精品解析：广东深圳市光明区光明中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

光明中学2025-2026学年度高二第二学期期末考试 数 学 试 题 一、单选题 (本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线在平面外，则下列命题一定正确的是（    ） A. 存在直线，使与的夹角为 B. 存在直线，使 C. 存在直线，使与相交 D. 存在直线，使 7. 若函数 在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的一个焦点为，中心为．是上的动点，是以为直径的圆上的动点，且的最大值为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线过点 C. D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 10. 三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A. 函数在处的切线方程为 B. 的极小值点为 C. 当时，方程有三个实根 D. 的图象关于点对称 11. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与的面积之比为 三、填空题(本题共3小题，每题5分，共15分．其中第13题第1空2分，第2空3分） 12. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 13. 已知，则________；________． 14. 在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示． 性别 男孩 女孩 喜欢豪车模型 340 160 不喜欢豪车模型 300 200 （1）现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，求至少1人是女孩的概率； （2）根据的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 19. 已知点，是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）已知直线交于两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为.求证：过定点； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 光明中学2025-2026学年度高二第二学期期末考试 数 学 试 题 一、单选题 (本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 3. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 5. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 6. 已知直线在平面外，则下列命题一定正确的是（    ） A. 存在直线，使与的夹角为 B. 存在直线，使 C. 存在直线，使与相交 D. 存在直线，使 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中线面的位置关系进行判断即可. 【详解】对A，若，则与平面内的任意直线垂直，此时不存在直线，使与的夹角为，故A错误； 对B，若，则与平面内的任意直线垂直，此时不存在直线，使，故B错误； 对C，若，则与平面内的任意直线都没有公共点，此时不存在直线，使与相交，故C错误； 对D，若，任意直线，均有； 若，存在直线，使得，再在平面内，令，则； 若与平面相交，存在平面，，，则，再在平面内，令，则.故D正确. 7. 若函数 在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数的解析式形式，结合函数零点的定义、换元法，特殊角的正弦函数值进行求解即可. 【详解】 ， 令，得， 因为函数 在 上恰有两个零点， 所以方程在内有两个不相等的实根， 因为， 所以， 所以有. 故选：A 8. 已知椭圆的一个焦点为，中心为．是上的动点，是以为直径的圆上的动点，且的最大值为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设设，圆心，利用两点间距离公式及条件得到，，再利用圆的性质，即可求解. 【详解】如图设，以为直径的圆的圆心为， 则， 又，得到，所以， 因为，得到， 又， 因为的最大值为，所以， 所以的离心率为， 故选：B. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线过点 C. D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由数据可知，即时下单量随着直播间展示时长的增大而增大， 因此直播间展示时长与即时下单量为正相关，即样本相关系数，故A正确； 对于B，由数据可知，，， 则回归直线过中心点，不过点，故B错误； 对于C，将点代入，可得，解得，故C正确； 对于D，由C知，与的经验回归方程为， 则时，，故D正确. 10. 三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A. 函数在处的切线方程为 B. 的极小值点为 C. 当时，方程有三个实根 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：求导，根据导数的几何意义求切线方程；对于B：利用导数判断函数的单调性和极值点；对于C：作出函数的图象，结合图象分析判断；对于D：根据对称中心的定义分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且， 可得，即切点坐标为，切线斜率为0， 所以函数在处的切线方程为，故A正确； 对于选项B：令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，故B错误； 对于选项C：因为，，结合选项B可得函数的图象： 由图可知：当时，与有三个交点， 即方程有三个实根，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 11. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与的面积之比为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【详解】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 三、填空题(本题共3小题，每题5分，共15分．其中第13题第1空2分，第2空3分） 12. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则 ，解得， 综上可得. 13. 已知，则________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 14. 在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别计算正三棱台上下底面的面积，再根据侧棱与底面所成角为求出棱台的高，最后代入棱台体积公式计算最终结果. 【详解】∵ 正三棱台上底面边长，下底面边长， ∴ 上底面面积，下底面面积. 设上下底面的中心分别为，，则为正三棱台的高， 侧棱与底面所成角为. ∵ 正三角形外接圆半径， ∴下底面外接圆半径，上底面外接圆半径. 过作于点，则， 可得四边形为矩形，故. ∵ 在中，， ∴ . 代入棱台体积公式， 得， ∴ . 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示． 性别 男孩 女孩 喜欢豪车模型 340 160 不喜欢豪车模型 300 200 （1）现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，求至少1人是女孩的概率； （2）根据的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）不能认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的概率及古典概型求解； （2）计算，与对应临界值比较即可得出结论. 【小问1详解】 抽取的10人中，男孩有6人，女孩有4人， 故至少有1人是女孩的概率为． 【小问2详解】 零假设：是否喜欢豪车模型与性别无关， 则 故不能拒绝零假设，即根据的独立性检验，不能认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性． 16. 在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量运算求得，即可求解； （2）利用等比数列及求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，由题意得， 解得，所以． 【小问2详解】 因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以． 从而， 所以． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程即可. （2）利用导数求出的最小值，再建立不等式并结合给定条件求出参数范围即可. 【小问1详解】 当时，， 而，则切点坐标为， 易得，得到切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由题意得的定义域为， 且， 而，令，，令，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 则当时，有最小值， 得到，解得， ，，即的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； 【小问2详解】 平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 19. 已知点，是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）已知直线交于两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为.求证：过定点； 【答案】（1） （2）设，则． 显然的斜率不为零，否则有， 此时，而直线和的斜率之商为2，有矛盾． 故可设，由得， 依题意，且， ∴且．① 由得，（*） 由于和是方程（*）的两根，所以 令得， 因为直线和的斜率之商为2，所以 因为点在双曲线上，所以，即， 所以， 即 ③ 把① ②代入③得， 化简可得 解得 ： ，（舍去)． 此时， 恒成立， 所以 ，过定点． 【解析】 【分析】（1）先设动点坐标，将几何关系转化为坐标关系后可得曲线的方程； （2）设直线方程并联立，代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理化简目标代数式后可得定点. 【小问1详解】 设，因为，且，垂足为，则点坐标为． 则， 已知，即． 因为在线段外，所以，则， 整理可得曲线的方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $