3.1.2比例的性质（课件）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦比例的五大核心性质，通过回顾比例内项、外项等基本概念导入，系统梳理性质作为相似三角形计算的核心工具，连接前后知识形成学习支架。 其亮点是以设k法为万能解题方法，结合矩形相似判定、三角形周长比等例题，培养学生抽象能力与推理意识，通过等比性质推导和实际问题应用发展模型意识，帮助学生掌握解题套路，教师可利用系统资源提升教学效率。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 3.1.2比例的性质 第三章 图形的相似 3.1.2 比例的性质 同步讲义与习题 本节课是相似三角形计算的核心工具课，专门系统梳理比例五大核心性质。所有相似求值、线段计算、分式化简、几何比值题，几乎都依托本节性质解题。题型固定、套路极强，是九年级必考基础计算题。 一、比例的基本概念回顾 若$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ (b eq0,d eq0)$$： - 内项：$$b、c$$ - 外项：$$a、d$$ 二、五大比例核心性质（必考、必背） $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \iff \boldsymbol{ad=bc}$$ 作用：比例式与等积式互化，解方程、求线段长最常用。 2. 反比性质 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \implies \boldsymbol{\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}}$$ 口诀：上下同时颠倒，比例仍然成立。 3. 更比性质（互换性质） $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \implies \boldsymbol{\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}}\quad \text{或} \quad \boldsymbol{\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}}$$ 作用：灵活调换内、外项，重构所需线段比。 4. 合比、分比性质（加减变形） 合比：$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \implies \boldsymbol{\dfrac{a\pm b}{b}=\dfrac{c\pm d}{d}}$$ 口诀：分母加、减分子，等式依旧成立。 5. 等比性质（高频难点） 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=\dots=k$$，且 $$b+d+f+\dots eq0$$ 则：$$\boldsymbol{\dfrac{a+c{e}+\dots}{b+d+f+\dots}=\dfrac{a}{b}=k}$$ 核心考点：所有分子相加 / 所有分母相加 = 原比值 易错禁区：必须保证分母之和不为0！ 三、万能解题方法：设$$\boldsymbol{k}$$法（通杀所有题型） 遇到连比、等比题型，首选设比值为k： 设 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k$$，则 $$a=bk,\ c=dk$$，代入式子化简即可。 所有比例求值题，设$$k$$法万能不翻车。 四、经典例题精讲（满分步骤） 例1 基本性质应用：已知 $$\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{5}$$，求 $$5x-4y$$。 解：由交叉相乘得：$$5x=4y$$，所以 $$5x-4y=0$$。 例2 合比性质：已知 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}$$，求 $$\dfrac{a+b}{b}$$。 解：由合比性质：$$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{2+3}{3}=\dfrac{5}{3}$$。 例3 等比性质难题：已知 $$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}$$，求 $$\dfrac{a+b+c}{b}$$。 解：设 $$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}=k$$ 则 $$a=2k,\ b=3k,\ c=4k$$ 原式$$=\dfrac{2k+3k+4k}{3k}=\dfrac{9k}{3k}=3$$。 例4 比例中项：若 $$\dfrac{x}{6}=\dfrac{6}{12}$$，求$$x$$。 解：$$x\cdot12=36$$，得 $$x=3$$。 五、高频易错汇总 - 等比性质忽略分母和不为0的前提； - 比例式变形乱换项，不遵循更比、反比规则； - 求值题不设$$k$$，硬算导致出错； - 区分不清：比例式是等式，线段比是数值。 六、同步练习题 （一）选择题 1. 已知 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{5}$$，下列式子正确的是（ ） A. $$2a=5b$$ B. $$5a=2b$$ C. $$a+b=7$$ D. $$ab=10$$ 2. 若 $$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4}$$，则 $$\dfrac{x+y}{y}=$$（ ） A. $$\dfrac{3}{4}$$ B. $$\dfrac{4}{3}$$ C. $$\dfrac{7}{4}$$ D. $$\dfrac{1}{4}$$ 3. 