江苏省无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

无锡市第一中学2023-2024学年度第二学期期末考试 高 一 数学 2024.6 命题：高二数学组 审核：高二数学组 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若样本数据x1，x2，…，x10的方差为3，则2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为 A. 3 B. 5 C. 6 D. 12 2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 A. B. C. D. 3. 圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的表面积是 A. B. C. D. 4. 已知平面向量满足，与的夹角为120°，若，则等于 A．2 B． C．4 D． 5. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是 A. 若，，，则 B 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长100，曲柄CB长35，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）约为 （结果保留整数）（参考数据：sin53.2°≈0.8） A．17mm B．18mm C．19mm D．20mm 7. 设点D是△ABC所在平面内一点：①若＝(＋)，则点D是边BC的中点；②若＝2－，则点D在边BC的延长线上；③若＝x＋y，且x＋y＝，则△BCD是△ABC面积的一半；④若＝，则直线AD一定过△ABC的内心． 则上述说法正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D. 3 8. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为s，平均数为1；去掉的两个数据的方差为s，平均数为2；原样本数据的方差为s2，平均数为，若1＝2，则下列选项错误的是 A．＝1 B. 剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变 C．10s2＝9s＋s D．剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 新式茶饮是指以上等茶叶的萃取浓缩液为底，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2023年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．根据所给统计图，下列结论中正确的是 A．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20% B．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90% C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50% D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60% 10. 甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1,2,3的三个号签；乙袋有编号为1,2,3,4,5,6的六个号签．现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签6；事件C：抽取的两个号签和为3；事件D：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是 A．P(C)＝ B．事件C与D互斥 C．事件A与事件C相互独立 D．事件A与事件D相互独立 11．如图，正方形ABCD-A1B1C1D1棱长为1，P是线段上的一个动点（含端点），则下列结论正确的是 A．BP的最小值为 B．当P在线段上运动时，三棱锥的体积不变 C．的最小值为 D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，已知直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形OAB，斜边长，若该直三棱柱的侧棱长为4，则该直三棱柱的体积为 ▲ ． 13. 已知向量且，则在上的投影向量的坐标为 ▲ ． 14. 2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A，B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定，已知获得A档门票的概率是，若未成功，仍有的概率获得B档门票；而成功获得其他赛事门票的概率均为，且获得每张门票之间互不影响．甲想要一张开幕式门票（A、B档皆可），他预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．则甲获得的门票数比乙多的概率为 ▲ ． 四．解答题（本题共5题，共77分） 15.(12分)已知复数，，，为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数m的值； （2）若，求． 16.(12分)在直角梯形ABCD中，已知，，，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点（含端点）. (1)若，求的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 17.(17分)某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位mg）的样本数据统计如下： （1）求样本数据的70%分位数；（精确到0.01） （2）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． ①若产品的质量差为78mg，试判断该产品是否属于一等品； ②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率． 18.(18分)如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝. (1)若M为PA的中点，求证：AC平面MDE； (2)求直线PC与平面PBE所成角的正弦值的大小； (3)设平面PAD∩平面EBC＝l，试判断l与平面ABCD能否垂直？并证明你的结论． 19.(18分)请从：①asin B－bcos Bcos C＝ccos2B； ②(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C； ③＝a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答． (如未作出选择，则按照选择①评分) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若________， (1)求角B的大小； (2)若角B的平分线BD长为1，且ac＝4，求△ABC外接圆的面积； (3)若△ABC为锐角三角形，c＝1，求a2＋b2的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 一．单选题 DADC DBCD 二．多选题 AC AD ABD 三．填空题 四．解答题（本题共5题，共77分） 15.（1），， 所以， 因为是纯虚数，所以，得.…………………………6分 （2）由（1）知，， 因为，所以，得， 所以， 所以.…………………………………………………………12分 16. （1）由图知：，， 所以， 所以…………6分 法二：建系， （2）设 …………………………12分 17. （1）由于前2组的频率和为0.3，前3组的频率和为0.75， 所以可知70%分位数一定位于[66，76）内， 设70%分位数为x, 则0.3+0.045（x-66）=0.7，解得x≈74.89………………5分 （2）① 所以，又， 可知该产品属于一等品．…………………………………………………………9分 ②记三件一等品A，B，C，两件二等品为a，b， 摸出两件产品总基本事件共10个，分别为： ， 设A：摸出两件产品中至少有一个一等品，A包含的基本事件共9个，分别是： ， 所以. 答：摸出两件产品中至少有一个一等品的概率为…………………………17分 18. (1)证明　连接PC，交DE于点N，连接MN， ∵四边形PDCE为矩形， ∴N为PC的中点， 在△PAC中，M，N分别为PA，PC的中点， ∴MN∥AC， ∵MN⊂平面MDE，AC⊄平面MDE， ∴AC∥平面MDE………………………………………………4分 （2）法一：设点C到平面PBE的距离为h 由等体积法， 所以…………………………………………………………………10分 法二：补形成长方体， 可证PC与平面PBE所成角为 （3）l与平面ABCD垂直．证明如下： ∵四边形PDCE为矩形，∴PD⊥CD， ∵平面PDCE⊥平面ABCD， 又PD⊂平面PDCE，平面PDCE∩平面ABCD＝CD，∴PD⊥平面ABCD， ∴PD⊥CD, PD⊥AD, ∵四边形PDCE为矩形，∴EC∥PD， ∵PD⊄平面BCE，EC ⊂平面BCE ∴PD∥平面BCE ∵PD⊂平面PAD，平面PAD∩平面EBC＝l， ∴PD∥l ∴l⊥CD，l⊥AD CD,AD⊂平面ABCD，CD∩AD=D 所以l⊥平面ABCD………………………………………………………………18分 19. （1）若选①， 因为asin B－bcos Bcos C＝ccos2B， 由正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos Bcos C＋sin Ccos2B， 即sin Asin B＝cos B(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝cos Bsin(B＋C)， 所以sin Asin B＝cos Bsin A， 由A∈(0，π)，得sin A≠0，所以sin B＝cos B， 即tan B＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. 若选②， 由(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C， 化简得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C. 由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac， 即＝，所以cos B＝. 因为B∈(0，π)，所以B＝. 若选③， 因为＝a，由正弦定理得＝sin A， 即sin Bsin A＝sin A(1＋cos B)， 因为0<A<π，所以sin A≠0， 所以sin B＝1＋cos B，所以sin＝， 又因为－<B－<， 所以B－＝，所以B＝………………………………………………………………4分 （2）因为角B的平分线为BD，由等面积法： ， 即，即， 又， 所以，所以，即， 故外接圆的面积，………………………………………………10分 (3)在△ABC中，由正弦定理＝＝， 得a＝，b＝， 由(1)知，B＝， 又с＝1，代入上式得a＝，b＝， 所以a2＋b2＝c2＋2abcos C＝1＋2cos C＝1＋cos C ＝1＋cos C＝1＋cos C ＝1＋×cos C ＝1＋＋. 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得C∈， 所以tan C>，所以∈(0，)， 所以a2＋b2＝1＋＋ ＝2＋∈(1,7)．……………………………………………………………………18分 学科网（北京）股份有限公司 $$报告查询:登录zhixue.com(用户名和初始密码均为准考证号) 密 封 线 无锡市第一中学 2023-2024 学年度第二学期期末试卷 高一数学 考生须知 1．请在规定区域内作答,密封线内严禁作答 2．请勿靠近分值栏、打分框、对错框作答 正确填涂 缺考标记 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1  2  3  4  5  6  7  8  二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9  10  11  三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 四．解答题（本题共5题，共77分） 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15. （12分） 第1页 共4页 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 16. （12分） 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 17. （17分） 第2页 共4页 班 级 : 学 号 : 姓 名 : 12. 13. 14. A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 18. （18分） 第3页 共4页 密 封 线 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 19. （18分） 第4页 共4页