2.2.5利用一元二次方程解决面积问题（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决面积问题，通过矩形边长增减、道路留白、靠墙围栏等实际问题导入，衔接方程解法知识，构建设未知数、列方程、检验取舍的解题支架，帮助学生掌握核心应用。 其亮点在于三大必考模型与通用解题模板结合，用平移法简化道路问题培养几何直观，多种变式练习发展推理能力，易错点总结强化模型意识。学生能提升问题解决能力，教师可高效开展培优教学。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 2.2.5利用一元二次方程解决面积问题 第二章 一元二次方程 2.3 利用一元二次方程解决面积问题（专题精讲+习题） 面积问题是一元二次方程最经典、必考的应用题题型。核心思路：根据图形面积公式列出等式，整理成一元二次方程求解，同时结合实际舍去负数、超范围的根。本节包含通用解题模板、三大必考模型、标准例题和专项练习，完全适配九年级考试要求。 一、应用题通用解题步骤（满分模板） 1. 设未知数：通常设边长、宽度、增加/减少的长度为 $$x$$； 2. 表示边长：用含$$x$$ 的代数式表示变化后的长和宽； 3. 列面积方程：根据「面积=长×宽」列等式； 4. 解方程：优先因式分解法，复杂用公式法； 5. 检验取舍：边长必须为正数，且符合实际图形范围； 6. 写答。 二、必考模型1：矩形边长增减问题 题型特征：矩形长、宽增加或减少相同长度，面积发生变化。 例题：一个矩形花坛长8m、宽5m，长和宽同时增加相同的长度 $$x$$ m，使面积变为原来的2倍，求增加的长度。 解：原面积：$$8\times5=40\ \mathrm{m^2}$$，新面积：$$80\ \mathrm{m^2}$$。 新长：$$(8+x)$$，新宽：$$(5+x)$$。 列方程：$$(8+x)(5+x)=80$$ 整理：$$x^2+13x+40=80$$，即 $$x^2+13x-40=0$$ 解得：$$x_1=2.5，x_2=-16$$（负数舍去） 答：增加的长度为2.5m。 三、必考模型2：道路/通道留白问题（高频难点） 题型特征：矩形场地中间修横竖道路，剩余草坪面积固定。 解题技巧（平移法）：将横竖道路向边缘平移，剩余草坪拼成新的完整矩形，大幅简化计算。 例题：一块长30m、宽20m的矩形场地，修筑宽度相同的十字道路，剩余草坪面积为504m²，求道路宽度。 解：设道路宽为 $$x$$ m。平移后草坪长 $$(30-x)$$，宽 $$(20-x)$$。 列方程：$$(30-x)(20-x)=504$$ 整理得：$$x^2-50x+96=0$$ 因式分解：$$(x-2)(x-48)=0$$ 解得：$$x_1=2，x_2=48$$（超出边长，舍去） 答：道路宽度为2m。 四、必考模型3：靠墙围栏面积问题 题型特征：一边靠墙，三边用围栏围成矩形，已知围栏总长和面积。 关键细节：靠墙一侧无需围栏，设垂直墙的边长为 $$x$$，更方便列式。 例题：利用一面墙，用总长为40m的篱笆围成矩形菜园，菜园面积为150m²，求垂直于墙的边长。 解：设垂直墙的边长为 $$x$$ m，则平行墙的边长为 $$(40-2x)$$ m。 列方程：$$x(40-2x)=150$$ 整理：$$x^2-20x+75=0$$ 解得：$$x_1=5，x_2=15$$，均符合实际。 答：垂直墙的边长为5m或15m。 五、面积问题核心易错点（扣分重点） 1. 边长、长度不能为负，方程负根必须舍去； 2. 道路平移后，长宽同时减道路宽，只减一边是高频错误； 3. 靠墙问题切记：$$总长=2\times\text{宽}+\text{长}$$，不要多算靠墙边； 4. 解出的根不能超过原图形边长，不符合实际必须舍去。 六、专项练习题（含答案） 1. 矩形长6cm、宽4cm，长和宽同时增加 $$x$$ cm，面积增加11cm²，则 $$x=$$？ 答案：$$x=1$$（舍去负根） 2. 矩形场地长25m、宽18m，四周修等宽小路，中间绿地面积352m²，小路宽？ 答案：1m 3. 靠墙用36m篱笆围矩形鸡场，面积160m²，求垂直墙的边长？ 答案：8m或10m 1. 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（重点） 2. 能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（难点） 学习目标 问题 某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另外一条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为 x m，则由题意列的 方程为_____________________. C B D A (30 - 2x)(20 - x) = 6×78 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 问题：在一块长 16 m，宽 12 m 的矩形荒地上，要建造上个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半. 16 m 12 m 想一想，你会怎么设计这片荒地？ 看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？ 解：设小路的宽为 x m，根据题意得： 即 x2 - 14x + 24 = 0. 解方程得 x1 = 2， x2 = 12. 将 x = 12 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为 2 m. 小明设计：如右图所示，其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程，得到小路的宽为 2 m 或 12 m. 16 m 12 m 问题：他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？ x x 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 解：由图片信息得，四个扇形组成一个圆 设扇形半径为 x m，根据题意得： 即 πx2 = 96. 解方程得 x1 = (舍去)，x2 = . 答：扇形半径约为 5.5 m. 小亮设计： 如右图所示，其中花园每个角上的扇形都相同. 问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？ 16 m 12 m 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 解：设小路的宽为 x m，根据题意得： 即 x2 - 28x + 96 = 0. 解方程得 x1 = 4，x2 = 24. 将 x = 24 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为 4 m. 小颖设计：如右图所示，其中花园小路是两条互相垂直的矩形，且它的宽都相等. 问题：你能帮小颖计算一下图中小路的宽吗？ 16 m 12 m x m x m 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 例1 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？ 27 cm 21 cm 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 分析:这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右 边衬的宽度之比 : . 9 9 解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为 9 7 7 7 27 cm 21 cm 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 设上下边衬的宽均为 9x cm，则左右边衬宽为 7x cm，中央的矩形的长为 (27 − 18x) cm，宽为 (21 − 14x) cm. 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三. 27cm 21cm 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 于是可列方程 解得 故上下边衬的宽为 故左右边衬的宽为 方程的哪个根符合实际意义? 为什么? 试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 27 cm 21 cm 整理，得 16x2 − 48x + 9 = 0. 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 解法2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为 左右边衬的宽度为 27cm 21cm 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为9 cm²？ 根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，CQ = 2x cm. 解：设点 P，Q 出发 x s 后 S△PCQ = 9 cm². 整理，得 解得 x1 = x2 = 3. 答：点 P，Q 出发 3 s 后 S△PCQ 为 9 cm². 则有 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键. 如果图形不规则，就割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 【方法点拨】 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米，则 例3 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 还有其他方法吗？ 方法一： 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米，可列方程 20 − x 32 − x (32 − x)(20 − x) = 540. 整理，得 x2 − 52x + 100 = 0. 解得 x1 = 2，x2 = 50. 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴取 x = 2. 答：道路的宽为 2 米. 方法二： 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米，且 x＜20. (32 − x)(20 − x) = 540 可列方程为 变式一 x 20 - x 32 - x 答：道路的宽为 2 米. 解得 x1 = 50(舍)，x2 = 2. 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 20 32 x 2x 20 - x 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米，且 x＜16. (32 − 2x)(20 − x) = 540. 可列方程为 变式二 32 - 2x x2 = 18 - 解得 x1 = 18 + (舍)， 答：道路的宽约为 1.45 米. 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 20 32 2x 2x 32 − 2x 20 − 2x 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米且 x＜10. (32 − 2x)(20 − 2x) = 540. 可列方程为 变式三 ∴x = 1. 答：道路的宽为 1 米. 解得 x1 = 25(舍)，x2 = 1. 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路平移，使列方程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）. 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 9. 若实数，是一元二次方程 的两个根，且，则一次函数 的图象不经过 ( ) C A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 已知 ，那么 的值是( ) A A. 3 B. C. 3或 D. 或4 返回 考试考法 21 11. 若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，则该直角三角形的面积是( ) D A. 6 B. 12 C. 12或 D. 6或 考试考法 22 【点拨】,， .①当长是4的 边是直角边时，该直角三角形的面积是 ;②当长 是4的边是斜边时，第三边的长是 ，该直角三 角形的面积是 .综上，该直角三角形的面积是 6或 . 返回 考试考法 23 12. 勾股定理是人类最伟 大的科学发现之一，在我国古算书《周 髀算经》中早有记载.如图①，以直角三 角形的各边为边分别向外作正方形，再 B A. 8 B. 6 C. D. 把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大的正方形 内.若图②中阴影部分的面积为2，且，则 的 长是( ) 考试考法 24 【点拨】设,, ,则 阴影部分的面积为2, , ,, ， ,, , , , ,, （舍去）,故选B. 返回 考试考法 25 13. 对于任意实数, ,规定 ，如 若，则 的 值是_______. 或5 【点拨】根据题意，得 ，整理，得 ，因式分解，得 ， 即，解得， . 返回 考试考法 26 14. 阅读下列材料: . 解：设，，则 ， 则原方程可化为 ， 所以，即 ， 解得， . 请利用上述方法解方程： . 考试考法 27 【解】设， ， 则 ， 原方程可化为 ， 整理得，即 ， 故或，解得， . 返回 考试考法 28 15. 【阅读理解】材料一：整数系数方程 的整数解只可能是 的因数. 材料二：类比多位数的竖式除法，可以利用竖式除法进行多 项式的除法. 考试考法 29 【例】解方程 . 解：2的因数有， ，将它们分别代入原方程，可得 是方程 的整数解. 有因式 . 考试考法 30 利用竖式除法，可得 . 原方程化为 . 或 . 原方程的解为， ， . 考试考法 31 根据以上阅读材料，解答下列各题： 考试考法 32 （1）方程 的整数 解可能有哪些？并求出它的整数解. 【解】的因数有， ， 方程 的整数解 可能有， . 将它们分别代入原方程，可得 是方 程 的整数解. 考试考法 33 （2）解方程 . 考试考法 34 的因数有， ， 方程 的整数解可能 有， . 将它们分别代入原方程，可得 是原 方程的解， 有因式 . 利用竖式除法，可得 考试考法 35 . 原方程化为 . 或 . 原方程的解为， ， . 返回 考试考法 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系 类 型 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移，聚零为整，方便列方程 动点面积问题 课堂小结 $