已知 $$\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{5}$$，则 $$\dfrac{a+b+c}{3+4+5}=$$（ ） A. $$\dfrac{a}{3}$$ B. $$\dfrac{b}{5}$$ C. $$\dfrac{c}{4}$$ D. 1 （二）填空题 1. 比例基本性质：$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \iff$$________。 2. 若 $$\dfrac{m}{n}=\dfrac{7}{3}$$，则 $$\dfrac{n}{m}=$$________。 3. 已知 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{5}{2}$$，则 $$\dfrac{a-b}{b}=$$________。 （三）解答题 1. 已知 $$\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{7}$$，求 $$\dfrac{a+b}{c}$$ 的值。 2. 已知 $$3x=4y$$，求$$\dfrac{x}{y}、\dfrac{x-y}{y}$$。 七、参考答案与解析 （一）选择题 1.B 解析：交叉相乘 $$5a=2b$$。 2.C 解析：合比性质 $$\dfrac{3+4}{4}=\dfrac{7}{4}$$。 3.A 解析：等比性质，分子分母分别相加比值不变。 （二）填空题 1. $$ad=bc$$ 2. $$\dfrac{3}{7}$$ 3. $$\dfrac{3}{2}$$ （三）解答题 1. 解：设 $$\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{7}=k$$ $$a=3k,b=5k,c=7k$$ 原式$$=\dfrac{3k+5k}{7k}=\dfrac{8}{7}$$ 2. 解：由 $$3x=4y$$，得 $$\dfrac{x}{y}=\dfrac{4}{3}$$ $$\dfrac{x-y}{y}=\dfrac{4-3}{3}=\dfrac{1}{3}$$ 八、课时小结 1. 比例五大性质：基本、反比、更比、合比、等比，全部是计算工具； 2. 设k法是解决所有比例求值的万能方法，必须熟练掌握； 3. 等比性质务必注意分母和不为0，做题优先检验条件。 1.等比性质的推导与应用。 2.等比性质的抽象理解，复杂图形中比例关系的提取。 学习目标 2 如图，一个矩形广场的长为60 m，宽为40 m，广场内两条纵向小路的宽度均为1.5m，如果设两条横向小路的宽度都为x m，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似? 60 40 1.5 x 40-2x 60-2×1.5 = 解得x=1。 相似多边形的判定(定义法)：若两个多边形的各角分别相等，各边成比例，则这两个多边形相似。 知识点1 等比性质 如图，在矩形ABCD与矩形EFGH中，已知 ===2。 (1)这两个矩形相似吗? 相似 A D B C E H F G 相似多边形的判定(定义法)：若两个多边形的各角分别相等，各边成比例，则这两个多边形相似。 如图，在矩形ABCD与矩形EFGH中，已知 ===2。 (2)你能求出的值吗? 知识点1 等比性质 A D B C E H F G 这就是两个矩形的周长比。 假设矩形EFGH的边长为： HE = a，EF = b，FG = c，HG = d， 则AB = 2a ，BC = 2b，CD = 2c，AD = 2d； 矩形ABCD周长：AB + BC + CD + AD = 2(a + b + c + d) 矩形EFGH周长：HE + EF + FG + HG = a + b + c + d 周长比= . 知识点1 等比性质 由此你能得出什么结论? 相似图形周长与边的关系： 如果两个多边形是相似多边形，那么它们的周长比等于对应边的比。 知识点1 等比性质 已知a，b，c，d，e，f 六个数。如果 = = (b+d+f≠0)，那么 = 成立吗?为什么? 成立。理由如下： 设 = =k，则a=kb，c=kd，e=kf。 ∴ = = = k = 。 知识点1 等比性质 若成比例的比有多组(，且)，能否仿照上述方法推导规律? 能。设，则，，，。 分子的和为。 由于，因此。 知识点1 等比性质 等比性质： 如果==(b+d++n≠0)，那么= 知识点1 等比性质 在△ABC与△DEF中，已知 ，且△ABC的周长为 18cm，求△DEF的周长。 解：∵ ，∴ = 。 ∴ 4(AB+BC+CA)=3(DE+EF+FD)， 即DE+EF+FD=(AB+BC+CA)， ∵ △ABC的周长为18cm，即AB+BC+CA=18cm， ∴ DE+EF+FD=(AB+BC+CA)= 18=24(cm)， 即△DEF的周长为24cm。 例1 知识点1 等比性质 1.已知 =(b+d≠0)，求的值。 解：∵ =(b+d≠0)， ∴ =。 2. 若 （），则 3 3.下列关于等比性质的表述，正确的是（ ） A. 若 ，则 一定成立 B. 等比性质中“分母和不为零”的条件可忽略 C. 等比性质反映“多个相等的比，分子和与分母和的比等于原比”，且需分母和不为零 D. 等比性质仅适用于三组比相等的情况 C 知识点1 合比性质 1. 如果，则 等于( ) D A. B. C. D. 2.已知，则__， __. 【点拨】, , ., . 返回 考试考法 15 知识点2 等比性质 3. 已知 ，下列等式成立的是 ( ) C A. B. C. D. 4. 若，则 的值是( ) D A. 20 B. 100 C. 120 D. 返回 考试考法 16 5. [2025南充] 已知，则 的 值是( ) D A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 考试考法 17 6. 若， ，则 ___. 2 7. 已知，且 ，试求 的值. 返回 考试考法 18 【解】方法一： ， 设,则, . ， ，解得 ， . 方法二： ， 考试考法 19 . , , 解得 . , , . 返回 考试考法 如果==(b+d++n≠0)， 那么= 形状相同的图形 等比性质 课堂小结 $