期末复习专题08 解三角形综合应用【6大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦解三角形综合应用，以六大考点构建从基础几何元素到动态最值、跨模块结合的递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中线、角平分线应用|6题|含多选与解答题，结合中线长公式、角平分线定理|从基本几何元素切入，夯实正余弦定理直接应用| |边长/周长最值|6题|含锐角三角形限制条件，结合均值不等式|进阶动态问题，培养数学抽象与转化能力| |面积最值|6题|涉及四边形与三角形综合，渗透函数思想|强化几何量关系分析，发展数学建模素养| |几何图形计算|6题|含圆内接四边形、菱形等复杂图形|拓展应用场景，提升空间观念与推理能力| |恒等式/不等式证明|6题|结合角平分线性质与代数变形|深化逻辑推理，培养严谨论证能力| |与三角函数结合|6题|含函数图像与性质综合，需三角恒等变换|跨模块整合，体现知识迁移与综合应用|

专题08 解三角形综合应用 考点一 中线、角平分线在三角形中的应用问题 考点二 求三角形中的边长或周长的最值或范围 考点三 求三角形面积的最值或范围 考点四 几何图形中的计算 考点五 证明三角形中的恒等式或不等式 考点六 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 考点一 中线、角平分线在三角形中的应用问题 1．（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，D为线段BC上的一点，则下列结论正确的是（   ） A． B．的周长为 C．若AD为的中线，则 D．若AD为的角平分线，则 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 3．在中，内角A、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为2，求的面积； 4．已知中，，，分别为内角，，的对边，且； (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度. 5．在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 6．已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，的面积为，的角平分线交于点，求线段的长度. 考点二 求三角形中的边长或周长的最值或范围 7．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围． 8．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为． (1)求； (2)若，求内切圆面积的最大值； (3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围． 9．记的内角的对边分别为．已知，，且为锐角三角形． (1)求； (2)求的取值范围． 10．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 11．在中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且． (1)求的值． (2)若为锐角三角形． ①求的取值范围； ②当，求周长的取值范围． 12．在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 考点三 求三角形面积的最值或范围 13．在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 14．在锐角△ABC中，, (1)求△ABC的周长的取值范围； (2)求△ABC的面积的取值范围. 15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 17．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 18．在中，分别为内角的对边，且. (1)若，求的面积； (2)若在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 考点四 几何图形中的计算 19．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，，，． (1)求AD长； (2)若，求的面积． 20．如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 21．如图，在菱形ABCD中，，，E、F分别在边BC、CD上，且，EF交AC于点G．当时，GC的长为______． 22．如图，平面四边形ABCD中，，则__________． 23．如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 24．在平面凸四边形中，． (1)若． ①求的长； ②求四边形的面积； (2)若，求的长． 考点五 证明三角形中的恒等式或不等式 25．（多选）三角形中，角，，的对边是，，，动点为上一点，，当变化时，与三角形的边和角之间的等量关系是（    ） A． B． C． D． 26．已知直角中，，射线AD，AC三等分，分别交BC于点D、C，且． (1)若，求的值； (2)求证：； (3)求的最小值． 27．中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 28．已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 29．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. (1)若，，求C； (2)求证：； (3)求的最小值. 30．已知平面内一三角形，点为其外心. (1)点为边的中点，，，求的值； (2)若过点的直线分别交边、于点，证明： . 考点六 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 31．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)求的取值范围； (3)若点为边上的中点，，求线段的最大值． 32．已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且． (1)若，，为角A的平分线，且交于点，求的长； (2)若的面积为，为的中点，求长的最小值； (3)若，求周长的取值范围． 33．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 34．在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 35．在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 36．在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点． (1)若，求； (2)若平分，求AD的取值范围； (3)若，令，试求的最大值． 1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（    ） A． B． C． D． 3．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 5．已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且. (1)求A； (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 6．如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角； (2)若BC的长为，求的取值范围． (3)若D为线段BC延长线上一点，且，，求． 7．在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值． 8．如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 9．在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 10．如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 11．如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 12．在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 解三角形综合应用 考点一 中线、角平分线在三角形中的应用问题 考点二 求三角形中的边长或周长的最值或范围 考点三 求三角形面积的最值或范围 考点四 几何图形中的计算 考点五 证明三角形中的恒等式或不等式 考点六 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 考点一 中线、角平分线在三角形中的应用问题 1．（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，D为线段BC上的一点，则下列结论正确的是（   ） A． B．的周长为 C．若AD为的中线，则 D．若AD为的角平分线，则 【答案】ABD 【分析】由结合三角形内角和定理求得可判断A；由结合余弦定理求得，进而可判断B；由是的中线，得，利用数量积运算律求解得可判断C；由，利用三角形面积列式求解得可判断D. 【详解】对于A，因为，解得，故A正确； 对于B，由得，由余弦定理得 ，， 所以，故B正确； 对于C,由是的中线，得， 则 ，故C不正确； 对于D，依题意可得， 可得， 又因为平分，且，所以， 则， 整理得，故D正确. 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，或， 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再整理即可证明； （2）由（1）可得，进而得到即可求解； （3）根据余弦定理可得，再利用双余弦得到，再解方程组即可． 【详解】（1）证明：由正弦定理得：， 即； （2）解：因为， 即. 则， 因为， 所以； （3）解：因为，由余弦定理知：， 即， ，， 即， ，， 故， 解得：，或，. 3．在中，内角A、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为2，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. （2）解法一：利用余弦定理以及，可得出关于，的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）由及正弦定理， 因为、，所以，则，故. （2）解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，，即， 由余弦定理可得，即，所以， 故的面积为. 4．已知中，，，分别为内角，，的对边，且； (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由正弦定理将条件变为，化简后用余弦定理即可； （2）首先需列出，代入已知条件即可得出. 【详解】（1）在中，由正弦定理及得： ，化简可得：， 由余弦定理得，又，所以. （2）是的角平分线，则， 由可得 ， 因为，，即有，故. 5．在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正弦定理化边，结合余弦定理求角，最后用正弦函数的性质或基本不等式求最值； （2）利用角平分线定理定边的比例，再用余弦定理求三边，最后用向量模长公式计算长度． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 所以， 又因为，所以， 因为，由正弦定理得， 所以，， 因为，所以， 则， 又，则，即， 所以，，即， 所以，即周长的取值范围是， （2）因为，由角平分线定理得，即， 在三角形中，，由余弦定理得，，； 因为，所以，得， 所以 ． 6．已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，的面积为，的角平分线交于点，求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合可得，据此可得答案； （2）由（1）结合可得答案. 【详解】（1）由正弦定理得， 又因所以， 即， 又因，所以 又因，所以， （2）由题，，所以，又因，所以， ， 整理得. 考点二 求三角形中的边长或周长的最值或范围 7．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解； ②由正弦定理求得，再由求得答案； （2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解. 【详解】（1）①， ，即得， 又，所以，所以， 所以或，即或， 因为，所以，即，故， 因为，所以. ②由①得. 在中，由正弦定理，得， 因为，所以 所以， . （2），，， 、B、C为的内角，， 由正弦定理得 令，， ，在单调递增， 所以. 8．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为． (1)求； (2)若，求内切圆面积的最大值； (3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对已知条件进行化简，再根据角的范围，判断方程可能得解，求出结果； （2）根据余弦定理解三角形，判断的具体结果，再根据余弦定理和基本不等式求出三角形周长的范围，进而根据内切圆半径的性质求出半径的范围，进而求出面积的最大值； （3）根据三角形形状，判断角的范围，再根据正弦定理和三角形中线的向量性质，进而根据向量的数量积运算率，表示出模长的表达式，进而求出线段长度的范围. 【详解】（1）由题意可知，化简得， 可得，因为，所以， 可得或，解得或. （2）由题意可得，化简得， 所以，所以由（1）可知，可得， 可知，化简得，即，可得. 由基本不等式可知，即，当且仅当时取等号， 所以，由，解得. 设内切圆半径为，则， 可得，因为， 所以， 因为，所以， 当时，内切圆半径为取得最大值，此时内切圆面积的最大值为. （3）可知，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以， 可知，可得，所以， 因为，所以， 则， 化简得， 因为，由，可得，解得， 所以，可得，所以，即 所以线段的取值范围为. 9．记的内角的对边分别为．已知，，且为锐角三角形． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由辅助角公式即可求解； （2）由三角形为锐角三角形确定范围，再结合正弦定理得到，由正切函数的性质即可求解. 【详解】（1）由，代入 ， 得 ， 即 得 ，即 ， 因为是三角形内角，所以， 所以 （2）由（1），三角形内角和得：，即， 因为为锐角三角形， 三个内角均小于： ， 由正弦定理，， 得： ， 展开 ， 代入化简得： 因此，则 则， 所以的取值范围为 . 10．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)等腰三角形，因为，根据正弦定理，所以 ，则 ， 则 . 因为，，所以 ，则 ， 则 ，即，从而为等腰三角形. (2) （i）或；（ii）. 【分析】（1）根据正弦定理以及同角三角函数的关系化简得到 ，再求解即可. （2）（i）根据三角形面积公式求出，再余弦定理求出. （ii）根据（i）得到，再根据余弦定理得到，结合等腰三角形以及锐角三角形求出的范围，进而得到的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（i）因为的面积为，所以. 又，所以 ， 即，则. 由余弦定理知. 当时，，得； 当时，，得. （ii）由（i）可得 ，则. 因为为锐角三角形，且，所以 解得，则，则 ， 则 ，故的取值范围为. 11．在中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且． (1)求的值． (2)若为锐角三角形． ①求的取值范围； ②当，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)通过三角形面积公式与余弦定理化简求出. （2）①通过正弦定理转换后进行化简求出只与有关的三角函数并求出范围.②通过①求得的比值表示出的范围后，利用余弦定理求出相对应的的范围并求出周长范围. 【详解】（1）因为， ， 根据余弦定理得，即， ，又因为， 所以，解得或，但是， 所以. （2）①因为，所以， 根据正弦定理. 因为为锐角三角形．，且单调递减，单调递增， 所以， 因此. ②因为，所以， 因为， 所以，且在时单调递增， 所以， 因为周长，所以. 12．在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系，将原式转化为正弦形式，进而结合正弦定理将正弦值转化为对应边的关系，再利用余弦定理即可求出，进而得到角的大小. （2）利用三角形面积关系，建立与、的等式，再结合余弦定理得到、关系，进而利用基本不等式求出的范围，再构造函数，利用函数单调性求解的最大值. 【详解】（1）由， 整理得：. 由，得， 所以. 由正弦定理，得：. 结合余弦定理，可得：， 因为，故. （2）由, 可得， 由（1）知，又，所以， 则，得，当且仅当时等号成立， 又因为 ，所以. ， 因为在上递增， 所以，即线段长度的最大值为 1. 考点三 求三角形面积的最值或范围 13．在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】如图，连接，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以，当且仅当时，取等号， 所以. 所以面积的最大值为. 14．在锐角△ABC中，, (1)求△ABC的周长的取值范围； (2)求△ABC的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再由和角公式化简题设等式求得，，利用正弦定理将三角形的周长表示为关于角的正弦型函数，结合锐角三角形与正弦函数的性质即可求得其范围； （2）利用（1）的结论，将三角形的面积表示为关于角的正弦型函数，结合正弦函数的性质即可求得其范围. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 因， 代入整理得，因，则，故得，则. 又因，由正弦定理，， 则， 于是△ABC的周长为， 因是锐角三角形，则，解得， 则，则， 故△ABC的周长的取值范围是. （2）设△ABC的面积为，则 ， 因，则，故得， 于是△ABC的面积的取值范围是. 15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解； （3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，； （2）由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； （3）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角； （2）法一：应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；法二：应用正弦定理得三角形周长，再应用三角形内角性质及三角恒等变换得，最后应用正弦函数的性质求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【详解】（1）由已知及正弦边角关系得， 因为，所以，而， 所以，，， 所以，，故，即； （2）方法一：由余弦定理，得，即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理，得，， 所以 ， 因为，所以，即，即，， 所以周长的取值范围为； （3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形，所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 17．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围； （3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 18．在中，分别为内角的对边，且. (1)若，求的面积； (2)若在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由余弦定理求得，由三角形的面积公式即可求得结果； （2）由三个三角形面积关系建立等式，然后化简即可得证； （3）由余弦定理求得，然后得到三角形的面积，令函数，由三角函数辅助角公式化简得，由三角函数的最值得到不等式，从而求得的范围，即求出三角形的面积的最大值. 【详解】（1）， 由余弦定理：， 可得，； 而. （2）， 即：， 化简得：. （3）由余弦定理：且， 可得，， 而， 令，则，即， 可得，，其中，的终边经过点， 因此，取为锐角，所以，解得. 最大值为. 考点四 几何图形中的计算 19．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，，，． (1)求AD长； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）先求的三角函数，利用倍角得的三角函数，再由圆内接四边形性质得，通过三角恒等变换可得，在中用正弦定理求，最后用面积公式计算即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 代入，，，得 ， 整理得，解得（不符合边长要求，舍去）. （2）在中，由余弦定理得， 所以，又因为，所以，， 四边形为圆内接四边形，，所以，， 所以，即，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以. 20．如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理，在与中分别表示公共边，联立两式消去参数，化简得到； （2）将四边形面积拆分为两个三角形面积和，结合第（1）问的结论，通过平方相加消元，求出面积的最大值． 【详解】（1） 如图，连接BD， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则有， 因为，， 所以， 因为，所以； （2）如图，因为， 所以四边形ABCD的面积， 将两边平方，可得， 即①， 由（1）可知，平方可得②， 联立①②，解得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以四边形ABCD面积的最大值为 21．如图，在菱形ABCD中，，，E、F分别在边BC、CD上，且，EF交AC于点G．当时，GC的长为______． 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质，先证为等边三角形，得到边与角的基础关系；再通过等角转化证明，求出关键边的长度；接着结合等边的性质与外角定理，证明 ，从而利用两角对应相等判定；最后根据相似三角形对应边成比例的性质，直接计算出 的长即可. 【详解】 四边形 是菱形，，， 又 ， 是等边三角形， ，， ，， ，， 在 和 中： ，， ，，，， ，， 又 ， 是等边三角形，， ， 又 ， ， 又 ， ， 在 和 中： ，， 代入 ，，得： 解得： 22．如图，平面四边形ABCD中，，则__________． 【答案】/ 【分析】由得到，.在中，将转化为，再结合已知条件求出.由得到，最后在中用余弦定理求. 【详解】因为，所以，. 在中，由正弦定理可得， 又已知，所以. 因为，且，所以，从而，故. 又因为，所以. 在中，由余弦定理得， 所以. 23．如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理可得、，由可得，再结合即可得的值； （2）设，利用余弦定理可表示出、，再利用（1）中所得即可得解. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得，则， 在中，由正弦定理可得，则， 故， 由，则， 则，故； （2）设，则，， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ， 由（1）知，则， 故， 解得. 24．在平面凸四边形中，． (1)若． ①求的长； ②求四边形的面积； (2)若，求的长． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】（1）第①小问用两次余弦定理即可，第②小问直接用面积公式即可. （2）设，用表示各边，再对用余弦定理即可. 【详解】（1）①，，即 由余弦定理得， 代入得：， 化简得：，解得. ②设四边形的面积为，， . （2）如下图，过点作垂线交于，设， ， 四边形是矩形，， 对用勾股定理得：， 对用勾股定理得：， 对用余弦定理得：， 即，化简得 两边平方得：， 再化简得：， 解得或4，，或2， 又是锐角三角形，， 即，得，. 考点五 证明三角形中的恒等式或不等式 25．（多选）三角形中，角，，的对边是，，，动点为上一点，，当变化时，与三角形的边和角之间的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】在及中，借助正弦定理结合计算即可得B；借助向量线性运算及数量积公式计算可得D；举出反例可得A、C. 【详解】由，则、、； 对A：在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 则， 故， 即， 即，故B正确； 对D：由，设，则， 即有，故D正确； 对A、C：取、、、、、、， 则、， 则， 又、， 此时、，故A、C错误. 26．已知直角中，，射线AD，AC三等分，分别交BC于点D、C，且． (1)若，求的值； (2)求证：； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，结合向量数量积运算律即可求解； （2）由正弦定理可得，，利用三角恒等变换化简即可证明： （3）由（2）可知，根据基本不等式“1”的妙用计算即可求解. 【详解】（1）因为，由题意可知， 所以 ； （2）设，在中， 由正弦定理可得，即， 在中，，即， 所以等式左边， 等式右边 因为， 所以， 即成立； （3）由（2）可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 27．中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和与差的正弦公式即可计算求解； （2）（i）先分别在和中利用正弦定理结合和比例的性质得和，接着在和中利用余弦定理结合即可分析计算求解； （ii）先由（1）得，进而得到，，接着由题设结合（i）得，再结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得 ， 因为A，，所以，，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    同理在中，②， BD是的角平分线，则，则， 故得， 由比例的性质得，即， 同理得，即， 在中，由余弦定理得③， 中，由余弦定理得④， 又，故，， 由得 ， 则， 即； （ii）因为，故， 则，则，， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即，时等号成立， 故的最大值为． 28．已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得，再应用余弦边角关系求角； （2）根据已知及（1）得，应用正弦边角关系易得，再应用三角形内角关系及和角正弦公式可得，变形整理即可证. 【详解】（1）由正弦定理可得，化简可得， 故，因为，所以； （2）因为，所以， 由正弦定理得，易知，所以， 因为，所以， 所以，故. 29．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. (1)若，，求C； (2)求证：； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式结合题意可得，据此可得答案； （2）由基本不等式，三角函数值域，利用作差法可完成证明； （3）由结合正弦定理和余弦定理可得，然后由（2）中结论可得答案. 【详解】（1）由， ，联立得 则，因为，， 所以，即； （2） ， 当且仅当时等号成立； 因为，所以 此时，当且仅当是等边三角形时等号成立 则，即. （3）因为 所以. 当且仅当是等边三角形时等号成立. 30．已知平面内一三角形，点为其外心. (1)点为边的中点，，，求的值； (2)若过点的直线分别交边、于点，证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可得，然后由数量积几何意义可得答案； （2）设三角形外接圆半径为R，用两种办法表示，可得，及，据此可完成证明. 【详解】（1）， 由数量积几何意义可得：， 同理得. 则； （2）证明：设三角形外接圆半径为R， ，. 因，所以. 同理，所以， 又，，. 则. 故  ① ∵点O为三角形ABC的外心，， ，， 同理，. 则. 代入上式①中，结合，可得： ， 所以，原命题得证 考点六 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 31．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)求的取值范围； (3)若点为边上的中点，，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理，结合正弦定理角化边求解得即可得答案； （2）由正弦定理边化角，结合内角和定理，三角恒等变换得，再结合的范围求解即可； （3）根据得，再结合余弦定理与基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）解：因为， 所以，由正弦定理可得，整理得， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以． （2）解：由正弦定理，可得， 因为为锐角三角形，且， 所以，解得， 所以，，， 所以， 所以的取值范围是． （3）解：因为点为边上的中点，所以， 所以， 因为，， 所以，由余弦定理得， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以， 所以，即线段的最大值为． 32．已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且． (1)若，，为角A的平分线，且交于点，求的长； (2)若的面积为，为的中点，求长的最小值； (3)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换先计算A，再根据三角形面积公式、等面积法计算即可； （2）利用三角形面积公式确定，再利用中线的向量性质，平方结合基本不等式计算最小值即可； （3）利用正弦定理化边为角，再由辅助角公式结合角的范围、正弦函数的性质计算即可. 【详解】（1），     由， 由， 因此有， 由已知得， 且为角A的平分线，所以， 因为， 则， 即，解得． （2）由已知，又的面积为， 则，解得，     又， 则 当且仅当时，等号取到，所以； 即边上中线长的最小值为． （3）由正弦定理可知：，     因此有 ， 因为，所以 因此周长的取值范围为． 33．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由的图象，求得，得到，得到，再由，即，求得，即可函数的解析式及对称中心； （2）由，求得，由正弦定理得，得到，化简得到的周长为，结合为锐角三角形，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得， 可得，所以，所以， 又由，即， 解得，即， 因为，所以， 所以函数的解析式为； 令，可得， 所以的对称中心为. （2）解：因为，可得，即， 因为，可得，所以，所以， 又因为，由正弦定理可得，则， 所以的周长为 因为，可得， 所以， 因为为锐角三角形，可得，可得，可得， 则，可得， 所以的周长为. 34．在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角的性质及辅助角公式得，即可得； （2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理求边长，即可得； （3）由题设得、，再应用三角恒等变换有，最后由正弦型函数的性质求范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系，知， 又， 所以，又， 则，即， 因为，所以，所以，即； （2）由题设，则， 所以， 所以三角形周长为； （3）由（1）知，则，而，得， 所以， 而，故，则的范围为. 35．在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，求得，再由，联立方程组，求得，因为为边中线，得到，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）由正弦定理，化简得到，再由是锐角三角形，求得，结合正切函数的性质，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理可得，即， 整理得，所以， 因为，所以， 又因为， 联立方程组，解得，所以， 因为为边中线，则， 所以， 可得，解得或（舍去）， 所以的面积为. （2）解：由正弦定理，可得 . 因为是锐角三角形，则，可得，所以， 因为，所以，则， 所以，所以. 36．在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点． (1)若，求； (2)若平分，求AD的取值范围； (3)若，令，试求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理将角化边，即可得到，结合得到、，最后由余弦定理计算可得； （2）由等面积法得到，再由余弦定理得到，再由基本不等式求出bc的范围，最后利用换元法及函数的性质计算可得； （3）利用余弦定理和正弦定理得，再将其平方转化为关于的函数，再配凑即可求出最值． 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得，整理得， 又，所以，则， 所以，所以， 由余弦定理， 又，所以； （2）因为，即， 所以， 由余弦定理， 所以， 所以， 因为，且，所以，当且仅当时取等号，则 所以，令，则， 所以， 因为在上单调递增， 当时，当时， 所以，即AD的取值范围为．    （3）由余弦定理，， 所以， 所以 ， ， 所以．当且仅当， 即时，． 1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先将目标式化简为，结合已知代入余弦定理，再通过三角恒等变换和辅助角公式求解目标式的最大值. 【详解】由余弦定理，将代入得. 进而. 的最小值为，因此的最大值为. 令，. ， 当时，， 根据对勾函数的性质可得， 故的最大值为， 即的最大值为. 2．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正弦定理和三角恒等变换得到，再结合余弦定理用去表示，最后利用三角形面积公式求解最大值时的取值. 【详解】中，由正弦定理得，又代入上式得，即. 又，，，，即. 又，，. 由余弦定理得. ，，有，，. 中，且，，， . 因为为常数，要使的面积最大，则取得最大值. ，，结合正弦函数的单调性可知，当，即时，有最大值. 故面积取最大值时，. 3．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C 4．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可. 【详解】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 5．已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且. (1)求A； (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】(1)用正弦定理化边为角，结合三角形内角和与三角恒等变换，求出角A； (2)用向量中线公式表示，结合余弦定理与基本不等式，求出AD最大值. 【详解】【小题1】因为， 由正弦定理得：， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以. 【小题2】因为，，所以， 因为D是BC的中点，所以，所以 因为，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以AD的最大值为3. 6．如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角； (2)若BC的长为，求的取值范围． (3)若D为线段BC延长线上一点，且，，求． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换化简求值； （2）用正弦定理边化角，再根据三角函数的性质求取值范围； （3）设，在和中用正弦定理，结合，代入角度关系化简，再利用三角恒等变换，将等式转化为关于的方程，求解. 【详解】（1）在中，由条件及正弦定理可得：， 即， 故，则有， 又，，故有， 或（舍去），或（舍去）， 则，又，所以； （2）由正弦定理有：， 故，，即， ，， ，，， 的取值范围是. （3）设，在和中， 由正弦定理可得，， 于是，又， 则，， ． 7．在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)14 【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角差的正弦公式可得的值，进而可得结果； （2）设，通过余弦定理用表示，将四边形的面积表示为关于的函数，求出函数的最大值即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 可得， 因为，所以， 因为，所以． （2）设，平面四边形ABCD的面积为S， 在中，由余弦定理得， 所以 ， 因为，所以， 当，即时，平面四边形ABCD面积的最大值为14． 8．如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中利用余弦定理求出，进而求出 ，最后在中利用正弦定理求解 （2）设 ，利用正弦定理将表示为 的函数，进而将面积表示为 的三角函数，结合 的取值范围求值域 【详解】（1）在 中，，，由余弦定理， 因为 ，所以， 因为，所以，所以 ， 在中，由正弦定理得， 即 所以边的长为. （2）设 ，因为，所以， 在中，，所以， 由三角形内角和定理，得，解得， 在中，， 由正弦定理得， 所以面积 . 因为，所以，则， 所以，即面积的取值范围为. 9．在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）依题意，利用三角恒等变换可得，进而可得； （2）利用等面积法结合条件计算即可； （3）由（1）知，解直角三角形可得，，利用换元法及辅助角公式可将函数变形，再次换元结合单调性可得结果. 【详解】（1）依题意得， 则， 又， 所以，从而， 又有意义，所以，即， 故为直角三角形. （2）由（1）知，，而的平分线交BC于D， 得， 因为， 即， 所以 所以． 故线段AD的长为. （3）由（1）知，在中，，则， 所以，， 故，. 令， 由得，且，则. 令，则， 则， 显然在上单调递增，则在上单调递减， 所以当时，即，即时，. 10．如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理运算求解即可； （2）在中，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 且. 所以. （2）因为，则， 在中，由余弦定理得 11．如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积公式求得，进而得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理得解； （2）由，可得四点共圆，进而得，在中，由余弦定理得解. 【详解】（1），即，解得， 由 ，可知，故， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 在中，由余弦定理得， 代值化简得，解得. （2）若，则四点共圆， 又，则， 在中，由余弦定理得， 所以，解得. 12．在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得到边角关系，结合正弦定理化简求角； （2）将周长最小值转化为求边的最小值，结合余弦定理和基本不等式求解； （3）利用正弦定理将转化为角的三角函数，结合锐角三角形的角范围求面积的取值范围. 【详解】（1）由，则， 即， 由，则，故， 即，由，故； （2）由余弦定理得， 则， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最小值为； （3）由正弦定理可得，故、， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 则，故，即. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $