精品解析：江苏省梅村高级中学2025-2026学年高一第二学期期末检测数学试题

江苏省梅村高级中学2025-2026学年度第二学期期末检测 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ） A. 40人 B. 36人 C. 30人 D. 24人 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 4. 数据6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则关于这组数据下列说法错误的是（ ） A. 中位数为5 B. 方差为1.6 C. 平均数为5 D. 85%分位数为8 5. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（ ） A. 等边三角形 B. 顶角为的等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 非直角三角形，也非等腰三角形 6. 如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知矩形的长为4，宽为3，将沿对角线翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得得0分） 9. 已知平面向量，，下列命题正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则存在实数使 D. 则夹角一定为锐角 10. 已知是空间内两条不同的直线，是空间内两个不同的平面，则下列说法不正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过的最大整数，则（ ） A. B. C. 事件“”与“”互斥 D. 事件“”与“”相互独立 三、填空题（本题共3小题，每空5分，共15分） 12. 已知复数，为虚数单位，则______. 13. 已知某圆锥的底面周长为，体积为，则该圆锥的侧面积为________． 14. 在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分、解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若的周长为，且，求的面积. 16. 在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： （1） （2）平面EFG∥平面PBC． 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及a的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 18. 在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，点F，G满足，． （1）用，表示，； （2）若，求； （3）若，求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，. （1）求证：平面平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省梅村高级中学2025-2026学年度第二学期期末检测 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法及共轭复数即可求解. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为. 故选:A. 2. 某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ） A. 40人 B. 36人 C. 30人 D. 24人 【答案】D 【解析】 【分析】确定高一、高二、高三的人数比，由分层抽样特征即可求解； 【详解】由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人， 则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为， 根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有人， 故选：D 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量的线性运算求，再由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】因为，，所以， 由，得，解得. 故选：A 4. 数据6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则关于这组数据下列说法错误的是（ ） A. 中位数为5 B. 方差为1.6 C. 平均数为5 D. 85%分位数为8 【答案】B 【解析】 【分析】将数据重写排列，然后分别按照中位数，方差，平均数，百分位数概念计算判断即可. 【详解】将数据从小到大排列为1，3，3，3，4，6，6，8，8，8， 中位数为，平均数为， 由，所以85%分位数为第9个数为8， 方差为， 所以ACD正确，B错误. 故选：B 5. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（ ） A. 等边三角形 B. 顶角为的等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 非直角三角形，也非等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用余弦定理求得，可得，由，再根据正弦定理和余弦定理再可得，从而得出结论． 【详解】在中， ， ，， 又由可得， ，故是等边三角形. 故选：A. 6. 如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立的概率乘法公式，以及互斥事件与对立是事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，丙丁2个都开且甲乙2个中有一个开另一个闭， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为. 故选：C. 7. 已知矩形的长为4，宽为3，将沿对角线翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接相交于点，根据为矩形得点为三棱锥的外接球的球心，求出半径可得答案. 【详解】连接相交于点，则点为的中点， 因为为矩形，所以， 所以点为三棱锥的外接球的球心， 则则三棱锥的外接球的体积为. 故选：A. 8. 某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，可求点到平面的距离． 【详解】设点到平面的距离为， 根据正方体的性质可知：点到平面的距离为， 因为，所以， 由正方体可得， 所以， 解得，即点到平面的距离为， 又因为平面与平面平行，直绳索的长度为米， 所以点到平面的距离为． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得得0分） 9. 已知平面向量，，下列命题正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则存在实数使 D. 则夹角一定为锐角 【答案】AB 【解析】 【详解】，其中，A对， 由，则，即， 所以，即，B对， 若为非零向量，，满足，但不存在实数使，C错， 当非零向量同向共线时，，但此时它们的夹角为，D错. 10. 已知是空间内两条不同的直线，是空间内两个不同的平面，则下列说法不正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由线面平行定义可判断选项正误； 对于B，由线面垂直性质可判断选项正误； 对于CD，由线面平行判定定理可判断选项正误； 【详解】对于A，因，则，又，则可能平行于，也有可能与异面，故A错误； 对于B，因，则，又，是空间内两个不同的平面，则，故B正确； 对于C，，则有可能在内，则不一定平行于，故C错误； 对于D，因，则有可能在内，则不一定平行于，故D错误. 故选：ACD 11. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过的最大整数，则（ ） A. B. C. 事件“”与“”互斥 D. 事件“”与“”相互独立 【答案】AC 【解析】 【详解】总样本点数为种， 满足的情况数为种，由对称性可知， 又，，解得，故A正确， 由可知， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，，满足条件的情况数有种， ，故B错误. 由可知，若，则，，所以矛盾，故C正确， 记事件为“”， 事件为“”，则， 满足的情况数为种，， 又，，，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每空5分，共15分） 12. 已知复数，为虚数单位，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，进而可求模长. 【详解】因为复数，所以. 故答案为：. 13. 已知某圆锥的底面周长为，体积为，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为. ∵ 圆锥底面周长为， ∴ ，解得. ∵ 圆锥体积为， ∴ ，解得. 由圆锥的几何特征可得母线长， ∴ 圆锥的侧面积. 14. 在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 【答案】 ##0.5 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化可得，结合投影向量,余弦定理可得三角形为等边三角形，据此可得答案. 【详解】因，结合正弦定理边角互化可得：. 因在上的投影向量为， 则， 由余弦定理：. 从而即三角形为等边三角形，则. 四、解答题（本题共5小题，共77分、解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若的周长为，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式、诱导公式，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据题意，可得，根据余弦定理，可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以， 所以，又， 所以. 【小问2详解】 因为周长为，且，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的面积. 16. 在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： （1） （2）平面EFG∥平面PBC． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【小问1详解】 在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 【小问2详解】 由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及a的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】（1）， （2）平均数为，第80百分位数为. （3） 【解析】 【分析】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【小问1详解】 由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； 【小问2详解】 平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. 【小问3详解】 易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 18. 在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，点F，G满足，． （1）用，表示，； （2）若，求； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的加减法即可求解； （2）由得，利用平面向量数量积的运算律即可求解； （3）设，，又，利用数量积的定义得，利用二倍角公式化简得，令，利用二次函数即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， ； 【小问2详解】 若，则， 所以， 可得， 即，所以． 【小问3详解】 设，， 因为， 所以 ， 令，则，， 因为，， 可得， 所以的取值范围是． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，. （1）求证：平面平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，继而根据面面垂直的性质推出平面，可得，再结合线面以及面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）利用等体积法求出D到平面的距离，再根据线面角的定义即可额求得答案； （3）根据二面角定义作出二面角的平面角，解三角形求出相关线段长，即可推出二面角平面角的正切值的表达式，结合不等式知识，即可求得答案. 【小问1详解】 由，，，可知， 故； 又平面平面，平面平面，平面， 故平面，平面，故， 又，平面， 故平面，平面， 故平面平面； 【小问2详解】 由（1）知平面，平面， 故，而，底面是平行四边形， ，，故， ； 设点D到平面的距离为d， 由， 得, 解得， 设直线与平面所成角为，则，而， 故； 【小问3详解】 作于M，作于N，连接， 由于平面平面，平面平面， 平面，故平面，平面， 故，而，平面， 故平面，则即为二面角的平面角； 设，，则， ， 由于，可得， 又，则， 故在中，， 设，则 ， 由于，故，则， 即二面角的正切值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $