精品解析：天津市宁河区芦台第一中学2025-2026学年第二学期高一第二次学业检测数学试题

2025-2026学年第二学期高一数学第二次学业检测 一、单项选择题（每题4分，共36分） 1. 复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先求复数，进而得共轭复数，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】由，所以， 则在复平面上对应的点为位于第四象限， 故选：D. 2. 已知一组数据从小到大排列：4，6，7，8，9，10，14，15，17，则该组数据的40%分位数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先求得，结合百分位数的计算方法，即可得到对答案. 【详解】由组数据从小到大排列：4，6，7，8，9，10，14，15，17， 因为，所以该组数据的40%分位数为第4个数据， 即数据的分位数为. 故选：B. 3. 已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图甲和乙所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为 A. 160，12 B. 120，12 C. 160，9 D. 120，9 【答案】A 【解析】 【分析】 根据甲图可得样本容量，再根据乙图计算对四居室满意的人数. 【详解】样本的容量， 抽取的户主对四居室满意的人数为， 故选：A. 【点睛】本题考查统计图表的识别，属基础题. 4. 某校高一年级开展英语百词测试，现从中抽取100名学生进行成绩统计.将所得成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.则第4组的学生人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图中小矩形面积之和等于，求出的值，再由第四个小矩形面积乘以100即可求解. 【详解】由图可得:，解得， 所以第四组的人数为. 故选：A. 5. 已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则或，故A错误； B：若，则或，故B错误； C：若，则，故C正确； D：若，且，则，故D错误. 故选：C 6. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果，记事件为“所得点数之和小于4”，则事件的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型公式计算即可. 【详解】同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果有种， 记事件A为“所得点数之和小于4”，有，3种， 则事件A的概率为. 故选：A. 7. 如图，在四面体中，平面，，则下列叙述中错误的是（ ） A. 线段的长是点到平面的距离 B. 线段的长是点到直线的距离 C. 是二面角的一个平面角 D. 是直线与平面所成角 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到平面距离的定义可判断A选项；推导出，可判断B选项；利用二面角的定义可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面，所以，线段的长是点到平面的距离，A对； 对于B选项，因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，，所以线段的长是点到直线的距离，B对； 对于C选项，因为，， 所以，是二面角的一个平面角，C错； 对于D选项，因为平面，所以，是直线与平面所成角，D对. 故选：C. 8. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则B只有一解 B. 若，则△ABC一定是锐角三角形 C. 若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC一定是等腰三角形 D. 若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理逐个进行分析可得. 【详解】对于,,可知，此时有两解 故选项错误; 对于,由余弦定理得,,所以,只能说明为锐角.或有可能为钝角, 故选项是错误的; 对于,由正弦定理得,,得, 得,再由正弦定理得,,,所以 △ABC一定是等腰三角形, 故选项正确; 对于选项,由余弦定理可得,, 得,得, 得,得或, 得或,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. 故选项是错误的. 故选：C. 9. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（ ） A. 8π B. 9π C. 10π D. 11π 【答案】A 【解析】 【分析】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°可得三角形ABC的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积． 【详解】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得： BC， ∴，∠ACB＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB的中点， 设三角形ABC的外接圆的半径为r，则r1， 又， 所以V柱＝S△ABC•AA1，所以可得AA1＝2， 因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面， 所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R，则R2＝r2+（）2＝12+12＝2， 所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π， 故选：A． 【点睛】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题． 二、填空题（每题5分，共5小题，共25分） 10. 某市在2025高考模拟测试评卷中，实行双评加抽样三评的评卷方法.已知收到有效的数学答卷为5万份，有效的物理答卷为3万份，有效的化学答卷为2.5万份.若双评后利用分层抽样的方法抽取210份样卷进行三评，则应抽取数学样卷的份数为______. 【答案】100 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义列式求解即可. 【详解】由题意，应抽取数学样卷的份数为. 故答案为：100 11. 如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，直角边，则原图形的面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形，    由是等腰直角三角形，直角边，得斜边， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故答案为：. 12. 四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由线面垂直的判定定理以及性质得出平面，从而得出是直线与平面所成角，结合勾股定理以及直角三角形的边角关系，即可得出直线与平面所成角. 【详解】因为平面，底面是正方形，所以 由线面垂直的判定定理可得平面，则平面 则是直线与平面所成角 ， 直线与平面的夹角的范围为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求直线与平面的夹角，属于中档题. 13. 已知正方体的体积为1，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出两四棱锥，不难得到两者的重叠部分为以的中点为顶点，两者的公共底面为底面的正四棱锥，利用体积公式计算即得. 【详解】如图，在四棱锥与四棱锥中，设， 连接，则两四棱锥的重叠部分是以为底面，点为顶点的正四棱锥. 因点为的中点，则点到平面的距离为，则. 即四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是. 14. 如图，在中，，，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，且.若，则______；若，则角的余弦值的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由条件判断点为的重心，将用线性表示，对照条件求出的值即得答案；设，利用推得，再运用基本不等式即可求得其最小值. 【详解】因为分别为的中点，所以点为的重心， 则 ， 所以，故； 因，则， 又因，则， 设，代入可得， 由，当且仅当，即时，角的余弦值取得最小值为. 三、解答题：本题共5小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，． （1）求向量，的数量积及的值； （2）求向量，夹角θ的余弦值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用坐标计算，再通过先算差向量坐标的方法，再直接计算； （2）利用向量夹角余弦公式，先算出两个向量的模，再代入已得的数量积计算结果； （3）先求出的坐标，再代入向量模长的坐标公式直接计算. 