精品解析：北京市西城区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

学校2025—2026学年度第二学期期末试卷七年级数学 注意事项 1．本试卷共分为卷一、卷二两部分，卷面总分共100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 卷一 一、选择题（共12分，每题2分）第1-6题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数包含整数和分数，即可判断各选项． 【详解】解：、、是有理数，故ABD不符合题意； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意． 2. 将方程改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解、等式的基本性质，利用等式的基本性质1求解即可． 【详解】解：根据等式的基本性质1，方程两边同时减， 得， 故选：B． 3. 如图，直线与相交于点，过点作，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据邻补角的定义求出的度数，再根据垂直的定义得出，最后利用角的和差关系计算的度数． 【详解】解析：  ，  ， ，   ，  ． 4. 过点画直线的平行线，小明和小亮借助直尺和三角板完成作图如下，下列说法正确的是（ ） A. 小明作图的依据是两直线平行，内错角相等 B. 小明作图的依据是同位角相等，两直线平行 C. 小亮作图的依据是两直线平行，内错角相等 D. 小亮作图的依据是同位角相等，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】小明利用两个三角板构造内错角相等，小亮利用直尺和三角板平移构造同位角相等． 【详解】解：对于小明的作图,观察图形可知，小明利用两个三角板拼接，构造了一组内错角相等， ∵内错角相等， ∴两直线平行， ∴小明作图的依据是“内错角相等，两直线平行”，选项A表述的是平行线的性质，错误； 选项B表述的是同位角，与图形不符，错误； 对于小亮的作图，观察图形可知，小亮利用直尺和三角板进行平移作图， 在平移过程中，三角板与直尺边缘的夹角（即同位角）保持不变， ∵ 同位角相等, ∴两直线平行 ， ∴小亮作图的依据是“同位角相等，两直线平行”，选项C表述的是平行线的性质，错误； 选项D正确． 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 立方根等于本身的数只有0 B. 若，则 C. 实数与数轴上的点一一对应 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方根概念，不等式性质，实数与数轴的对应关系，只需逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：对选项A：，，， 立方根等于本身的数有，A是假命题； 对选项B：， ，B是假命题； 对选项C：根据实数的基本性质，实数与数轴上的点一一对应，C是真命题； 对选项D：举反例，，满足，但， D是假命题． 6. 对于任意两个实数，定义一种新运算：．若有且仅有一个整数同时满足与，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据新运算定义，对两个不等式化简： ∵， ∴， ∵， ∴， 因此不等式组的解集为： ∵不等式组有解， ∴，解得， ∴，， ∴要使内仅有一个整数， ∴该整数只能为， ∴， 解得， 因此的取值范围是． 二、填空题（共12分，每题2分） 7. 在平面直角坐标系中，点在第__________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据各象限内点的符号特征，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在第二象限； 故答案为：二． 8. 比较大小：4_________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，正确把4变形是解题的关键． 由题意可得，，由此即可解答． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 9. 某班级的宣传展板长，宽．按如图所示的方式张贴着三幅长方形宣传画（图中阴影部分），宣传画竖直方向的宽度相等，均为，则展板空白部分面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形特征，利用平移的思想可知三个阴影长方形在水平方向上的长度之和等于展板的长，分别计算展板总面积和阴影部分总面积，作差即可求解． 【详解】解：展板的总面积为：  ， 由图可知，阴影部分的总面积为：   ， 展板空白部分面积为：  ． 10. 某校计划开设学生喜欢的美育课程，随机抽取部分学生进行调查，学生从舞蹈、戏剧、合唱、水彩这四个课程中选择一个最喜爱的课程，并将调查结果绘制成条形统计图、扇形统计图，下面给出了部分信息．已知该校共有3000名学生，根据图中信息，请你估计全校选择“水彩”课程的学生约_____人． 【答案】300 【解析】 【分析】根据条形统计图可知“戏剧”课程的人数，结合扇形统计图可知“戏剧”课程的百分比，利用频数除以频率求出样本总容量，再计算“水彩”课程在样本中的人数，最后利用样本估计总体的思想计算全校选择“水彩”课程的学生人数． 【详解】解：调查人数有：（人）， ∴调查“水彩”课程的学生有：（人）， ∴选择“水彩”课程的学生大概有（人）． 11. 如图，四边形纸片，，点和点分别为，上的点，沿折叠纸片，点落在点处，点落在点处．若，则________． 【答案】 19 【解析】 【分析】首先，由，得，再由折叠的性质，得，，进而得，，然后，由三角形的内角和为，即可求得的度数． 【详解】解：如图，设与交于， ∵， ∴， 由折叠的性质，得，， ∴，， ∴． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，将点向右平移个单位长度得到点，将点再向下平移个单位长度得到点，以为边向右作正方形，连接，．若，都恰好经过两个象限，则称正方形为“双限正方形”． （1）当时，正方形_____（填“是”或“不是”）“双限正方形”； （2）若正方形为“双限正方形”，则的取值范围是_____． 【答案】 ①. 不是 ②. 或 【解析】 【分析】先根据平移性质得到正方形各顶点坐标，再根据“恰好经过两个象限”的要求，得到线段与坐标轴的交点个数需为1，分别求出、符合条件的的范围，取交集得到最终结果． 【详解】解 已知，根据平移规则和正方形作法，可得各点坐标为： ，，， （1）当时，各点坐标为，，，，线段和都仅在第二象限，只经过1个象限，不符合定义，因此填不是。 （2）对线段，恰好在第一，二象限， 则满足，，，的纵坐标大于等于0，，的横坐标小于0，，的横坐标大于0， ∴ 解得：， 对线段，恰好在第一，四象限， 则满足，，，的横坐标大于等于0，，的纵坐标大于0，，的纵坐标小于0， ∴ 解得：， 综上所述，或． 三、解答题（共61分，第13题10分，第14题13分，第15题7分，第16-18题，每题8分，第19题7分） 13. 计算： （1）； （2）求等式中的值：． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先分别化简各项，再合并同类项即可得到结果； （2）利用平方根的定义开平方，分情况计算得到的值即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：对于等式， 根据平方根的定义开平方得： ， 当时， 解得， 当时，解得， 或． 14. 解方程组、解不等式组 （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ①得，③， ②③，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 15. 如图，，和相交于点，是线段上一点，是线段延长线上一点，是线段上一点，，． （1）求证：； 请将下面的证明过程补充完整． 证明：， ________． ， __________． __________． ， ____________________．（______________________________）（填推理的依据） ．（______________________________）（填推理的依据） （2）若，，则__________．（用含的式子表示） 【答案】（1）；；；；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行； （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据两直线平行内错角相等，得；结合已知，等量代换得，则，由，根据同旁内角互补、两直线平行，得；进而可得； （2）由得；由得，结合得．由推得．在中，由内角和可得，则可得，进而即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ， ∵、， ∴， ∵， ∴． 在中，， ∴ 解得， ∴， ∴ ． 16. 为了更好地开展“阳光大课间”活动，某校计划购置一批篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球，共需285元；若购买5个篮球和4个足球，共需505元． （1）求每个篮球和足球各多少元？ （2）该校计划购买篮球和足球共40个，总费用不超过2400元． ①最多可购买篮球多少个？ ②若购买足球的数量不超过篮球的数量的，求出所有的购买方案． 【答案】（1）每个篮球65元，每个足球45元 （2）①最多可购买篮球30个 ②共有三种方案：篮球28个、足球12个；篮球29个、足球11个；篮球30个、足球10个． 【解析】 【分析】（1）设篮球、足球的单价分别为x元、y元，根据两次购买的总费用列出二元一次方程组，用加减消元法求解． （2）设购买篮球m个，则足球为个．①根据总费用不超过2400元列一元一次不等式求m的最大值；②根据足球数量不超过篮球数量的再列不等式，结合m为整数且满足①中范围，求出所有可行方案． 【小问1详解】 解：设每个篮球的价格为x元，每个足球的价格为y元， ∵购买3个篮球和2个足球共需285元，购买5个篮球和4个足球共需505元， ∴， 解得 ∴每个篮球65元，每个足球45元． 【小问2详解】 解：设购买篮球m个，则购买足球个． ①由题意，得， ∴． ∴最多可购买篮球30个． ②由题意，得， ∴． 又∵，且m为整数， ∴或或． 当时，； 当时，； 当时，． ∴所有购买方案为：篮球28个、足球12个；篮球29个、足球11个；篮球30个、足球10个． 17. 牵牛（俗称喇叭花）是常见的藤本植物，某生物兴趣小组开展“光照对牵牛生长影响”的探究实验，相关信息如下： 实验一：探究每日光照时长对牵牛主茎长度变化的影响 选取若干长势一致的牵牛幼苗，保证其他环境条件一致，设置不同光照时长，分组培养7天，统计每组主茎的平均长度，整理数据如下表： 每日光照时长 平均长度 8 15 22 30 26 实验二：探究光照强度对牵牛主茎长度变化的影响 仍选取若干长势一致的牵牛幼苗，保证其他环境条件一致，固定每日光照时长为8小时，设置不同光照强度（单位：），分组培养7天，统计每组主茎的平均长度，绘制统计图（如图1）． 实验三：研究在最佳光照条件下的主茎长度变化的规律 选取一株长度为的牵牛幼苗，在最佳光照时长和最佳光照强度下进行培养，连续10天记录其主茎长度，得到数据并绘制了各对值所对应的点，散点的分布情况如图2． 回答以下问题： （1）根据实验一的统计表， ①补全对应的频数分布直方图； ②牵牛主茎平均长度达到及以上时，每日光照时长的取值范围是__________； （2）根据实验二的统计图，推断最佳光照强度约为__________； （3）根据实验三的统计图，估计这株牵牛在此环境下继续生长到第15天的长度约为__________（精确到）． 【答案】（1）① ②； （2）9000； （3）50 【解析】 【分析】（1）①根据统计表的信息补全即可；②根据统计表的信息求解即可； （2）观察图1即可求解； （3）观察图2即可求解． 【小问1详解】 解：①略； ②由表格可得，当时，主茎平均长度为，满足及以上； 当时，主茎平均长度为，满足及以上， ∴主茎平均长度达到及以上时，每日光照时长的取值范围是； 【小问2详解】 解：观察图1可得，长度最大值约为，对应的光照强度约为； 【小问3详解】 解：观察图2可得，牵牛主茎长度随培养天数增加持续增长，且生长速度逐渐放缓，第10天主茎长度约为， ∴继续培养到第15天时，长度约为． 18. 点为直线外一点，射线，直线分别与，相交于点，，连接，射线平分．点是线段上一点（不与点重合），点是射线上一点（不与点重合），连接． （1）如图1，若，． ①求证：； ②在内部作射线交于点，使，若，求的度数． （2）过点作的垂线交直线于点，直线平分，且与直线交于点，用等式表示，，之间的数量关系，直接写出结果． 【答案】（1）①证明：， ， ， ． 由图可得，， ∵， ． ∵， ， ； ②的度数为； （2） 【解析】 【分析】（1）①由与，根据同旁内角互补得，进而推出，结合证得两角互补，故；②由平行得，按比例设参解得，结合平行线性质与三角形内角和算出，由角平分线得； （2）由得，表示出；由平分，推得．设交于点，结合平行线同旁内角互补与三角形外角定理，代入，整理得． 【小问1详解】 解：①略 ②， ∴， 设，， ， ∴ 解得， ∴， 设射线交于点，如图， ， ， ∴， 又∵， ∴， 在中， 解得， 平分， ； 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴， 平分， ， ∴， ∵， ∴， 设直线，交直线于点，如图， ， ，即． 由图可得，， 将代入， 得， 平分， ， 又∵， ∴， ∴． 19. 在平面直角坐标系中，对于点，规定称是点的“绝对坐标”． （1）点的“绝对坐标”是__________；点的“绝对坐标”是__________； （2）点，，是轴上从左到右的三个点，点（不与原点重合）沿平行于二、四象限角平分线的方向移动到轴上，再沿着轴负方向移动个单位长度得到点，点又沿着轴负方向移动个单位长度得到点，其中，，都是非负数．将，，，，这五个点中个不同点的“绝对坐标”之和，记为“阶坐标”，例如：的值是其中一个“3阶坐标”. ①在，，，，中，“绝对坐标”最大的点是__________； ②若“2阶坐标”中最大的两个值为102，96，最小的三个值为64，72，74，则74是点__________与点__________的“绝对坐标”之和，点C的坐标是__________； ③若，，，，这五个点的横、纵坐标都是整数，全部“4阶坐标”的值为，则点E的坐标是__________． 【答案】（1）4， （2）①C；②A，D，；③ 【解析】 【分析】（1）根据定义进行求解即可； （2）①设、、，且（轴上从左到右），推导出，，，再根据平移，得到，，由（时），得到，，记，，则，进而推导出最大的绝对坐标为，对应点C． ②先求出5个点的2阶坐标即两两绝对坐标之和，共10个，得到最大的两个和为， ，求出，进而求出最小的三个和为， ， ，求出，，，得到，即可解答． ③设5个绝对坐标总和为，则5个4阶坐标为，推导出，根据全部“4阶坐标”的值为，得到“4阶坐标”的值有一个值重复，进而推导出5组“4阶坐标”的总和为，必为4的倍数，求出仅当重复时，总和为，是4的倍数，求出，继而进行求解即可． 【小问1详解】 解：点：，故． 点：，故． ∴点的“绝对坐标”是4，点的“绝对坐标”是； 【小问2详解】 解：①设、、，且（轴上从左到右）， 轴上的点纵坐标为0， ∴，故，，， 点沿平行于二、四象限角平分线的方向移动到轴，到达点；再沿轴负方向移动得，继续移动得． 轴上的点横坐标为0， ∴（时），故，， 记，，则，且，． 由，可知最大的绝对坐标为，对应点C． ②5个点的2阶坐标即两两绝对坐标之和，共10个， 最大的两个和：最大两数相加为，最大+第三大为， ∴， 两式相减得，即． 最小的三个和：最小两数相加为，最小+第三小为，第三小为（因）， ∴ 解得，，． ∴． 验证：两两和从小到大依次为64，72，74，78，80，86，88，88，96，102，符合题意． ∴74是点A与点D的绝对坐标之和，点坐标为． ③4阶坐标即去掉1个点后剩余4个绝对坐标的和， 设5个绝对坐标总和为， 则5个4阶坐标为． 由，得． ∵全部“4阶坐标”的值为， ∴“4阶坐标”的值有一个值重复． ∵， ∴5组“4阶坐标”的总和为，必为4的倍数， ∴仅当重复时，总和为，是4的倍数， 此时， 解得． ∴最小：即， 第二小：，即， 中间重复：即，（即） 最大：，即， 验证：5个4阶坐标为，符合题意． ∵在轴上，纵坐标为， ∴坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校2025—2026学年度第二学期期末试卷七年级数学 注意事项 1．本试卷共分为卷一、卷二两部分，卷面总分共100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 卷一 一、选择题（共12分，每题2分）第1-6题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线与相交于点，过点作，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 过点画直线的平行线，小明和小亮借助直尺和三角板完成作图如下，下列说法正确的是（ ） A. 小明作图的依据是两直线平行，内错角相等 B. 小明作图的依据是同位角相等，两直线平行 C. 小亮作图的依据是两直线平行，内错角相等 D. 小亮作图的依据是同位角相等，两直线平行 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 立方根等于本身的数只有0 B. 若，则 C. 实数与数轴上的点一一对应 D. 若，则 6. 对于任意两个实数，定义一种新运算：．若有且仅有一个整数同时满足与，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、填空题（共12分，每题2分） 7. 在平面直角坐标系中，点在第__________象限． 8. 比较大小：4_________．（填“＞”“＜”或“＝”） 9. 某班级的宣传展板长，宽．按如图所示的方式张贴着三幅长方形宣传画（图中阴影部分），宣传画竖直方向的宽度相等，均为，则展板空白部分面积为_____． 10. 某校计划开设学生喜欢的美育课程，随机抽取部分学生进行调查，学生从舞蹈、戏剧、合唱、水彩这四个课程中选择一个最喜爱的课程，并将调查结果绘制成条形统计图、扇形统计图，下面给出了部分信息．已知该校共有3000名学生，根据图中信息，请你估计全校选择“水彩”课程的学生约_____人． 11. 如图，四边形纸片，，点和点分别为，上的点，沿折叠纸片，点落在点处，点落在点处．若，则________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，将点向右平移个单位长度得到点，将点再向下平移个单位长度得到点，以为边向右作正方形，连接，．若，都恰好经过两个象限，则称正方形为“双限正方形”． （1）当时，正方形_____（填“是”或“不是”）“双限正方形”； （2）若正方形为“双限正方形”，则的取值范围是_____． 三、解答题（共61分，第13题10分，第14题13分，第15题7分，第16-18题，每题8分，第19题7分） 13. 计算： （1）； （2）求等式中的值：． 14. 解方程组、解不等式组 （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 15. 如图，，和相交于点，是线段上一点，是线段延长线上一点，是线段上一点，，． （1）求证：； 请将下面的证明过程补充完整． 证明：， ________． ， __________． __________． ， ____________________．（______________________________）（填推理的依据） ．（______________________________）（填推理的依据） （2）若，，则__________．（用含的式子表示） 16. 为了更好地开展“阳光大课间”活动，某校计划购置一批篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球，共需285元；若购买5个篮球和4个足球，共需505元． （1）求每个篮球和足球各多少元？ （2）该校计划购买篮球和足球共40个，总费用不超过2400元． ①最多可购买篮球多少个？ ②若购买足球的数量不超过篮球的数量的，求出所有的购买方案． 17. 牵牛（俗称喇叭花）是常见的藤本植物，某生物兴趣小组开展“光照对牵牛生长影响”的探究实验，相关信息如下： 实验一：探究每日光照时长对牵牛主茎长度变化的影响 选取若干长势一致的牵牛幼苗，保证其他环境条件一致，设置不同光照时长，分组培养7天，统计每组主茎的平均长度，整理数据如下表： 每日光照时长 平均长度 8 15 22 30 26 实验二：探究光照强度对牵牛主茎长度变化的影响 仍选取若干长势一致的牵牛幼苗，保证其他环境条件一致，固定每日光照时长为8小时，设置不同光照强度（单位：），分组培养7天，统计每组主茎的平均长度，绘制统计图（如图1）． 实验三：研究在最佳光照条件下的主茎长度变化的规律 选取一株长度为的牵牛幼苗，在最佳光照时长和最佳光照强度下进行培养，连续10天记录其主茎长度，得到数据并绘制了各对值所对应的点，散点的分布情况如图2． 回答以下问题： （1）根据实验一的统计表， ①补全对应的频数分布直方图； ②牵牛主茎平均长度达到及以上时，每日光照时长的取值范围是__________； （2）根据实验二的统计图，推断最佳光照强度约为__________； （3）根据实验三的统计图，估计这株牵牛在此环境下继续生长到第15天的长度约为__________（精确到）． 18. 点为直线外一点，射线，直线分别与，相交于点，，连接，射线平分．点是线段上一点（不与点重合），点是射线上一点（不与点重合），连接． （1）如图1，若，． ①求证：； ②在内部作射线交于点，使，若，求的度数． （2）过点作的垂线交直线于点，直线平分，且与直线交于点，用等式表示，，之间的数量关系，直接写出结果． 19. 在平面直角坐标系中，对于点，规定称是点的“绝对坐标”． （1）点的“绝对坐标”是__________；点的“绝对坐标”是__________； （2）点，，是轴上从左到右的三个点，点（不与原点重合）沿平行于二、四象限角平分线的方向移动到轴上，再沿着轴负方向移动个单位长度得到点，点又沿着轴负方向移动个单位长度得到点，其中，，都是非负数．将，，，，这五个点中个不同点的“绝对坐标”之和，记为“阶坐标”，例如：的值是其中一个“3阶坐标”. ①在，，，，中，“绝对坐标”最大的点是__________； ②若“2阶坐标”中最大的两个值为102，96，最小的三个值为64，72，74，则74是点__________与点__________的“绝对坐标”之和，点C的坐标是__________； ③若，，，，这五个点的横、纵坐标都是整数，全部“4阶坐标”的值为，则点E的坐标是__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $