天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高二下学期7月统练数学试题

杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 2025-2026学年第二学期高二年级统练 高二数学答案 一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分) 1.C2.B3.D4.D5.A6.A7.B8.C9.B 二、填空题（本大题共6个小题，每题5分，共30分.双空题答对一空给3分) 10.411.√2 12.-1 13.314. 21 .-e 三、解答题（本大题共5小题，共75分) 16.(本题满分14分) 解：（1)f(x)=6x2+6m+3b, …1分 因为f(x)在x=1和x=2取极值，所x=1,x=2是(x)=0的两个根， [1+2=-6=-a 韦达： 6 2=衫夕，解得a二-36=4 …5分 6-2 将a=-3,b=4代入导函数得'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)x-2), 当x<1时f'(w)>0,当1<x<2时f'(x)<0,当x>2时f"(x)>0, 故x=1和x=2为极值点，所以a=-3,b=4.（经检验，符合题意也可以)…6分 (2)由a=-3,b=4,得f(x)=2x3-9x2+12x+8c, f'(x)=6(x-10x-2), x∈[0,1)时，f'()>0,f(x)单调递增； x∈1,2)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： x∈(2,3]时，∫"()>0，f(x)单调递增，…9分 f(0)=8c,f(1)=5+8c,f(2)=4+8c,f(3)=9+8c,…12分 (列表格可省略求解过程) 因此4+8c<c<5+8,解得：<c< 号所以c的取值范围是<c<4 …14分 7 高二数学答案 第1页共7页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 17.(本题满分15分) 解：(1)设事件A为“甲通过面试”， P④=3+1x315 …5分 44416 (2)随机变量X的可能取值为2,3,4.…6分 432Px=3)=3x1+2x15 321 P(X=2)=3x2 433*412Px=4)= 111 …12分 4312 所以随机变量X的分布列为 2 3 4 5 1 3 12 …13分 5 所以随机变量x的期望为(0=2×+3 1 131 …15分 12 1212 18.(本题满分15分) 解：(1)设“至少抽到1个三元锂电池”为事件A, 则P(4A)=1- 4 …4分 (2)由题意知X的所有可能取值为2,3,4,5.…。 …5分 ci5,P(K=3)-CCx是2 解法一：P(x=2)=S-1 Cg415’ P(X=4)= 空cgx4px=)-1-A8 15 15151515' …13分 (解法二： Px=2)-S=5px-3)-CC4C-2 A615 A6151 …13分) Px=4y=4+CC48C- A -sP-5)cccicicdtc 8" A 15 所以X的分布列为 高二数学答案 第2页共7页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL X 2 3 5 1 2 8 15 15 15 15 …14分 B(K)=2x1+3x2 4 +4× +5x 864 15 …15分 15 15 1515 19.(本题满分15分) 解(1)当b=-1时，g(x)=x-sinx,求导得 g'(x)=1-c0sx, ●●●●●0●●●●●●●0●●●●●●0●●●●●● …1分 当x≥0g(x)≥0恒成立， …2分 所以g(x)在[0，+oo)单调递增，则g(x)mim=g(0)=0 …4分 (2)法一； 由己知f)=nx+2-a,上<a<1, 因为函数y=hx+2,y=-在(0，+m)都是增函数， 所以f"(x)在(0，+o)上单调递增 …5分 又r@-ha*1hng+1=0r日1-aeo, e 所以存在无小，有f)62号0， 当x∈(0，)时，f(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(，+o)时，f(x)>0,f(x)单调递增， f(x)min f(xo)=(xo-a)In xo+xo+1=-xoIn2 xo-xoInxo+xo+1 …7分 q(x)=-xIn2x-xInx+x+1,g'(x)=-In'x-3Inx=-Inx(ilnx+3)>0 所以)在4上单词适增，即g6)>日=+++1=+1， 综上：当<a<1时，f()>+1, …9分 (法二：令p(a)=f(x)=(-nx)a+xlnx+x+1 当-nx=0,即x=1时，p(a)=2>二+1（恒成立）.…5分 高二数学答案第3页共7页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 当x0,即0<x<1时，p(回=(-nx)a十xnx+x+1在a=时单调递增， p(a)>p(月=(x-)nx+x+1, 令(=(-月血x+x+1,w=n+2, 因为y=hx+2y=在Q)上都为增函数，且r日 -1-1+2=0, 所以当0<x<。,4(<0,函数()单调递减， 当。x<1时，)>0，函数()单调递增， 所以u()≥（日=+1， …7分 当-hx<0,即x>1时，(@)=(-nx)a十xhx+x+1在a∈时单调递减， 所以p(a)>p(1)=(x-1)nx+x+1, 令()=(x-1)nx+x+1,则()=nx-+2, 因为>1，所以1nx>0,2>0,所以v)>0, 所以函数v(x)=(x-1)nx+x+1在(1，+o)上单调递增， 所以)>v(1=2>+1, 综上：当<a<1时，f)>+1 …9分） (3)当a=0不等式f(x)>g(x)台xnx+1-b sinx>0,令h(x)=xnx+1-b sinx, 依题意，不等式h(x)>0对任意的x∈(0，+o)恒成立， 当b=0时，h()=xnx+1,求导得h=nx+1,当0<x<时，h)<0, 当x>是时，h()>0,函数h()在0，日上单调递减，在（台+w)上单调递增， h()≥h(目=1->0，即当b=0时，h(x)>0恒成立： …10分 当b≥2时，显然h1)≤1-2sin1,而5<n1<5 因此h(1)≤1-2sin1<0,即当b≥2时，h(x)>0不恒成立，…11分 由(1)知当x>0时，x>sinx,若0<b<2,则bx>bsinx, xInx +1-bsinx xInx+1-bx, 只需xlnx+1-bx≥0对任意的x∈(0，+o)恒成立， 高二数学答案 第4页共7页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 即b≤血x+ ,令函数(x)=lnx+1,x>0, …13分 求号行国士兰， 当0<x<1时，p(x)<0,当x>1时，p(x)>0, 因此函数p(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+w)上单调递增，p(x)≥(1)=1， 则当0<b≤1时，xlnx+1-bsinx>xlnx+1-bx≥0对任意的xe(0,+w)恒成立， 所以b的最大整数值为1 …15分 (第3问：若证出b=1成立，给4分：再证b≥2不成立，给满分.) 20.(本题满分16分) 解：(1)当m=1时，f(x)=e2x-xex-1,则f(x)=2e2x-(x+1)e,所以f(0)=1, 又f(0)=0,故函数f(x)在点(0，f(0)处切线方程为y=x.3分 (2)(i)因为f(x)=e*(2me-x-1),ex>0恒成立，令(x)=2me-x-1, 由题知f(x)存在两个极值点x1,x2,等价于(x)=2mex一x-1存在两个变号零点 X1,X2: …4分 因为(x)=2me*-1,则 当m≤0时，入(x)<0,λ(x)单调递减，此时(x)最多一个零点，不合题意； 当m>0时，令A()=0,得x=ln点当xE(,血)时，()<0，()在区间(m,血) 上单调递减，当x(血，+∞)时，()>0，A()在区间（血，+∞）上单调递增， 由题意得(mn=入(n)=-n品<0，解得0<m<专 …6分 当0<m<2时，因为(-1)=2me1>0,(0)=2m-1<0, 当xE(-o,ln)时，存在唯一x1∈(-1，ln),使得(x)-0, 令H(x)=e-ex(x>0),则H(x)=e-e, 当x∈(0,1)时，H(x)<0,当x∈(1，+o)时，H(x)>0, 即H(x)=e-ex(x>0)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，+o)上单调递增， 所以H(x)≥H(1)=0,即e≥ex,当且仅当x=1时取等号， 则ei≥e所以当x>0时，e*≥e>x, 4 则当x>0时，(x)=2mex-x-1>2mx2-x-1, 高二数学答案第5页共7页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 所以a(1+)>2m(1+动)°-（1+动)-1=2m>0, 当x(n,+∞)时，存在唯一x2∈(（血，1+品)， 使得(x2)=0, (写极限也可以) 此时，x∈(0，x)f"(x)>0,f(x)单增，x∈(x,xf(x)<0,f(x)单减， x∈(x2,十0f(x)>0,f(x)单增. f(x)在区间(-0，x:)上单调递增，在区间(xx2)上单调递减，在区间(x2,+)上单调递增 综上所述，实数m的取值范围为0<m< …8分 (法二：f(x存在两个极值点x1,x2,等价于f(x)=e*(2me*-x-1)=0存在两个变号零点 X1,X2 即2m-令p(☒)-，p因=-急所以p(8)-在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞) 上单调递减， p(0)=1,p(-1)=0,x→+∞，p(x)→0,0<2m<1,0<m<2 …7分 此时，x∈(o,x)f"(x)>0,f(x)单增，x∈(x,xbf(x)<0,f(x)单减， x∈(x,+o)f'(x)>0,f(x)单增 f(x)在区间(-∞，x1)上单调递增，在区间(x1,x2)上单调递减，在区间(x2,+∞)上单调递增 综上，0<7 …8分） (ii)由(1)知f(x)在区间(-oo,x1)上单调递增，在区间(x1,x2)上单调递减，在区间(x2,+∞) 上单调递增，且-1<x1<0<x2, 又f(0)=0,不妨设a<b<c,显然b=0, 又f(a)=me2a-ae&-m=0,且f(-a）=me-2a+ae-a-m=m+ae“-me2 e2a -=0, 则-a=c,即a+c=0,所以a+b+c=0, 则要证f(x1)+f(x2)<f(a+b+c)=f(0)=0…10分 只需证f(x1)+f(x2)<0. 因为1()=2me-x-1存在两个变号零点x1,x2,所以径me-1-1=0 2me2-x2-1=0' 得到2m=投=授 ex2 高二数学答案 第6页共7页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 令p6)=点则p(x)=p(x,又p)=-总 所以p()-在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，且有-1<x1<0<x, 构造函数F(x)=p(x)-p(-x),x∈(-1,0)， 因为F(x)=p(x)+p'(-x)=x(e-e)>0,所以F(x)在(-1,0)上单调递增， 又F(0)=0,所以F(x1)=p(x1)-p(-x1)<0,即p(x1)<p(-x1), 所以p(x2)=p(x1)<p(-x1), 又因为-x1>0,x2>0,且p()=在(0，+∞)上单调递减， 则x2>-x1>0,即x1+2>0, 所以X1<0<-X1<X2,… …13分 又因为f(x)在(x1,x2)上单调递减，所以f(x1)+f(x2)<f(x1)+f(-x1), 即证f(x1)+f(-x1)<0. ……14分 由上知f-0)=tc-。所以(-x)=罗 2x1 则fx)+f(-x)=fx)-哥=fx1-高)， 因为fx)>f0)=0,(1-高)<0， 所以f(x1)+f(-x1)<0 则f(a+b+c)>f(x)+f(x) …16分 高二数学答案 第7页共7页杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 2025-2026学年第二学期高二年级统练 高二数学 第1卷（选择题共45分) 一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集U={x∈Nx≤7}，集合A=九，2,4}，集合B={23,4,7},则(CA)∩B=() A.3,6,7} B.{0,23,4,7} C.3,7} D.{0,2,3,5,6,7} 2.设a,b∈R,则“d+b2<4”是“d<2且bl<V互"的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设函数f(x)在定义域内可导，∫(x)的图象如右图所示， 则其导函数(x)的图象可能是（) 4.下列说法中，正确的是() A.记两个变量的样本相关系数为”，若越接近0，线性相关程度越强 B.在回归分析中，R2为0.98的模型比R为0.99的模型拟合的效果更好 C.随机变量x,Y,若Y=2X+4,且D()=16,则D(X)=8 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到X2=4.712,根据小概率值=0.05的x2 独立性检验(x5=3.841),可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 高二数学第1页共4页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 5.x(x-3)9=ax+ax2+ax3+a4x+a,x3,则a+a,+a3+a4=（ A.15 B.16 C.17 D.80 6.已知x∈{dx2-5x+6≤0}，ye{(y-3)(y-8)≤0}，若不等式mx2-4y+y2≥0能成立，则实 数m的最小值是() A.0 B.1 C.3 D.4 7.某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A,B两个箱子中.A箱中有2道代 数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和1道几何题.参赛选手先在两个箱子中任选一个 箱子，然后从选中的箱子中抽取2道题作答。若甲同学选择A箱，答题结束后工作人员失误 将甲抽取的2道题目放回了B箱，接着乙同学选择从B箱抽取题目，则乙抽取的2道题中至 少有一道代数题的概率为() 4名 B. 83 C.36 D.4 90 90 30 8.已知f()是定义在R上的连续奇函数，f()是其导函数，当x>0时，lnx()<-二fx), 则不等式(x-2)f(x)≥0的解集为( A.(n,0]U[2,+o) B.[-1,0]Ul,+o) c.[o,2] D.[2,+m) 9.将0,1,2,3,4,5,6,7,8,9全部填入如下图所示的方格中，每个方格填写1个数 字，则仅有前两列数字之和为9的填法有( A.15360种 B.30720种 C.21120种 D.42240种 第Ⅱ卷（非选择题共105分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10.已知随机变量X~N3,o2),P(X≤-3a)=P(X≥5a-2),则实数a= 11.已知(ar- )(a>0)的二项展开式中常数项为30，则实数a的值为 x 12.对具有线性相关关系的变量x,y有一组观测数据(x,yi=1,2,,10),其经验回归方程为 高二数学第2页共4页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL =2x+a,且公x=50,足y=90,则相应于点1,20)的残差为 i=1 =1 13.若函数f(x)=e1的图象在点A(x,f(x》处的切线恰好与函数g(w)=一 x+x-1的图 象切于点B(x,g(x)》,则2x-x= 14.天津海河游船公司的调度员，正在模拟游船班次准点情况.已知：第一班游船准点到达码 头的概率为0.8；若前一班游船准点，则下一班游船准点的概率为0.5；若前一班游船晚点， 则下一班游船准点的概率为0.1.若已知第二班游船准点到达码头，则第一班游船准点到达码 头的概率为 ；若调度员做5组模拟训练，每组连续安排两班游船，两班都准点记为 “一趟顺行”，每组训练结果相互独立，设这5组训练中“一趟顺行”的次数为X,则期望 E(X9= 15.已知函数f(x)=ax2-ax-lnx,a≠0.若x>0,f(w)≥b,则e的最小值为 2a 三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推 理过程) 16.(本题满分14分) 设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值 (1)求出a,b的值： (2)若当x∈0,3]，关于x的方程f(x)=c有三个不相等的实数根，求实数c的取值范围. 17.(本题满分15分) 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有两道难度相当的题目，甲答对每道题目的概 率都是？，乙答对每道恩目的概率都是子，每位面试者共有两次机会，若答对第一道题日， 则面试通过，结束答题；否则继续答第二道题目，答对则面试通过，未答对则面试不通过， 甲、乙两人对两道题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响 (1)求甲通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X,求X的分布列与期望 高二数学 第3页共4页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 18.(本题满分15分) 某新能源汽车工厂生产两种动力电池，现有2个高能量密度的三元锂电池，和4个安全稳定 的磷酸铁锂电池，这些电池外观尺寸完全相同，混放在一个仓库中， (1)质检员从中随机抽取3个电池进行循环寿命测试，求至少抽到1个三元锂电池的概率； (②)自动化检测线逐个对电池进行检测，检测过的电池不再放回，直到三元锂电池或磷酸铁 锂电池被全部检测完毕时停止.记停止时检测的电池总数为X,求X的分布列与数学期望， 19.(本题满分15分) 已知函数f(x)=(x-a)lnx+x+1,g(x)=x+bsinx,其中a,b∈R. (1)当b=-1时，求g(x)在0，+0)的最小值； 2若<a<1,求证：fw>+1: 3)当a=0时，不等式f(x)>g(x)对任意的x∈(0，+o)恒成立，求整数b的最大值. 20.（本题满分16分) 已知函数f(x)=me2x-xe-m,m∈R. (1)当m=1时，求f(x)在x=0处的切线方程； 2)若∫(x)存在两个极值点x,x2,且x<x2· (i)求实数m的取值范围； (i)若f(x)满足f(a)=f(b)=f(c)=0,且a<b<c,证明：f(a+b+c)>f(x)+f(x). 高二数学 第4页共4页