2027届高考一轮复习 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性

**基本信息** 本练习聚焦三角函数周期性、奇偶性与对称性，通过“基础过关+素养提升”分层设计，实现从单一概念到综合应用的递进，适配一轮复习知识巩固与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|周期性计算、奇偶性判断、对称性应用等核心知识点|单选（7题）夯实概念辨析，多选（2题）强化性质综合理解，解答题（2题）深化图象变换与参数求解，体现“概念→运算→应用”思维路径| |素养提升|新定义函数（Ti函数）、实际情境模型（音乐函数）等综合应用|结合创新情境（如15题新定义）与跨学科背景（如7题音乐模型），考查数学抽象与逻辑推理，培养数学眼光与理性精神|

微练(三十四)　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.若函数y=cos(ω>0)的图象的两对称中心间的最小距离为,则ω=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知函数f(x)图象的一个对称中心为点,f(x)的一个周期为4π,则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)=sin+1 B.f(x)=cos+1 C.f(x)=sin+1 D.f(x)=cos+1 3.已知函数f(x)=2cos(0<ω<3)的图象关于点中心对称,则ω=(　　) A. B. C.2 D. 4.函数f(x)=tan的图象的对称中心不可能是(　　) A. B. C. D. 5.记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若π<T<2π,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则f=(　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 6.函数f(x)=sin x-cos x,则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x)向左平移后的所得函数 B.f(x)向右平移后的所得函数 C.f(x)向左平移后的所得函数 D.f(x)向右平移后的所得函数 7.(2026·金华模拟)某美妙音乐的模型函数为f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x,则关于该函数下列说法正确的是(　　) A.最小正周期为3π B.是偶函数 C.在区间上单调递增 D.最大值为 二、多项选择题 8.(2026·昆明模拟)已知函数f(x)=sin 2x,若f(x1)=f(x2)=,则|x1-x2|的值可以为(　　) A. B. C. D. 9.将函数f(x)=sin 4x的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上的所有的点向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则(　　) A.g(x)的最小正周期为 B.g(x)的图象关于点对称 C.g(x)图象的对称轴方程为x=,k∈Z D.g(x)在(0,2π)上有4个极值点 三、填空题 10.已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ),0≤φ≤π.若f(x)是偶函数,则f的值为　　　　.  11.已知函数f(x)=cos(ωx+φ),=1,f=0,且f(x)在区间上单调,则ω的最大值为　　　　.  12.函数f(x)=tan(ωx+φ)的图象如图所示,图中阴影部分的面积为6π,则函数y=f(x)的解析式为　　　　　　　.  四、解答题 13.已知f(x)=4sinsin-. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)若函数f(x)在区间[0,m]上恰有两条对称轴,求实数m的取值范围. 14.已知函数f(x)=2sin(ω>0,0<φ<π)为偶函数,且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求f(x)的解析式及单调递减区间; (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈时,求函数g(x)的值域. 素养提升 15.(2026·嘉兴模拟)(多选题)已知角α的顶点与原点重合,它的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点A(a,b)(ab≠0,a≠b),定义:Ti(α)=.对于函数f(x)=Ti(x),则(　　) A.函数f(x)的图象关于点对称 B.函数f(x)在区间上单调递增 C.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 D.方程f(x)=在区间[0,π]上有两个不同的实数解 16.(2026·潍坊模拟)已知函数f(x)=3sin x+4cos x,且f(x)≤f(θ)对任意x∈R恒成立,若角θ的终边经过点P(4,m),则m=　　　　.  微练(三十四)　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 1.A　解析　因为函数y=cos(ω>0)的图象的两对称中心间的最小距离为,所以=,则T=π,所以T==π,解得ω=1.故选A. 2.A　解析　对于A,f=sin 0+1=1,最小正周期为=4π,故A正确;对于B,f=cos 0+1=2,故B错误;对于C,f=sin+1=2,故C错误;对于D,f=cos+1=1,最小正周期为=8π,故D错误.故选A. 3.A　解析　由题意可知ω+=+kπ(k∈Z),解得ω=+3k(k∈Z),又因为0<ω<3,所以k=0,则ω=.故选A. 4.C　解析　由函数f(x)=tan,令2x-=(k∈Z),解得x=+(k∈Z),所以函数f(x)的图象的对称中心为(k∈Z).当k=-4时,x=-;当k=-1时,x=-;当k=2时,x=;所以f(x)图象的对称中心的横坐标可以为-,-,,无论k取何整数值,+,故选C. 5.C　解析　由题意得π<<2π,所以1<ω<2.因为y=f(x)的图象关于点中心对称,所以b=3,+=kπ,k∈Z,所以ω=2k-,k∈Z,由1<ω<2,得ω=,所以f(x)=sin+3,所以f=sin+3=2.故选C. 6.A　解析　由题意可知:f(x)=sin x-cos x=2sin,对于选项A:f(x)向左平移后的所得函数y=f=2sin x,为奇函数,故A正确;对于选项B:f(x)向右平移后的所得函数y=f=2sin,不为奇函数,故B错误;对于选项C:f(x)向左平移后的所得函数y=f=2sin,不为奇函数,故C错误;对于选项D:f(x)向右平移后的所得函数y=f=2sin=-2cos x,不为奇函数,故D错误.故选A. 7.C　解析　A选项:f(x+2π)=sin(x+2π)+sin(2x+4π)+sin(3x+6π)=sin x+sin 2x+sin 3x=f(x),A选项错误;B选项:f(-x)=sin(-x)+sin(-2x)+sin(-3x)=-sin x-sin 2x-sin 3x=-f(x),B选项错误;C选项:f'(x)=cos x+cos 2x+cos 3x,当x∈时,2x∈,3x∈,f'(x)>0,函数单调递增,C选项正确;D选项:=1++,当sin x=1时,x=+2kπ,此时,sin 2x=0,sin 3x=-,即三项无法同时取到最大值,D选项错误.故选C. 8.BD　解析　由题意知sin 2x=,2x=+2k1π(k1∈Z)或2x=+2k2π(k2∈Z),即x=+k1π(k1∈Z)或x=+k2π(k2∈Z). 解法一(特殊值法):令x1=,x2=,则|x1-x2|=,故B正确;令x1=,x2=,则|x1-x2|=,故D正确.故选BD. 解法二(直接法):令x1=+k1π(k1∈Z),x2=+k2π(k2∈Z),则|x1-x2|=|x2-x1|=(k1,k2∈Z),因为k1,k2∈Z,所以k2-k1∈Z,则|x2-x1|=(n∈Z).令n=0,得|x2-x1|=,令n=-1,得|x2-x1|=,故选BD. 9.BC　解析　f(x)=sin 4x的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到y=sin 2x图象,再将所有的点向左平移个单位长度得g(x)=sin=sin=cos 2x的图象.对于A,g(x)的最小正周期T==π,A错误;对于B,g=cos=cos=0,B正确;对于C,令2x=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,则g(x)图象的对称轴方程为x=,k∈Z,C正确;对于D,令2x=kπ,k∈Z,可得x=kπ,k∈Z,令0<<2π,k∈Z,解得0<k<4,k∈Z.即k=1,2,3,故g(x)在(0,2π)上有3个极值点,D错误.故选BC. 10.　解析　f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)=2sin,因为f(x)是偶函数,所以φ+=⇒φ=-,k∈Z,因为0≤φ≤π,所以φ=,即f(x)=2sin=2cos x是偶函数满足题意,所以f=2cos=. 11.　解析　因为=1,f=0,所以x=-时,f(x)取得最值,是f(x)图象的对称中心,则-=(2k+1)×(k∈Z),所以T=(k∈Z),ω=(k∈Z),又因为f(x)在区间上单调,所以-=,0<ω≤12,所以当k=3时,ω取得最大值为. 12.f(x)=tan　解析　如图所示.区域①和区域③面积相等,故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积,可得|AB|=3,设函数f(x)的最小正周期为T,则|AD|=T,由题意可得3T=6π,解得T=2π,故=2π,可得ω=,即f(x)=tan,又f(x)的图象过点,即tan=tan=-1,因为φ∈,所以+φ=-,解得φ=-.故f(x)=tan. 13.解　(1)f(x)=4sinsin-=4cos xsin-=4cos x-=2sin xcos x+2cos2x-=sin 2x+2-=sin 2x+cos 2x=2sin.则函数f(x)的最小正周期为:=π;再令+2kπ≤2x++2kπ,得+kπ≤x≤+kπ,其中k∈Z.则单调递减区间为:,k∈Z. (2)由(1),当x∈[0,m],2x+∈,因为函数y=sin x在x=+kπ,k∈Z处有对称轴,则函数y=sin x在直线x=右侧的三个临近对称轴为:x=,x=,x=.则≤2m+<⇒≤m<. 14.解　(1)因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为,所以函数f(x)的最小正周期T=2×=π,可得ω==2,又由函数f(x)为偶函数,可得φ-=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=,则f(x)=2sin=2sin=2cos 2x,令2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,解得kπ≤x≤kπ+,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为,k∈Z. (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2cos=2cos的图象,再把横坐标缩小为原来的,得到函数g(x)=2cos的图象,当x∈时,4x-∈,则cos∈,故g(x)=2cos∈(-1,2],即函数g(x)的值域为(-1,2]. 15.AB　解析　根据题意,tan x=,所以f(x)=====tan,对于A,由正切函数的性质得x+=,k∈Z,解得x=-+,所以函数f(x)的对称中心为,k∈Z,故A正确;对于B,x∈,所以x+∈,由正切函数的性质可知f(x)在上单调递增,故B正确;对于C,将f(x)的图象向左平移个单位长度可得y=tan=tan=,为奇函数,故C错误;对于D,因为x∈[0,π],所以x+∈,令α=x+,由正切函数y=tan α的性质可知在上单调递增,且y≥1,在上单调递增,且y≤1,所以方程f(x)=tan=在区间[0,π]上只有一个实数解,故D错误.故选AB. 16.3　解析　因为f(x)=3sin x+4cos x=5sin(x+φ),其中cos φ=,sin φ=,则sin(θ+φ)=1,所以θ+φ=+2kπ(k∈Z),所以θ=-φ+2kπ(k∈Z),所以sin θ=sin=cos φ=,同理cos θ=,所以tan θ===,所以m=3. 学科网（北京）股份有限公司 $