【小问1详解】 ， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以. 【小问3详解】 因为，所以. 16. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点． （1）求证: 平面平面； （2）求证: 平面； （3）求三棱锥体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式. （1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB， 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面，因为AB平面，所以平面平面. （2）取AB中点G，连结EG，FG， 因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC， 因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=， 所以四边形为平行四边形，所以EG， 又因为EG平面ABE，平面ABE， 所以平面. （3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=， 所以三棱锥的体积为：==. 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的众数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数∑和方差s． 附：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；．记总的样本平均数为ω，样本方差为 【答案】（1），第75百分位数为84 （2）众数为75，平均数为74 （3）， 【解析】 【分析】（1）先根据面积之和为1计算，再由中位数的计算方法可得； （2）由题意可得众数，平均数的计算方法可得平均数； （3）由平均数和方差的计算方法可得. 【小问1详解】 每组小矩形的面积之和为1， ； 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m，由，得，故第75百分位数为84； 【小问2详解】 由，样本成绩的众数为75． ，得样本成绩的平均数为74． 【小问3详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以，总方差为． 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，． （1）求b的值及的面积； （2）求的值． 【答案】（1） ，； （2） . 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式得到与的关系，结合的值求出，再用余弦定理求，由同角三角函数关系得，最后用三角形面积公式计算面积； （2）先用二倍角公式计算和，最后利用两角差的余弦公式展开计算目标值. 【小问1详解】 已知，由正弦定理​，角化边得，所以， 已知，因此. 由余弦定理，所以， 由，得， 三角形面积. 【小问2详解】 因为，，​​ 所以. 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，，点M在PD上． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若平面与平面所成角为45°，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取中点为E，连接，由题意可知， 即四边形为平行四边形，故，而， 故； 又平面ABCD，故以A为坐标原点，以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 则， 则， 故， 故，则； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点为E，连接，说明，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论； （2）求出向量，即可根据空间角的向量求法，求得答案； （3）设，根据平面与平面所成角为45°，结合空间角的向量求法，求出，再根据二面角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由题可设，则， 设平面的一个法向量为， ， 由，得， 取，则， 平面的法向量可取为， 平面与平面所成角为45°，则， 解得，则，， , 设平面的一个法向量为， 由，得， 取，则， 设直线与平面所成角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一数学第二次学业检测 一、单项选择题（每题4分，共36分） 1. 复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知一组数据从小到大排列：4，6，7，8，9，10，14，15，17，则该组数据的40%分位数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图甲和乙所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为 A. 160，12 B. 120，12 C. 160，9 D. 120，9 4. 某校高一年级开展英语百词测试，现从中抽取100名学生进行成绩统计.将所得成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.则第4组的学生人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 5. 已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 6. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果，记事件为“所得点数之和小于4”，则事件的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四面体中，平面，，则下列叙述中错误的是（ ） A. 线段的长是点到平面的距离 B. 线段的长是点到直线的距离 C. 是二面角的一个平面角 D. 是直线与平面所成角 8. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则B只有一解 B. 若，则△ABC一定是锐角三角形 C. 若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC一定是等腰三角形 D. 若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形 9. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（ ） A. 8π B. 9π C. 10π D. 11π 二、填空题（每题5分，共5小题，共25分） 10. 某市在2025高考模拟测试评卷中，实行双评加抽样三评的评卷方法.已知收到有效的数学答卷为5万份，有效的物理答卷为3万份，有效的化学答卷为2.5万份.若双评后利用分层抽样的方法抽取210份样卷进行三评，则应抽取数学样卷的份数为______. 11. 如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，直角边，则原图形的面积是__________. 12. 四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为__________． 13. 已知正方体的体积为1，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是______． 14. 如图，在中，，，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，且.若，则______；若，则角的余弦值的最小值为______． 三、解答题：本题共5小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，． （1）求向量，的数量积及的值； （2）求向量，夹角θ的余弦值； （3）求的值． 16. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点． （1）求证: 平面平面； （2）求证: 平面； （3）求三棱锥体积． 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的众数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数∑和方差s． 附：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；．记总的样本平均数为ω，样本方差为 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，． （1）求b的值及的面积； （2）求的值． 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，，点M在PD上． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若平面与平面所成角为45°，求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $