取等号，故最小值为4. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是等腰三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用正弦定理、三角形内角和性质、三角恒等变换，将各选项的边化角推导角或边的关系，判断是否一定为等腰三角形可得. 【详解】选项A：由正弦定理得，即，又， 所以或，即或， 因此为等腰三角形或直角三角形，不能判定为等腰三角形，故A错误. 选项B：由正弦定理得，，则， 所以，又正弦定理得，即. 所以为等腰三角形，故B正确. 选项C：由正弦定理得，结合， 化简得，所以或，且， 所以或，因此三角形为直角三角形或等腰三角形， 故不能判定一定为等腰三角形，故C错误. 选项D：由正弦定理得，结合， 化简得，又由，得， 所以，即，因此为等腰三角形，故D正确. 10．在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 【答案】ABD 【分析】由正弦定理及，得，再由及二倍角公式得，即可求解，再结合选项即可依次判断． 【详解】由及正弦定理得，， ， 代入得， 得， 即，在中，有，故A项正确； 由，得， 得， 因，则，得，故B项正确； 因为，，及， 联立解得， 由得，则， ，故D项正确； 外接圆半径为，故C项错误． 11．在中，角的对边分别为，则下列结论正确的有（   ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若是锐角三角形，则 【答案】ABD 【分析】结合正弦定理、余弦定理、向量的数量积、三角函数的单调性，逐项判断结论是否成立. 【详解】选项A：根据正弦定理（R为外接圆的半径），得， 代入得， 因为，所以均为正数， 故，排除（此时不符合三角形要求），得， 所以为等腰三角形，A正确. 选项B：因为，所以，故，所以为直角三角形，B正确. 选项C：由余弦定理及知，为钝角， 所以是钝角三角形，C错误. 选项D：为锐角三角形，则， 因为在上单调递增，故，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求出，结合行驶速度即可求得所需时间. 【详解】在中，由题意得：海里，海里， 因在南偏西，在正东，因此。 由余弦定理， ， 即， 故 得海里， 因甲船速度为30海里/小时，因此甲船到达处所需时间小时。 13．记的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】先通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角恒等变换得到与的关系，再将面积公式结合正弦定理变形后代入计算即可. 【详解】若，根据正弦定理，则， 化简得，进而. 又中，故，因此得 三角形面积公式为，由正弦定理得，， 所以. 已知，，所以. 14．在中，D为的中点，，，，则________． 【答案】/ 【分析】先通过正弦定理得到与的数量关系，再结合中线的向量性质及余弦定理计算BC的长度. 【详解】在中，由正弦定理， 结合已知，可得， 设，则， 因为为中点，故， 两边平方得： ， 代入，，， 得： ，化简得，即， 在中由余弦定理： ， 代入、、， 得： ，将代入得， . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，化简求出后可得角A； （2）结合已知条件和三角形面积公式求出，再用余弦定理求，进而得周长. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， 即， 因为， 所以，则，即， 因为，所以. （2）因为，， 所以， 所以. 由余弦定理可得， . 故的周长为 16．中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若，，的平分线交于点，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化即可； （2）由余弦定理得出，再根据等面积计算即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又因为，， 故，故，由正弦定理得； （2）在中，由余弦定理得，计算得， 由（1）可知， 为的角平分线， 故，故， 即， 代入得， 计算得. 17．在中，角，，所对的边分别为，，且. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得到，利用三角形的面积公式求解. （2）由结合正弦定理，通过计算得到，由得到，结合两角和的正弦公式及三角形内角A、B不为直角得到，由得到，从而计算出. 【详解】（1）因为， 所以，则，解得， 将代入可得：. （2）因为， ，所以， 将代入得到， 即， 因为，所以，故， 即， 即， 因为三角形内角不为直角，所以， 所以，即， 因为，所以， 解得. 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求； (2)若的面积为，求AB边上的中线CD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，然后通过余弦定理求出. （2）根据三角形面积公式求出边的值，最后利用余弦定理求出中线的长. 【详解】（1）在中，因为，根据正弦定理得： ，因为，所以. 根据余弦定理. （2）由（1）知，因为， 所以. 因为的面积为，所以， 解得，进而.    根据余弦定理可得. 所以根据余弦定理. 因为为线段，其长度取正值，所以. 所以边上的中线的长为. 19．如图，城市位于海滨城市的南偏西的位置.现发现某台风中心位于城市南偏东，与城市距离处，同时在城市测得该台风中心位于北偏东处.台风中心正以的速度沿北偏西的方向移动.    (1)求，两城市间距离； (2)台风侵袭的范围是半径为的圆形区域.问： ①城市，会不会都受到台风的侵袭？ ②如果某城市被台风侵袭，请说明几小时后会被侵袭，并求被台风侵袭的时间长. 【答案】(1) (2)①城市不会受到台风的侵袭，城市会受到台风的侵袭；②小时 【分析】（1）根据题意判断中每个角的大小，然后结合正弦定理即可求解； （2）①分别求出城市，与台风路径的最短距离即可判断；②假设在小时后，城市到台风中心的距离等于，利用余弦定理得到二次方程，求解后得出时间差即可. 【详解】（1）在中，根据题意确定角度：，，， 由正弦定理可得， 由于，，， 代入可得，解得，因此，两城市间距离为. （2）①根据题意，台风中心的移动方向为北偏西，而在的北偏西，因此台风路径与的夹角为， 到台风路径的最短距离为，所以城市不会受到台风的侵袭； 在中，由余弦定理， 代入（1）中的数据，可得，解得， 根据题意，台风路径与的夹角为， 因此到台风路径的最短距离为，所以城市会受到台风的侵袭； ②设小时后台风到达点，则，，此时城市受到台风的侵袭， 在中，，应用余弦定理， 代入数值并化简得二次方程：，解得两个时间点：，， 因此，这样的点有两个，如图所示：    两者的时间差为小时，即城市被台风侵袭的时间长为小时. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教B版必修第四册期末复习 第九章解三角形（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在△ABC中，已知，，，则AB边的长为（   ） A． B．2 C． D．1 2．已知的内角 ，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 3．在等腰中，，，则的值为（   ） A． B．-2 C．2 D． 4．满足，，的恰有两解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°方向且与该港口相距30海里的处，正在沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的速度匀速行驶，经过1.5小时后与轮船相遇.则小艇的航行方向为（   ） A．沿正北方向 B．北偏东45°方向 C．北偏东60°方向 D．北偏东75°方向 6．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7．在非直角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是等腰三角形的是（     ） A． B． C． D． 10．在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 11．在中，角的对边分别为，则下列结论正确的有（   ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若是锐角三角形，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时． 13．记的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为______． 14．在中，D为的中点，，，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 16．中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若，，的平分线交于点，求． 17．在中，角，，所对的边分别为，，且. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求； (2)若的面积为，求AB边上的中线CD的长． 19．如图，城市位于海滨城市的南偏西的位置.现发现某台风中心位于城市南偏东，与城市距离处，同时在城市测得该台风中心位于北偏东处.台风中心正以的速度沿北偏西的方向移动.    (1)求，两城市间距离； (2)台风侵袭的范围是半径为的圆形区域.问： ①城市，会不会都受到台风的侵袭？ ②如果某城市被台风侵袭，请说明几小时后会被侵袭，并求被台风侵袭的时间长. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $