精品解析：北京市石景山区2025-2026学年初一下学期期末阶段自测数学试卷

北京市石景山区2025-2026学年初一下学期期末阶段自测数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分100分．考试时间100分钟．其中I卷，共90分，共6页，共三道大题，26道小题．II卷共10分． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． I卷 第一部分 一、选择题（共16分，每题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列调查中，适合全面调查的是（ ） A. 了解某班学生喜欢的体育项目 B. 了解某种奶制品中蛋白质的含量 C. 调查某条河流的水质 D. 调查一批电脑的使用寿命 2. 若，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国量子计算原型机“九章一号”在某一特定问题的计算中，处理1个数据需要的时间约为0.000004秒，将0.000004用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5. 如图，直线相交于点，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 以下运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某书店拟推出由7本短篇绘本组成的亲子阅读套装产品．现有10本候选绘本，其页数数据如图所示．已知序号为1到5号的绘本已确定入选，且这5本绘本页数的中位数为40页．6号绘本从甲、乙、丙中挑选，7号绘本从丁、戊中挑选，使最终选定的7本绘本页数的中位数仍为40页，可以选择（ ） A. 甲、丁 B. 乙、戊 C. 丙、丁 D. 丙、戊 8. 有7张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示（不重叠、无缝隙）的方式放置在大长方形中，根据图中数据，1张小长方形卡片的面积是（ ） A. 78 B. 80 C. 85 D. 90 第二部分 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 请你写出一个解为 的二元一次方程组，你写的方程组是__． 10. 如图，四边形中，点是延长线上一点．请你添加一个条件，能判定．这个条件可以是___________________． 11. 某班20名同学利用假期参与了社区志愿服务活动，他们的社区服务时长如下所示： 服务时长 15 16 20 人数 4 10 6 这20名同学社区服务的平均时长是__________． 12. 一个角是它的补角的3倍，则这个角的度数为______． 13. 如图，三角形是由三角形沿着直线平移得到的，若，则A，D两点之间的距离是__________． 14. 在括号中填写推理的依据： 是的余角，是的余角， ____________． 15. 利用归纳的方法探究（是正整数）的结果的个位数字的规律，并写出： （1）的个位数字是__________； （2）的个位数字是__________． 16. 已知关于的不等式组有两个整数解，则的取值范围是__________． 三、解答题（共58分，第17题6分，第18-19题每小题5分，第20-21题每小题6分，第22-23题每小题5分，第24题6分，第25-26题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 计算：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 21. 如图，点E，F分别在线段上，． 求证：． 22. 如图1，现有一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线将长方形用剪刀平均分成四块大小、形状完全相同的小长方形，将这四块小长方形拼成一个正方形（如图2），四张小长方形卡片之间不重叠、无缝隙． （1）观察图2，请你写出之间的等量关系是__________； （2）根据（1）中的结论，若，求的值． 23. 为响应“全民阅读”的号召，引导学生利用假期养成良好阅读习惯，某中学组织学生开展“假期书香伴成长”的主题活动．为了解全校1000名学生假期课外阅读情况，学校开展了一次调查研究，从每个班级随机抽取了4名学生进行调查，并将收集的数据（单位：本）进行整理、描述，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了__________名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“5本”所在的扇形的圆心角等于__________度； （4）抽取的这部分学生假期课外阅读数量的众数是__________本； （5）在这次活动中，学校授予阅读数量不少于4本的学生为“书香勤学少年”称号，根据调查结果，估计该校获得该称号的学生有__________名． 24. 2026年4月30日至5月5日，第二十五届八大处中国园林茶文化周在八大处公园成功举办．本次茶文化周以免费品茗、茶文化讲座以及斗茶大会等精彩活动吸引了众多游客．小石和小珊购买了一些茶带回家给长辈们品尝，其中小石购买了3袋种茶和1袋种茶，共花费340元；小珊购买了2袋种茶和3袋种茶，共花费460元． （1）求A，B两种类型茶的单价； （2）若两人计划共同购买两种类型茶共10袋，且两种茶均需购买，总费用不超过850元，则有哪些购买方案？ 25. 如图，直线，点A，B分别在直线上，连接，点在线段上，点在射线上，连接，作的角平分线交直线于点，点是直线上一动点（不与重合），连接，设． （1）当时，依题意补全图1，并求证：； （2）作的角平分线交线段于点．依题意补全图2，并用含的代数式表示的大小． 26. 关于x，y的二元一次方程组，给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“合和”方程组．例如：关于x，y的二元一次方程组的解是，满足，则称方程组是“合和2”方程组． （1）下列方程组是“合和3”方程组的是__________（只填写序号）； ①； ②； ③； ④． （2）若关于x，y的方程组是“合和”方程组，求的值； （3）当时，对于的每一个值，关于x，y的方程组都是“合和”方程组，直接写出a，b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市石景山区2025-2026学年初一下学期期末阶段自测数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分100分．考试时间100分钟．其中I卷，共90分，共6页，共三道大题，26道小题．II卷共10分． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． I卷 第一部分 一、选择题（共16分，每题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列调查中，适合全面调查的是（ ） A. 了解某班学生喜欢的体育项目 B. 了解某种奶制品中蛋白质的含量 C. 调查某条河流的水质 D. 调查一批电脑的使用寿命 【答案】A 【解析】 【分析】根据调查的规模、是否具有破坏性，判断合适的调查方式，全面调查适用于样本容量小、易实施、无破坏性的调查． 【详解】解：A、某班学生人数少，调查范围小，适合全面调查； B、调查奶制品蛋白质含量，样本数量大，适合抽样调查； C、河流流域范围大，无法完成水质全面调查，适合抽样调查； D、调查电脑使用寿命具有破坏性，不适合全面调查，适合抽样调查． 2. 若，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴，，，故A，B错误，C正确； ∴， ∴，故D错误． 3. 我国量子计算原型机“九章一号”在某一特定问题的计算中，处理1个数据需要的时间约为0.000004秒，将0.000004用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将0.000004用科学记数法表示应为． 4. 能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找出满足但的的值即可． 【详解】解：A、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； B、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； C、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； D、，满足，且，不满足，可以说明该命题是假命题． 5. 如图，直线相交于点，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角相等可判断B正确；由垂线的定义可得，则可判断C正确；可证明，根据，可得，则可判断D正确；根据现有条件无法得到，则可判断A错误． 【详解】解：由对顶角相等可得，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故C结论正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴，故D结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法得到，故A中结论错误，符合题意 ． 6. 以下运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 7. 某书店拟推出由7本短篇绘本组成的亲子阅读套装产品．现有10本候选绘本，其页数数据如图所示．已知序号为1到5号的绘本已确定入选，且这5本绘本页数的中位数为40页．6号绘本从甲、乙、丙中挑选，7号绘本从丁、戊中挑选，使最终选定的7本绘本页数的中位数仍为40页，可以选择（ ） A. 甲、丁 B. 乙、戊 C. 丙、丁 D. 丙、戊 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用中位数做决策，要使选定7本绘本的页数的中位数仍为40， 则需要从甲、乙、丙和丁、戊里选择40页以上的一本绘本和40页以下的一本绘本，根据选项即可得出正确的答案． 【详解】解：由图像可知，要使选定7本绘本的页数的中位数仍为40， 则需要从甲、乙、丙和丁、戊里选择40页以上的一本绘本和40页以下的一本绘本， 因此可排除甲、丁，乙、戊，丙、戊，只能选择丙、丁． 8. 有7张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示（不重叠、无缝隙）的方式放置在大长方形中，根据图中数据，1张小长方形卡片的面积是（ ） A. 78 B. 80 C. 85 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】设小长方形卡片的长为x，宽为y，根据图形提供的长和宽的关系列出方程组，解方程组，求出长和宽，即可得到1张小长方形卡片的面积． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为 由题意得 解得， ∴1张小长方形卡片的面积是． 第二部分 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 请你写出一个解为 的二元一次方程组，你写的方程组是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，列出正确的方程组是解本题的关键． 10. 如图，四边形中，点是延长线上一点．请你添加一个条件，能判定．这个条件可以是___________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：添加条件，可以根据内错角相等，两直线平行判定． 添加条件，可以根据同位角相等，两直线平行判定． 添加条件，可以根据同旁内角互补，两直线平行判定 ∴添加的条件可以是 （答案不唯一）． 11. 某班20名同学利用假期参与了社区志愿服务活动，他们的社区服务时长如下所示： 服务时长 15 16 20 人数 4 10 6 这20名同学社区服务的平均时长是__________． 【答案】17 【解析】 【详解】解：这名同学社区服务的平均时长为：． 12. 一个角是它的补角的3倍，则这个角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】设这个角为，根据补角的性质列出方程即可求解． 【详解】设这个角为，则，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查补角和方程，解题的关键是根据题意列出方程． 13. 如图，三角形是由三角形沿着直线平移得到的，若，则A，D两点之间的距离是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平移的性质得到，由即可得到A，D两点之间的距离． 【详解】解：∵三角形是由三角形沿着直线平移得到的， ∴， ∵，且， ∴， 解得，， ∴A，D两点之间的距离是4 ． 14. 在括号中填写推理的依据： 是的余角，是的余角， ____________． 【答案】同角的余角相等 【解析】 【分析】根据同角的余角相等可证． 【详解】解：是的余角，是的余角， ，， （同角的余角相等）． 15. 利用归纳的方法探究（是正整数）的结果的个位数字的规律，并写出： （1）的个位数字是__________； （2）的个位数字是__________． 【答案】 ①. 3 ②. 9 【解析】 【分析】先分别计算得到的个位数字，再确定的个位数字4个循环一次，用2026去除以4，看余数是几，再确定个位数字． 【详解】解：根据题意得：，个位数字为3； ，个位数字为9； ，个位数字为7； ，个位数字为1； ，个位数字为3； ，个位数字为9， ， 由此发现，的个位数字是3，9，7，1四个一循环， ， 的个位数字是9． 16. 已知关于的不等式组有两个整数解，则的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据不等式组有两个整数解，确定解集右边界的取值范围，进而计算得到的取值范围． 【详解】解：解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 关于的不等式组有两个整数解， ∴两个整数解为0，1， ∴， 解得． 三、解答题（共58分，第17题6分，第18-19题每小题5分，第20-21题每小题6分，第22-23题每小题5分，第24题6分，第25-26题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据乘方的定义，可得：，根据指数幂的定义可得：，根据绝对值的定义可得：，根据负整数指数幂的定义可得：，再根据运算法则进行计算． 【详解】解： ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】-4，-3 【解析】 【分析】根据得到=1用多项式乘以多项式法则及完全平方公式去括号，合并同类项后将=1代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴=1， ∴ = =-4 =1-4 =-3． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，已知式子的值计算，正确掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 20. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 数轴表示略． 21. 如图，点E，F分别在线段上，． 求证：． 【答案】， ． ， ． 【解析】 【分析】根据，得到，再得到，推出，根据平行线的性质得到． 【详解】略 22. 如图1，现有一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线将长方形用剪刀平均分成四块大小、形状完全相同的小长方形，将这四块小长方形拼成一个正方形（如图2），四张小长方形卡片之间不重叠、无缝隙． （1）观察图2，请你写出之间的等量关系是__________； （2）根据（1）中的结论，若，求的值． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）由图1和图2可得阴影部分面积即为边长的正方形面积，等于边长为的正方形面积减去四个长为a，宽为b的长方形面积； （2）根据即可求解． 【小问1详解】 解：由图1和图2可得阴影部分面积即为边长的正方形面积，等于边长为的正方形面积减去四个长为a，宽为b的长方形面积， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∵，， ∴． 23. 为响应“全民阅读”的号召，引导学生利用假期养成良好阅读习惯，某中学组织学生开展“假期书香伴成长”的主题活动．为了解全校1000名学生假期课外阅读情况，学校开展了一次调查研究，从每个班级随机抽取了4名学生进行调查，并将收集的数据（单位：本）进行整理、描述，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了__________名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“5本”所在的扇形的圆心角等于__________度； （4）抽取的这部分学生假期课外阅读数量的众数是__________本； （5）在这次活动中，学校授予阅读数量不少于4本的学生为“书香勤学少年”称号，根据调查结果，估计该校获得该称号的学生有__________名． 【答案】（1）100 （2） （3）36 （4）3 （5）350 【解析】 【分析】（1）用阅读数量为“1本”的人数除以其人数占比可得答案； （2）求出阅读数量为“4本”的人数，再补全条形统计图即可； （3）用360度乘以阅读数量为“5本”的人数占比即可得到答案； （4）根据众数的定义可得答案； （5）用1000乘以样本中阅读数量不少于4本的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：名， ∴本次调查一共随机抽取了100名学生； 【小问2详解】 解：阅读数量为“4本”的学生有名， 补全条形统计图见答案； 【小问3详解】 解：在扇形统计图中，“5本”所在的扇形的圆心角等于； 【小问4详解】 解：∵阅读数量为“3本”的人数最多， ∴抽取的这部分学生假期课外阅读数量的众数是3本； 【小问5详解】 解：名， ∴估计该校获得该称号的学生有350名． 24. 2026年4月30日至5月5日，第二十五届八大处中国园林茶文化周在八大处公园成功举办．本次茶文化周以免费品茗、茶文化讲座以及斗茶大会等精彩活动吸引了众多游客．小石和小珊购买了一些茶带回家给长辈们品尝，其中小石购买了3袋种茶和1袋种茶，共花费340元；小珊购买了2袋种茶和3袋种茶，共花费460元． （1）求A，B两种类型茶的单价； （2）若两人计划共同购买两种类型茶共10袋，且两种茶均需购买，总费用不超过850元，则有哪些购买方案？ 【答案】（1）种类型茶每袋80元，种类型茶每袋100元 （2） 有两种购买方案：购买8袋种茶和2袋种茶；购买9袋种茶和1袋种茶． 【解析】 【分析】（1）设种类型茶每袋元，种类型茶每袋元，根据小石购买了3袋种茶和1袋种茶，共花费340元；小珊购买了2袋种茶和3袋种茶，共花费460元建立方程组求解即可； （2）设购买种类型茶袋，则购买种类型茶袋，根据两种茶均需购买，总费用不超过850元建立不等式组求出a的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设种类型茶每袋元，种类型茶每袋元， 根据题意可得， 解得， 答：种类型茶每袋80元，种类型茶每袋100元； 【小问2详解】 解：设购买种类型茶袋，则购买种类型茶袋， 根据题意可得， 解得， ∵是正整数， ∴的值为8或9， 当时，， 当时，， 答：有两种购买方案：购买8袋种茶和2袋种茶；购买9袋种茶和1袋种茶． 25. 如图，直线，点A，B分别在直线上，连接，点在线段上，点在射线上，连接，作的角平分线交直线于点，点是直线上一动点（不与重合），连接，设． （1）当时，依题意补全图1，并求证：； （2）作的角平分线交线段于点．依题意补全图2，并用含的代数式表示的大小． 【答案】（1）补全图形： 证明：过点作， ， ， ． ， ； （2）补全图形： ①当点在点左侧时，如图1， ②当点在点右侧时，如图2， 【解析】 【分析】（1）作交于点E即可，过点作，根据平行线的性质及推论得到即可； （2）分两种情况：点在点左侧时，和点在点右侧时，利用平行线的性质结合（1）得到的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：补全图形： ①当点在点左侧时，如图1， ∵平分，平分， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， 由（1）同理得； ②当点在点右侧时，如图2， ∵平分，平分， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， 由（1）同理得， ∴． 26. 关于x，y的二元一次方程组，给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“合和”方程组．例如：关于x，y的二元一次方程组的解是，满足，则称方程组是“合和2”方程组． （1）下列方程组是“合和3”方程组的是__________（只填写序号）； ①； ②； ③； ④． （2）若关于x，y的方程组是“合和”方程组，求的值； （3）当时，对于的每一个值，关于x，y的方程组都是“合和”方程组，直接写出a，b的值． 【答案】（1）②④ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“合和3”方程组的定义逐一判断即可； （2）利用加减消元法解方程组得到，根据“合和”方程组的定义得到，据此建立方程求解即可； （3）根据“合和”方程组的定义得到，联立，解方程组得到；把代入中得，根据对于任意的，等式都成立，得到，则． 【小问1详解】 解：①∵， ∴方程组的解不满足， ∴方程组不是“合和3”方程组； ② 得，解得， 把代入⑤得，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴方程组是“合和3”方程组； ③ 得， ∴， ∴方程组不是“合和3”方程组； ④∵， ∴方程组的解满足， ∴方程组是“合和3”方程组； 综上所述，是“合和3”方程组的是②④； 【小问2详解】 解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的方程组是“合和”方程组， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵当时，对于的每一个值，关于x，y的方程组都是“合和”方程组， ∴当时，， 联立 得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； 把代入中得， ∴， ∴， ∵对于任意的，等式都成立， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $