精品解析：天津市第四中学2025-2026学年高一下学期学情调查四数学试题

天津四中2025级高一下学期学情调查四（数学试题） 命题人：杨赫梁 复核人：李程 一、单选题 1. 甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A. 人，人，人 B. 人，人，人 C. 人，人，人 D. 人，人，人 2. 如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（ ）． A. B. C. 5 D. 3. 在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（ ） A. 与平行 B. 与异面 C. 与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D. 与的交点一定在直线上 4. 设、为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且．下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若n与，所成的角相等，则 其中正确的命题的个数是（ ） A. B. C. D. 5. 棱长为1的正方体中，分别为的中点，过三点的截面将正方体分成两部分，则其中体积较小的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（ ） A. 甲：平均数为3，中位数为2 B. 乙：极差为3，众数为3 C. 丙：平均数为2，方差为2.4 D. 丁：众数为2，方差为2.4 二、填空题 7. 一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；②“至少有1件次品”和“都是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；④“至少有1件次品”和“都是正品”.其中互斥事件有____________组. 8. 已知一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的第60百分位数与这组数据的中位数相等，则实数的值为________. 9. 与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为，最小值为，则该几何体的体积为____________． 10. 在长方体中，，，为的中点，则直线与平面的距离为______. 11. 在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有__________个． 12. 如图所示，是某正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①与平行 ②与是异面直线； ③与成角； ④与垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 三、解答题 13. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数与方差； （3）已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 14. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⏊PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证： （1）EF//平面PCD； （2）平面PAB⏊平面PCD． 15. 如图，正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为 ． （1）求侧面与底面所成二面角的大小； （2）若是中点，求异面直线与所成角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津四中2025级高一下学期学情调查四（数学试题） 命题人：杨赫梁 复核人：李程 一、单选题 1. 甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A. 人，人，人 B. 人，人，人 C. 人，人，人 D. 人，人，人 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以甲校应抽取， 乙校应抽取，丙校应抽取. 2. 如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（ ）． A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【详解】四边形为直角梯形，且，，，， 3. 在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（ ） A. 与平行 B. 与异面 C. 与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D. 与的交点一定在直线上 【答案】D 【解析】 【分析】先利用三角形中位线性质与平行线分线段成比例定理证明且长度不等，得与共面且相交，再结合平面交线的公理判断交点位置. 【详解】连接、： 因为、分别为、的中点，由三角形中位线定理得：，且. 在中，，由平行线分线段成比例定理的逆定理得：，且. 判断与的位置关系： 由且，可知四边形为梯形，、为梯形两腰，必相交且共面，故A（平行）、B（异面）错误. 判断交点的位置： 设，因为平面，故平面；又平面，故平面. 平面与平面的交线为，根据公理3：两个不重合的平面若有公共点，则所有公共点都在它们的交线上，可得，即交点一定在直线上，故C错误，D正确. 4. 设、为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且．下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若n与，所成的角相等，则 其中正确的命题的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合线面平行的判定与性质、线面角的定义逐一判断四个命题的真假，统计正确命题个数即可. 【详解】对命题①：已知，且直线不重合，分三类讨论： 若，则，由，，根据线面平行判定定理得，满足结论； 若，则，由，，根据线面平行判定定理得，满足结论； 若且，由，，得且，仍满足“或”， 故命题①为真命题. 对命题②：若与所成二面角不是直二面角，在其中一个面内作直线，则与均不垂直，故命题②为假命题。 对命题③： 如图所示，作包含直线的平面，设与平面的交线分别为， 由得，由得，因此； 又，故，结合，得，由推出， 故命题③为真命题. 对命题④：当时，与所成的角均为，满足所成角相等，但此时与不垂直，故命题④为假命题。 综上，真命题为①③，共个. 5. 棱长为1的正方体中，分别为的中点，过三点的截面将正方体分成两部分，则其中体积较小的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出几何图形并确定体积较小部分的几何体的结构特征，再利用台体的体积公式计算得解. 【详解】在正方体中，延长交延长线于，连接， 由是的中点， ，得是的中点，又， 则与的交点必为的中点，而平面平面， 即几何体是三棱锥被平行于底面的平面所截而成， 因此截面将正方体分成体积较小的部分为三棱台， 三棱台的体积为. 故选：D 6. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（ ） A. 甲：平均数为3，中位数为2 B. 乙：极差为3，众数为3 C. 丙：平均数为2，方差为2.4 D. 丁：众数为2，方差为2.4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除ABD，由假设推理判断C． 【详解】对于A，甲的5个点数分别是，平均数为3，中位数为2，A可出现； 对于B，乙的5个点数分别是，极差为3，众数为3，B可出现； 对于D，丁的5个点数分别是，众数为2，平均数为3， 其方差为，D可出现； 对于C，丙的平均数为2，又有点数6，则方差，不可能满足C，丙不会出现点数6. 故选：C 二、填空题 7. 一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；②“至少有1件次品”和“都是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；④“至少有1件次品”和“都是正品”.其中互斥事件有____________组. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“恰有2件次品”不可能同时发生，是互斥事件； 对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此两事件不是互斥事件； 对于③，“至少有1件正品”包括“1件正品，1件次品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件； 对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”，不可能同时发生，是互斥事件， 因此①④是互斥事件. 故答案为：2 8. 已知一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的第60百分位数与这组数据的中位数相等，则实数的值为________. 【答案】6 【解析】 【分析】计算出这组数据的第60百分位数和中位数，根据题意可得答案. 【详解】因为，所以这组数据的第60百分位数是， 又这组数据的中位数为，所以，得. 所以实数的值为6. 故答案为：6. 9. 与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为，最小值为，则该几何体的体积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由图形可知所求几何体是由底面直径相同，高为1的圆柱和高为2的圆柱的一半拼成，由圆柱体积公式可求得结果. 【详解】作出几何体的轴截面如下图所示： 则所求几何体是由一个底面直径为2，高为1的圆柱， 和一个底面直径为2，高为2的圆柱的一半构成， 则所求几何体体积为： ， 故答案为：. 10. 在长方体中，，，为的中点，则直线与平面的距离为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可得线面平行，所求线面距离可以转化为求点到平面的距离，利用等体积法计算即可得． 【详解】连接交于点，则为中点，又为中点，故， 又平面，平面，故平面， 则到平面的距离等于到平面的距离， ， 在中，，，，则，所以， 设点到平面的距离为，则，即，解得. 故答案为：1 11. 在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有__________个． 【答案】3 【解析】 【分析】利用频率估计概率进行分析即可求解. 【详解】红色出现的频率为，所以红球出现的概率应接近， 设袋子中红球的个数为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，最接近， 所以袋中红球最有可能有3个. 故答案为：3. 12. 如图所示，是某正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①与平行 ②与是异面直线； ③与成角； ④与垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 【答案】③④ 【解析】 【分析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，结合直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系判断即可. 【详解】如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然与为异面直线，故命题①不成立；而与平行，故命题②不成立； 因为，所以与所成角为． 因为为等边三角形，所以，故③正确； 易知平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以，故④正确． 三、解答题 13. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数与方差； （3）已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 【答案】（1） （2）77；106 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求各组频率，结合频率和为1运算求解； （2）用每组区间的中点值为代表，结合平均数和方差公式运算求解； （3）分析可知男生3人，女生2人，利用枚举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知各组频率依次为， 由，解得. 【小问2详解】 用每组区间的中点值为代表， 则平均数， 方差. 【小问3详解】 在的人数有人，其中男生3人，女生2人， 记三个男生分别为，两个女生分别为， 则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点： ，，共10个； 恰有1名女生的样本点：，共6个； 所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为. 14. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⏊PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证： （1）EF//平面PCD； （2）平面PAB⏊平面PCD． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）取BC中点G，连结EG，FG，推导出，，从而平面平面，由此能得出结论； （2）推导出，从而平面PAD，即得，结合得出平面PCD，由此能证明结论成立. 【详解】（1）取BC中点G，连结EG，FG，∵E，F分别是AD，PB的中点， ∴，， ∴面，面， ∵，∴平面平面， ∵平面，∴平面. （2）因为底面ABCD为矩形，所以， 又因为平面平面ABCD， 平面平面，平面ABCD，所以平面PAD． 因为平面PAD，所以. 又因为，，所以平面PCD． 因为平面PAB，所以平面平面PCD． 【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 15. 如图，正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为 ． （1）求侧面与底面所成二面角的大小； （2）若是中点，求异面直线与所成角的正切值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）如图，易得PO⊥面ABCD，则∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，得tan∠PAO=，设AB=1，易证∠PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成锐二面角的平面角，由即可求出答案； （2）连结EO，易证就是异面直线PD与AE所成的角，且，求出长，由得出答案即可. 【详解】（1）连结AC，BD交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD， 所以∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，∴tan∠PAO=， 设AB=1，则， 取AD中点F，连FO、PF，如图， 易知OF⊥AD，PF⊥AD， 所以∠PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成锐二面角的平面角． 在Rt△POF中，， ∴，即侧面PAD与底面ABCD所成锐二面角的大小为； （2）连结EO，由于O为BD中点，E为PB中点，所以且， ∴就是异面直线PD与AE所成的角． 在Rt△POD中，，∴． 由，且可知面，所以， 在Rt△AOE中，， 即异面直线PD与AE所成角的正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $