精品解析：江苏镇江市丹阳市2025-2026学年高一下学期6月期末质量检测数学试卷

高一期末质量检测试卷・数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有一组样本数据：1，2，3，3，5，6，8，则下列说法中，正确的是（ ） A. 中位数是5 B. 平均数为4 C. 极差为6 D. 上四分位数为5 2. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角等于（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 先后抛掷同一枚质地均匀的正方体骰子两次，观察每次朝上的点数．则两次点数之和为7的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的实系数方程的一个根，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 6. 两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们相对于发射源的位移向量分别为，．记粒子相对粒子的位移为向量（即），则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的底面半径与球的半径相等，圆锥的侧面积与球的表面积相等，圆锥的体积为，则球的半径（ ） A. B. C. D. 8. 在正三棱锥中，侧面与底面所成二面角的平面角为，侧棱与底面所成的线面角为，对棱所在异面直线所成的线线角为，已知，且，则侧棱的长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是虚数单位，复数（），下列说法正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内所对应的点在第一象限，则 C. 若，则 D. 若的虚部为，则 10. 已知非零向量，满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 若，，，则的最小值为 11. 已知底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱，点在线段上运动，是棱的中点，下列命题为真命题的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正四棱柱外接球的表面积为 C. 过点，，与四棱柱所成截面的形状为等腰梯形 D. 存在点使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 某射击运动员在某次射击训练中5次的成绩（单位：环）如下：7，9，7，4，8，则这次训练成绩的方差为______． 13. 设，则满足条件的点的集合表示的图形的面积为______． 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 三棱锥中，平面，为直角三角形，． （1）求证：平面平面； （2）若，，，点为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 16. 某工厂生产的一批零件的长度（单位：）的频率分布直方图如下，已知零件长度在的频数为15． （1）求这批零件的总数，并估计该批零件长度的平均值； （2）估计这批零件长度的中位数； （3）用分层抽样的方法从长度在和的零件中抽取6个，再从这6个中随机抽取2个，求这2个零件长度不低于的概率． 17. 已知，． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 18. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，点，分别在棱，上，且，． （1）证明：直线平面； （2）若． （ⅰ）当，点为棱上的动点时，求证：； （ⅱ）当，异面直线与所成角的大小为时，求平面与底面所成的锐二面角的正切值． 19. 已知，，分别为锐角的三个内角，，的对边，的面积记为，且． （1）求角； （2）若，求面积的取值范围； （3）若，为的中点，求线段长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期末质量检测试卷・数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有一组样本数据：1，2，3，3，5，6，8，则下列说法中，正确的是（ ） A. 中位数是5 B. 平均数为4 C. 极差为6 D. 上四分位数为5 【答案】B 【解析】 【分析】求出中位数判断A；求出平均数判断B；求出极差判断C；求出上四分位数判断D． 【详解】对于A，该组数据共7个数，所以中位数为3，故A错误； 对于B，该组数据的平均数为，故B正确； 对于C，该组数据的极差为，故C错误； 对于D，该组数据的上四分位数即为第百分位数， 因为， 所以该组数据的上四分位数为第６个数，即为６，故D错误． 2. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求得的取值，再结合三角形大边对大角的性质排除不符合的角度，确定角的大小. 【详解】根据正弦定理，在中，有， 将，，代入公式，得 ， 由于，可知，即，所以，故A正确. 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数除法及乘法计算，再结合模长公式求解. 【详解】复数满足， 则， 则. 4. 先后抛掷同一枚质地均匀的正方体骰子两次，观察每次朝上的点数．则两次点数之和为7的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出总的结果，再列举出满足条件的结果，即可得答案. 【详解】由题意可得一共有种结果， 满足条件的有，，，，，，共6种结果， 所以所求概率为. 5. 已知是关于的实系数方程的一个根，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用实系数一元二次方程虚根共轭的性质，结合韦达定理求出p、q的值，代入目标复数化简后求解． 【详解】已知是关于的实系数方程的一个根， 则其共轭复数是另一个根， 由韦达定理，解得， ， ， 复数的虚部为． 6. 两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们相对于发射源的位移向量分别为，．记粒子相对粒子的位移为向量（即），则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用向量的坐标运算和投影向量的定义求解. 【详解】， 在上的投影向量为：. 7. 已知圆锥的底面半径与球的半径相等，圆锥的侧面积与球的表面积相等，圆锥的体积为，则球的半径（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥侧面积与球表面积相等的关系推导圆锥母线长和半径的关系，结合圆锥的勾股定理求出高，代入体积公式即可求解球半径. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题意得，球的表面积为，圆锥侧面积为， 由可得：，化简得， 根据圆锥的几何性质，母线、底面半径、高满足勾股定理，代入、得：， 已知圆锥体积，将、代入得：  ，解得，故B正确. 8. 在正三棱锥中，侧面与底面所成二面角的平面角为，侧棱与底面所成的线面角为，对棱所在异面直线所成的线线角为，已知，且，则侧棱的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设侧棱长为，利用面面角、线面角及线线角定义，找到角，再利用诱导公式把消去，最后用两角和的余弦公式解出即可. 【详解】如图，设正三棱锥的底面中心为， 连接并延长交于点,连接. 因为正三棱锥底面是正三角形，所以是正的中心， ,又底面，根据三垂线定理可得, 则就是侧面与底面所成二面角的平面角， 即. 因为底面，所以就是侧棱与底面所成的线面角， 即. 因为正三棱锥的对棱互相垂直，所以与所成的线线角. 已知，，所以=. 设侧棱，底面正的边长，则, 在正中，,所以. 在中，， ，, 在中，,， ,， 又因为，所以 化简得即 令，则解得或即或， 因为所以，即. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是虚数单位，复数（），下列说法正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内所对应的点在第一象限，则 C. 若，则 D. 若的虚部为，则 【答案】AB 【解析】 【分析】先将复数化简为标准代数形式，再结合纯虚数、复平面点的坐标、复数相等、虚部的定义逐一判断选项. 【详解】，其中实部为，虚部为. 对于A：由且，解得，A正确； 对于B：对应复平面的点为，由，解得，B正确； 对于C：若，则，方程组无解，C错误； 对于D：虚部为1即，解得，D错误. 10. 已知非零向量，满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 若，，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知，且，则， 设，则，解得， 选项A：，故A正确； 选项B：， 故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：若，则，故 ， 最小值为，故，故D正确． 11. 已知底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱，点在线段上运动，是棱的中点，下列命题为真命题的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正四棱柱外接球的表面积为 C. 过点，，与四棱柱所成截面的形状为等腰梯形 D. 存在点使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.利用等体积法转化可得；B.正四棱柱外接球直径等于体对角线，从而求出外接球的半径，得到体积；C.通过线线平行，找到截面图形，再求出梯形的两腰长不等；D. 通过线面垂直得到线线垂直. 【详解】A.连接，设，连接，因为分别是的中点，所以， ，，所以平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，是定值，的面积也是定值，所以也是定值 因为，故三棱锥的体积为定值，A正确； B.正四棱柱外接球直径等于体对角线， 底面正方形对角线， 体对角线长， 外接球半径，球表面积，B正确； C. 取中点，连接， 是中点，是中点，故，，所以，所以过的截面是四边形 ，所以四边形是梯形，因为， ，所以梯形不是等腰梯形，C错误； D. 侧棱平面，平面，得 在矩形中，过作，交延长线于， ，平面， 所以 ， 平面内所有直线都垂直于，因此只要平面，就有 确定平面范围：包含顶面边、底面线段（在延长线上）； 直线两个端点： ：顶面左上顶点，在平面外侧； ：底面右下顶点，在直线上，属于平面； 直线从平面外一点延伸到平面内一点，线段上必有唯一内点，使得平面 对该交点，平面，结合平面，由线面垂直性质得， 在线段内部，故存在满足条件的点，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 某射击运动员在某次射击训练中5次的成绩（单位：环）如下：7，9，7，4，8，则这次训练成绩的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出平均数，再应用方差公式计算求解. 【详解】射击运动员在某次射击训练中5次的成绩如下：7，9，7，4，8，则成绩的平均数为， 则这次训练成绩的方差为. 13. 设，则满足条件的点的集合表示的图形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出复数的代数形式，根据复数模的定义推导点Z的轨迹方程，确定轨迹为圆后计算面积. 【详解】设，则， 由，根据复数模的计算公式可得， 两边平方得，即点的集合是以为圆心，半径为2的圆， 因此该图形的面积. 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由余弦定理将角转化为边的关系，再联立已知的边的等式求出三边比例，再代入余弦定理计算. 【详解】由余弦定理得，代入，可得： . 化简得，整理得 ①. 又由变形得②，将②代入①得： ， 化简整理为，即， 因为边长，所以，因此，即. 将代入②，得. 在中，，，由余弦定理， . 因此. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 三棱锥中，平面，为直角三角形，． （1）求证：平面平面； （2）若，，，点为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）已知：平面，平面，故 ， 又 ，即 ，，平面， 由线面垂直判定定理得：平面， 又 平面，由面面垂直判定定理：平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）通过线面垂直判定定理和面面垂直判定定理证明； （2）先找到线面角，再利用线面角的正弦值公式求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 过点 作 于 ，连接 由 平面 ， 平面, 得 ； ，， 平面 ，所以 平面 ， 因此 就是直线 与平面 所成的角，设为 ，即 ， ， 是 中点，， 在直角 中， 因为,,所以， 所以得， ， 为直角三角形， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 16. 某工厂生产的一批零件的长度（单位：）的频率分布直方图如下，已知零件长度在的频数为15． （1）求这批零件的总数，并估计该批零件长度的平均值； （2）估计这批零件长度的中位数； （3）用分层抽样的方法从长度在和的零件中抽取6个，再从这6个中随机抽取2个，求这2个零件长度不低于的概率． 【答案】（1）该批零件长度的平均值为. （2）这批零件长度的中位数为. （3）这2个零件长度不低于的概率为. 【解析】 【小问1详解】 长度在的频率为：，频数为15，所以这批零件的总数为， 各组频率依次为： 的频率：；的频率：； 的频率：；的频率：； 的频率：；的频率：. ， 该批零件长度的平均值为. 【小问2详解】 设这批零件长度的中位数为， 因为，，所以， ，解得. 即这批零件长度的中位数为. 【小问3详解】 因为的频率为：；的频率为：，则两组的频率之比为， 所以在内抽取的零件个数为，记为，； 在内抽取的零件个数为，记为，，，； 则抽取到的2个零件组成的样本空间为： 则，； 记事件为“取出的这2个零件长度不低于”， 则，， 故这2个零件长度不低于的概率为. 17. 已知，． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据二倍角公式及同角三角函数基本关系式可得； （2）先由同角三角函数基本关系式得，再根据三角函数值确定角的范围，并结合两角差的正切公式可得所求角. 【小问1详解】 由 ，解得. 又因为， 由 ，得， 故原式 . 【小问2详解】 因为，，由同角三角函数关系式得，.  由（1）分析知，，由两角差的正切公式得. 由且 ，得；由且，得， 所以，由不等式性质得，且， 因此. 18. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，点，分别在棱，上，且，． （1）证明：直线平面； （2）若． （ⅰ）当，点为棱上的动点时，求证：； （ⅱ）当，异面直线与所成角的大小为时，求平面与底面所成的锐二面角的正切值． 【答案】（1）在直四棱柱中，连接，连接， 则为的中点，由，得为的中点，得， 由，得为的中点，即， 因此，且，四边形为平行四边形，则， 又平面平面，所以平面. （2）（ⅰ）在直四棱柱中，连接， 在平行四边形中，由，， 为的中点，得，则， ，于是，而平面， 平面，则，又平面， 因此平面，由点为棱上的动点，得平面， 所以. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行四边形判定及性质，线面平行的判定推理得证. （2）（ⅰ）根据给定条件，利用线面垂直的判定及性质推理得证；（ⅱ）延长与延长线交于点，作出二面角的平面角，利用几何法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）延长与延长线交于点，连接，连接， 在直四棱柱中，由为的中点，得为中点，为中点， 而为的中点，则，是异面直线与所成的角或其补角， 由，得，而，则，， 因此，为正三角形，，， 于是是二面角的平面角，由平面，平面， 得，又，则，， 所以平面与底面所成的锐二面角的正切值为. 19. 已知，，分别为锐角的三个内角，，的对边，的面积记为，且． （1）求角； （2）若，求面积的取值范围； （3）若，为的中点，求线段长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式化简求解. （2）利用正弦定理及三角形面积公式，结合差角的正弦及正切函数性质求出范围. （3）利用数量积的运算律，结合正余弦定理及和差角的正弦求解. 【小问1详解】 在锐角中，由及余弦定理、三角形面积公式， 得，则， 即，由，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，又为锐角三角形，则，解得， 由及正弦定理，得， 而，因此， 所以面积的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）知，又，由正弦定理，得， 由余弦定理得，则， 由为的中点，得，则， 由（2）令，则， ， 因此，， 所以线段长的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $