精品解析：天津市天骄高级中学2025-2026学年高一下学期6月检测数学试题

天骄高级中学2025—2026学年第二学期6月检测 高一数学试题 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形ABCD的周长为 D. 四边形ABCD的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】计算出复数后，由复数的几何意义判断即可得. 【详解】， 故复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 3. 已知，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以， 由，所以，解得. 4. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c且，且，那么△ABC外接圆的半径为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，以及同角三角函数的关系求解即可. 【详解】已知，则. 因为，因此. 因为，所以，化简得. 进而，解得. 因为，所以，解得. 因此，解得. 5. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据共轭复数的定义即可求解． 【详解】， 所以复数的共轭复数为． 6. 已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正四面体各个面都是正三角形，直接计算面积即可. 【详解】. 7. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的三角形法则和平行四边形法则可推出答案. 【详解】. 故选：. 8. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于，）且，则二面角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理和直径所对的圆周角为得出平面，确定为二面角的一个平面角，由几何关系得出结果. 【详解】由已知，平面， 平面，平面， ， ， 是等腰直角三角形， 是直径，是圆周上的一点， ，即， 又， 平面， 又平面平面， 为二面角的一个平面角， 即二面角的大小为， 故选：C 9. 在梯形中，已知，，，点、分别在线段和上，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量的数量积运算律求解即可. 【详解】 梯形中，，，所以. 因为，所以. ， . 所以 . 10. 图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为6，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正四棱柱和正四棱锥的体积比，结合底面积相等，推导出两者的高相等. 根据几何体的对称性，确定球心位于几何体的中心轴线上，利用球心到各顶点距离相等（即球体半径）建立方程，求出几何体的高，进而求出球的半径，得到球体的体积. 【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高分别为和，体积分别为和，底面积为， 则，， 又，即，所以， 设该几何体外接球的半径为，该几何体的所有顶点都在球的表面上， 由于正四棱柱和正四棱锥底面重合且中心轴线重合，所以球心必在该中心轴线上， 如图所示，则， 又正四棱柱和正四棱锥的底面边长为6， 所以， ， 所以，解得， 所以，即， 所以球的体积为. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（共8题，每题3分，共24分） 11. 已知复数，则______. 【答案】 【解析】 【详解】可知， 则，所以. 12. 若向量，满足，，且与的夹角是，则向量在向量上的投影向量是__________（用表示） 【答案】 【解析】 【详解】已知，，且与的夹角为， 则向量在上的投影向量为. 13. 已知向量与的夹角为，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】因为向量与的夹角为，，，可得， 则，所以. 14. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，则的形状是____________ . 【答案】等边三角形 【解析】 【详解】在中，，又，故． 由余弦定理得， 因为，所以有，即，解得， 所以是等边三角形． 15. 已知一个圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的表面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据弧长公式求出圆锥的母线为，再根据圆锥的表面积的公式求解即可． 【详解】设圆锥的母线为， 又该圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形， 则，即，解得， 所以这个圆锥的表面积． 16. 在中，内角所对的边分别为，则边的高线长______ . 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理可知， 可知， 所以边的高线长为. 17. 在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点，则点到平面的距离是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 又因为，所以点到平面的距离为. 故答案为：. 18. 在△ABC中，，，，，若动点F在线段AC上，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】用分别表示出，再由数量积的定义及运算律即可求出，设，用分别表示出，由数量积的定义及运算律表示出，结合二次函数求出最小值. 【详解】因为，则，则， 又，， 故， 解得； 设，，， 则 ，当时，取得最小值. 三、解答题（共5题，19、20题各8分，21、22、23题10分，共46分） 19. 已知复数，i是虚数单位，根据下列条件求实数m的值. （1）是实数； （2）是纯虚数； （3）在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1）2或3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数时，虚部为0的性质，列出方程，求出参数值； （2）根据复数为纯虚数时，实部为0，虚部不为0的性质，列出方程组，求出参数值； （3）根据复数对应的点在第三象限，实部虚部为负的性质，列出不等式组，求出参数范围； 【小问1详解】 由题意可知复数为实数，即，解得或. 【小问2详解】 由题意可知复数为纯虚数， 则，解得. 【小问3详解】 当在复平面内对应的点在第三象限，则，解得， 即实数m的取值范围为. 20. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助向量坐标运算与平行性质及模长公式计算即可得； （2）借助向量坐标运算与垂直性质及夹角余弦公式计算即可得. 【小问1详解】 ，由，故， 解得，故； 【小问2详解】 ，由，故， 解得，故， 则. 21. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）取中点，求证：平面平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）易证平面，结合（1）可证结论成立. （3）利用几何法求出夹角的余弦. 【小问1详解】 在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面．    【小问3详解】 由（1）知，，则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 22. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若△ABC的面积为，，求a的值 （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理和两角和的正弦公式求解； （2）使用三角形的面积公式和余弦定理求解； （3）使用二倍角公式，两角和的余弦公式求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 得，即， 得. 【小问2详解】 由（1）知，因为，所以， 因为，得， 因为，所以， 由余弦定理得：，解得 【小问3详解】 由，，所以， ，， . 23. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． （1）求的值； （2）求a的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角及同角三角函数平方关系即可； （2）由余弦定理即可解得； （3）由条件及（1）根据正弦的差角及二倍角公式即可. 【小问1详解】 由于，则. 因为，由正弦定理知， 则. 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理，得， 即，解得（负值舍去）. 【小问3详解】 由（2）知，所以，. 由（1）得. ， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天骄高级中学2025—2026学年第二学期6月检测 高一数学试题 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形ABCD的周长为 D. 四边形ABCD的面积为 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 3 4. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c且，且，那么△ABC外接圆的半径为（ ） A. B. 5 C. D. 5. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于，）且，则二面角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 9. 在梯形中，已知，，，点、分别在线段和上，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为6，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（共8题，每题3分，共24分） 11. 已知复数，则______. 12. 若向量，满足，，且与的夹角是，则向量在向量上的投影向量是__________（用表示） 13. 已知向量与的夹角为，，，则___________. 14. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，则的形状是____________ . 15. 已知一个圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的表面积是________． 16. 在中，内角所对的边分别为，则边的高线长______ . 17. 在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点，则点到平面的距离是__________. 18. 在△ABC中，，，，，若动点F在线段AC上，则的最小值为________ 三、解答题（共5题，19、20题各8分，21、22、23题10分，共46分） 19. 已知复数，i是虚数单位，根据下列条件求实数m的值. （1）是实数； （2）是纯虚数； （3）在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 20. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，求与夹角的余弦值． 21. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）取中点，求证：平面平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 22. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若△ABC的面积为，，求a的值 （3）若，求的值． 23. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． （1）求的值； （2）求a的值； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $