广东深圳市第二高级中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 2025-2026学年深圳市第二高级中学高二数学期末试卷，聚焦函数、数列、立体几何等核心知识，通过AI培训比赛等真实情境设计，分层考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数奇偶性、解三角形|基础概念辨析，如第3题函数奇偶性考查抽象能力| |多选题|3/15|统计案例、数列性质、立体几何|多维度辨析，如第9题结合独立性检验与正态分布考查数据观念| |填空题|4/20|二项式定理、概率计算、函数最值|情境化计算，如第13题随机选答题考查概率应用| |解答题|5/75|数列求和、概率分布列、立体几何证明、导数应用、圆锥曲线|综合应用，如第16题AI培训比赛情境构建概率模型，第18题导数单调性讨论体现逻辑推理|

《2026年7月3日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D B B D B C ABD 题号 11 答案 C 7．D 【分析】由确定周期，即可求解. 【详解】因为，所以， 即函数的周期为4，故 . 当时， ，又，所以. 故选：D. 8．B 【分析】根据面积关系可得，从而得到，利用结合余弦定理化简即可求解. 【详解】因为，所以 则，由于 所以， 根据椭圆的定义可得， 在中，， 在中，， 因为， 所以， 即， 化简得：，即，所以椭圆的离心率为 9．C 【详解】对A，，所以结论为变量与独立，这个结论犯错误的概率超过0.005，A选项错误； 对B，在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越好，B选项错误； 对C，，当不变时，越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，C选项正确； 对D，由样本数据算得线性回归方程式，且由样本数据算得，，则，D选项错误. 故选：C. 10．ABD 【详解】解法1：当时，可得，又，所以，A正确； 因为，所以， 又，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，B正确； 由B选项分析可得，所以， 所以恒成立， 所以，所以数列为单调递增数列，所以中不存在最大项，C错误； 因为数列为单调递增数列，所以， 所以对任意，D正确. 解法2：因为，所以， 又，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以，所以，所以，A，B正确； 因为，且，所以， 所以数列为单调递增数列，所以中不存在最大项，C错误； 因为，所以对任意 ，D正确. 11．BC 【详解】如图： 对A：连接，，则，又为中点，所以， 若，平面，且，所以平面，可知这是不成立的， 所以不成立，故A错误； 对B：利用结论：若正四面体的棱长为，则该四面体的外接球半径为，内切球半径为. 在中，，所以球的半径为，四面体的外接圆半径为， 所以球的体积与四面体外接球的体积之比，故B正确； 对C：连接，取的中心，则在上，连接，则平面， 作平面，则为中点.为直线与平面所成的角， 在中，，，， 所以，故C正确； 对D：因为点到平面的距离为， 所以球被平面截得的截面圆半径为， 所以截面面积为，故D错误. 故选：BC 12． 【详解】由题意， 在中，通项， 当即时，， ∴展开式中的系数为. 13． 【详解】. 14． 【详解】易证，（）(后续提供证明)， 所以，， 由不等式的性质知，当且仅当时取等号， 结合已知可得，此时，即点在直线上运动. 设与平行的直线与相切于点，令得， 故切点为，由图知其到直线的距离，即为的最小值． 下证：，（）. 证明：设，则， 当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故，即得证. 又设，则，当时，， 当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减. 故，即得证. 故答案为：. 15．【详解】（1）由题意得：，， 整理得，因为，所以， 所以． （2），， ， ， 故． 16．【详解】（1）记为甲在预赛答对的题数，则的取值为， ，， 记甲进入决赛为事件， 则甲进入决赛的概率为． （2）由题可知的取值为， 所以，， ，， 所以的分布列如下： （元）， 即甲获得奖金的数学期望为元． 17．【详解】（1）因为底面，平面， 所以． 因为为正方形，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，E为线段PB的中点， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． 又因为平面， 所以平面平面． （2）因为底面，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 则， 易知是平面的法向量 设，则，所以，， 所以 即，得，所以， 设为平面的法向量，则即， 令，则，， 所以平面的法向量， 又因为 所以点P到平面的距离为 所以点P到平面的距离为． 18．【详解】(1)当时，， ∴，又，故切线为. (2)， 令， ①当时，，，即，函数在上单调递增. ②当时，，令，则， 在和上，，函数单调递增； 在上，函数单调递减. (3)的取值范围是. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数单调性进而求最值以及不等式恒成立问题，属于难题. 对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 19．(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）代入可知曲线为双曲线，根据双曲线标准方程即可求离心率； （2）（ⅰ）由，结合即可求，然后建立方程组求得点的坐标； （ⅱ）先考虑直线斜率不存在时，斜率存在时可得直线过定点，再求得弦长，建立函数求最值可得斜率不存在时取得最小值. 【详解】（1）若，则曲线，所以曲线为双曲线， 离心率. （2）设，则， 又，，解得， 即曲线， （ⅰ）设直线倾斜角分别为，则， 由题可知，， ，联立， 解得或（舍去），即， 所以点的坐标为. （ⅱ）设，， 则由，得 ，即. 且， 由题意知，直线不与轴垂直. 设直线， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 且， 则， 整理可得， 则， 因为，则， 化简得，则直线， 所以直线过定点. 故直线斜率存在时， ， 代入得， ， 令，则， 则，其中， 故当且仅当，即时，即， 故当直线斜率不存在时，取最小值，最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年深圳市第二高级中学期末考试 高二数学 命题人：胡小雪 审题人：郑玉英 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知实数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 4．在中，角的对边分别为，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 5．函数在处取得极大值，则的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 6．现安排甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区，则不同的安排方法有（   ）种 A．18 B．36 C．45 D．96 7．若定义在实数集上的偶函数满足和对任意恒成立，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法中正确的是（    ） A．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据对应的的独立性检验，结论为：变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 B．在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差 C．，当不变时，越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 D．已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程式，且由样本数据算得，，则 10．已知数列满足，，设的前项和为，则下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C．数列中存在最大项 D．数列中存在最小项 11．如图，在棱长为2的正四面体中，分别为棱的中点，为线段的中点，球的球面正好经过点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．球的体积与四面体外接球的体积之比为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．球被平面截得的截面面积为 三、填空题 12．已知，则展开式中的系数为__________． 13．现有4道四选一的单选题，一名学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好随机猜一个答案．该学生从这4道题中随机选择2道题作答，则2道题都答对的概率为__________． 14．已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为__________． 四、解答题 15．已知数列为公差不为0的等差数列，前项和为，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和记为，证明：． 16．是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰． (1)若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率； (2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望． 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成的角的余弦值为，求点到平面的距离. 18．已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线的斜率； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 19．已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $